全册教案（9上）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_04教案（多套）

一元二次方程 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；2.掌握一 元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；3.理解 二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根. (二)过程与方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活；2.通过观察、 思考、交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式. (三)情感态度与价值观：用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念. 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一 元二次方程的概念. 三、教学过程 引言 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全 部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应 设计为多高？ 如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系： AC:BC=BC:2，即 BC2=2AC. 设雕像下部高xm，可得方程 x2=2(2-x) 整理得 x2+2x-4=0 ① 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为 xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽 为(50-2x)cm. 根据方盒底面积为3600cm2，得 (100-2x)(50-2x)=3600 整理，得 4x2-300x+1400=0 化简，得 x2-75x+350=0 ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸. 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条 件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队参赛？ 全部比赛的场数为 4×7=28. 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队 对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 x(x-1)场. 列方程 x(x-1)=28，整理，得 ，化简，得 x2-x=56 ③ 由方程③可以得出参赛队数. 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2-75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 思考 方程①②③有什么共同点？ 1特点：(1) 都是整式方程；(2) 只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是2. 4x2=9，x2+3x=0，3y2-5y=7-y等也是这样的方程. 像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 为什么规定a≠0？b，c可以为零吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也 叫做一元二次方程的根. 例如，x=8是x2-x=56的解. 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常 数项： 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0. (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； 解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0. (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求 较短一段的长x. 解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会 数学建模的思想方法. 2用直接开平方法解一元二次方程 一、教学目标 (一)知识与技能：认识形如x2＝p(p≥0)或(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n， p为常数)类 型的方程，并会用直接开平方法解. (二)过程与方法：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力. (三)情感态度与价值观：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透 数学新知识的学习往往由未知(新知识)向己知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方 法，化未知为已知. 二、教学重点、难点 重点：运用开平方法解形如(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n， p为常数)的方程，领会降 次一转化的数学思想. 难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如 (mx+n)2＝p (m≠0，p≥0，m，n， p为常数)的方程. 三、教学过程 知识预备 1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. a(a≥0)的平方根记作 ± . x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知， x＝± . 2.完全平方式：a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)2 3.练一练：若x2＝16，则x＝____；x2－6x＋9＝_______. 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状 的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm 2. 根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2＝1500 ① 整理，得 x2＝25 根据平方根的意义，得 x＝±5 即 x＝5，x＝-5 1 2 可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. 一般地，对于方程 x2＝p， (Ⅰ) (1) 当p＞0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根 x＝ ，x＝- ； 1 2 (2) 当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根 x＝x＝0； 1 2 (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根. 探究 对照前面解方程10×6x2=1500 ①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？ 在解方程①时，由方程x2=25得x=±5. 由此想到： 由方程 (x+3)2=5， ② 得 x+3=± 即 x+3= ，或x+3=- . ③ 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 x=-3+ ，x=-3- . 1 2 3上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一 元一次方程. 由方程 9x2-12x+4=3 化成 (3x-2)2=3 得 3x-2=± 即 3x-2= ，或3x-2=- . 于是，方程9x2-12x+4=3的两个根为 ， 知识梳理 ●知识点一 直接开平方法 方程 x2=p(p≥0)的解为x= ，x=- . 1 2 由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n= 或mx+n=- . ●知识点二 降次思想 一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种 方法. 练习 解下列方程： (1) 2x2-8=0 (2) 9x2-5=3 (3) (x+6)2-9=0 解：(1)2x2=8 解：(2)9x2=8 解：(3)( x+6)2=9 x2=4 x+6=±3 x2= x =±2 即x+6=3，或x+6=-3 ∴ x=2，x=-2 ∴ x=-3，x=-9 1 2 1 2 x =± ∴ x= ，x=- 1 2 (4) 3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6) 9x2+5=1 解：(4) 3( x-1)2=6 解：(5) ( x-2)2=5 解：(6) 9x2=-4 ( x-1)2=2 x-2=± x2=- x-1=± 即x-2= ，或x-2=- 即x-1= ，或x-1=- ∴ x=2+ ，x=2- ∵ 1 2 ∴ x= +1，x=- +1 1 2 ∴ 方程无实数根. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 4教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程， 同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程. 5用配方法解一元二次方程 一、教学目标 (一)知识与技能：1.进一步理解配方法和配方的目的；2.掌握运用配方法解一元二次方程 的步骤；3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. (二)过程与方法：通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不 是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识. (三)情感态度与价值观：通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，感受 数学的严谨性和数学结论的确定性. 二、教学重点、难点 重点：利用配方法解一元二次方程. 难点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数， 将方程化为二次项系数是1的类型. 三、教学过程 知识预备 1.在代数式x2-2x中，一次项系数为____. 2.若a=b，则a+5=b+___. 3.应用完全平方公式填空： (1) x2+6x+___=(x+3)2 (2) x2-12x+___=(x-___)2 探究 怎样解方程x2+6x+4=0？ x2+6x+9=5 (x+3)2=5 完全平方形式(x+3)2，5非负数 直接开平方法(降次)解方程 x+3=± → x+3= ，或x+3=- → ∴ x= -3，x=- -3 1 2 能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？ x2+6x+4=0(移项)→x2+6x=-4(两边加9(即 )使左边配成x2+2bx+b2的形 式)→x2+6x+9=-4+9(左边写成完全平方形式)→(x+3)2=5(直接开平方(降次))→x+3=± →x+3= ，或x+3=- (解一次方程)→x= -3，x=- -3 1 2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？ 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 可以看出， 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两一个一元一次方程来解. 例1 解下列方程： (1) x2-8x+1=0 (2) 2x2+1=3x (3) 3x2-6x+4=0 解：(1)移项，得 x2-8x=-1 配方，得 x2-8x+42=-1+42 (x-4)2=15 由此可得 x-4=± ∴ x=4+ ，x=4- 1 2 6解：(2)移项，得 2x2-3x=-1 二次项系数化为1，得 x2- x=- 配方，得 x2- x+( )2=- +( )2 由此可得 x- =± ∴ x=1，x= 1 2 解：(3)移项，得 3x2-6x=-4 二次项系数化为1，得 x2-2x=- 配方，得 x2-2x+12=- +12 (x-1)2=- 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成 立，即原方程无实数根. 归纳总结 配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边 为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数 时，原方程无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) (1) 当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根 x＝－n－ ，x＝－n＋ ； 1 2 (2) 当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x＝x＝－n； 1 2 (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根. 练习 1.填空： (1) x2+10x+___=(x+__)2 (2) x2-12x+___=(x-__)2 (3) x2+5x+___=(x+__)2 (4) x2- x+___=(x-__)2 2.解下列方程： (1) x2+10x+9=0 (2) x2-x- =0 (3) 3x2+6x-4=0 解：(1)移项，得 x2+10x=-9 7配方，得 x2+10x+52=-9+52 (x+5)2=16 由此可得 x+5=±4 ∴ x=-1，x=-9 1 2 解：(2)移项，得 x2-x= 配方，得 x2-x+( )2= +( )2 (x- )2=2 由此可得 x- =± ∴ x= + ，x= - 1 2 解：(3)移项，得 3x2+6x=4 二次项系数化为1，得 x2+2x= 配方，得 x2+2x+12= +12 (x+1)2= 由此可得 x+1=± (4) 4x2-6x-3=0 (5) x2+4x-9=2x-11 (6) x(x+4)=8x+12 解：(4)移项，得 4x2-6x=3 二次项系数化为1，得 x2- x= 配方，得 由此可得 ∴ ， 解：(5)移项，合并得 x2+2x=-2 配方，得 x2+2x+12=-2+12 (x+1)2=-1 ∵ -1＜0 ∴ 原方程无实数根 解：(6)去括号，得 x2+4x=8x+12 8移项，合并得 x2-4x=12 配方，得 x2-4x+22=12+22 (x-2)2=16 由此可得 x-2=±4 ∴ x=6，x=-2 1 2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程，因此需熟练 掌握完全平方式的形式. 9公式法 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.掌握公式结构，知道使用 公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；3.会利用求根公式解简单数字 系数的一元二次方程. (二)过程与方法：经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方 程探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础. (三)情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高学生运算能力，使 学生获得成功体验，建立学习信心. 二、教学重点、难点 重点：求根公式的推导和公式法的应用. 难点：一元二次方程求根公式法的推导. 三、教学过程 用配方法解方程：2x2-7x+3=0 解：移项，得 2x2-7x=-3 二次项系数化为1，得 配方，得 ， ，∴ x=3，x= 1 2 利用配方法解一元二次方程的一般步骤是相同的. 配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边 为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数 时，原方程无实数根. 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出 ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？ ax2+bx+c=0(a≠0) 移项，得 ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得 配方，得 10即 ① ∵ a≠0，∴ 4a2＞0.式子b2-4ac的值有以下三种情况： (1) b2-4ac＞0 这时 ＞0，由①得 方程有两个不等的实数根 ， (2) b2-4ac=0 这时 =0，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3) b2-4ac＜0 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而x取任何实数都不能使 ＜0，因此 方程无实数根. 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母 “Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 归纳 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个 式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次 方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以 避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 例2 用公式法解下列方程： (1) x2-4x-7=0 (2) 2x2-2 x+1=0 (3) 5x2-3x=x+1 (4) x2+17=8x 解：(1) a=1，b=-4，c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0 方程有两个不等的实数根 11即 ， 解：(2) a=2，b=-2 ，c=1. Δ=b2-4ac=(-2 )2-4×2×1=0 方程有两个相等的实数根 解：(3) 方程化为 5x2-4x-1=0 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定a，b，c的值. a=5，b=-4，c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0 方程有两个不等的实数根 即 x=1，x= . 1 2 解：(4) 方程化为 x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0 方程无实数根. 本章引言中的问题，雕像下部的高度x(单位：m)满足方程 x2+2x-4=0 用公式法解这个方程，得 即 x=-1+ ，x=-1- . 1 2 结果保留小数点后两位，那么x≈1.24，x≈-3.24. 1 2 这两个根中，只有x≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计为约1.24m. 1 练习 1.解下列方程： (1) x2+x-6=0 (2) x2- x- =0 (3) 3x2-6x-2=0 解：(1) a=1，b=1，c=-6. Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0 方程有两个不等的实数根 即 x=2，x=-3. 1 2 解：(2) a=1，b=- ，c=- . Δ=b2-4ac=(- )2-4×1×(- )=4＞0 12方程有两个不等的实数根 即 ， . 解：(3) a=3，b=-6，c=-2. Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0 方程有两个不等的实数根 即 ， . (4) 4x2-6x=0 (5) x2+4x+8=4x+11 (6) x(2x-4)=5-8x 解：(4) a=4，b=-6，c=0. Δ=b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36＞0 方程有两个不等的实数根 即 ， . 解：(5) 移项，合并得 x2=3 直接开平方，得 x= 即 ， . 解：(6)方程化为 2x2+4x-5=0 a=2，b=4，c=-5. Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56＞0 方程有两个不等的实数根 即 ， . 2.求第21.1节中问题1的答案. x2-75x+350=0 解：a=1，b=-75，c=350. Δ=b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225＞0 方程有两个不等的实数根 即 x=5，x=70(不合题意，要舍去). 1 2 因此，切去的正方形的边长为5cm. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 13四、教学反思 教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式. 同时 公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0. 因式分解法 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程；2.能根据 方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性. (二)过程与方法：在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法 解一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力. (三)情感态度与价值观：通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索 的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性. 二、教学重点、难点 重点：用因式分解法解一元二次方程. 难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便. 三、教学过程 知识预备 1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________. 2.因式分解常用的方法有_________________________. 3.将下列各式分解因式： (1) 7x2-21x (2) 2(a-3)2-a+3 (3) (y+3)2-(2y-3)2 解：(1)原式=7x(x-3) (2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7) (3)原式=[(y+3)+(2y-3)][(y+3)-(2y-3)]=(y+3+2y-3)(y+3-2y+3)=3y(6-y) 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出 来的？小颖、小亮、小明都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x. 但他们的解法各不 相同. 他们做得对吗？ 小颖：由方程x2=3x，得x2-3x=0，因此 →x=0，x=3，所以这个数是0或3. 1 2 小亮：将方程x2=3x两边同时约去x，得x=3，所以这个数是3. (方程两边约去x时，必须确保x≠0，但这里x恰恰能够等于0，所以这种变形是错误的.结 果会丢掉一个根.) 小明：由方程x2=3x，得x2-3x=0即 x(x-3)=0于是 x=0，或 x-3=0因此 x=0，x=3所以这 1 2 个数是0或3. 如果a·b=0，那么a=0，或b=0. x2-3x=0 ① 即 x(x-3)=0 于是 x=0，或 x-3=0 ② 因此 x=0，x=3 1 2 上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两 个一次的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二 次方程的方法叫做因式分解法. 练一练 用因式分解法解下列方程： 14(1) 4x=5x2 (2) 3x(x+3)-2(x+3)=0 解：(1)移项，得 4x-5x2=0 因式分解，得 x(4-5x)=0 于是得 x=0，或 4-5x=0 x=0，x= 1 2 解：(2)因式分解，得 (x+3)(3x-2)=0 于是得 x+3=0，或 3x-2=0 x=-3，x= 1 2 例3 解下列方程： (1) x(x-2)+x-2=0 (2) 5x2-2x- =x2-2x+ 解：(1)因式分解，得 (x-2)(x+1)=0 于是得 x-2=0，或 x+1=0 x= ，x= 1 2 解：(2)移项、合并同类项，得 4x2-1=0 因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0 于是得 2x+1=0，或 2x-1=0 x=2，x=-1 1 2 可以试用多种方法解本例中的两个方程. 解：(1)方程化为 x2-x-2=0 a=1，b=-1，c=-2. Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0 即 x=2，x=-1 1 2 解：(2)移项、合并同类项，得 4x2=1 二次项系数化为1，得 直接开平方，得 即x= ，x= 1 2 归纳 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式 解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次 因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方 程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 练习 1.解下列方程： (1) x2+x=0 (2) x2- x=0 (3) 3x2-6x=-3 解解：：xx((xx++11))==00 解：x(x- )=0 解：3x2-6x+3=0 xx==00，，或或 xx++11==00 x2-2x+1=0 x=0，或 x- =0 xx==00，， xx==--11 15 (x-1)2=0 11 22 x=0， x= x=x=1 1 2 1 2(4) 4x2-121=0 (5) 3x(2x+1)=4x+2 (6) (x-4)2=(5-2x)2 解：(2x+11)(2x-11)=0 解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0 解：(x-4)2-(5-2x)2=0 2x+11=0，或 2x-11=0 (2x+1)(3x-2)=0 (x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0 2x+1=0，或 3x-2=0 (1-x)(3x-9)=0 x= ，x= 1 2 1-x=0，或 3x-9=0 x= ， x= 1 2 x=1， x=3 1 2 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场 地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 r m.依题意，得 π(r+5)2=2πr2 r2-10r-25=0 Δ=(-10)2-4×1×(-25)=200＞0 r=5+5 ， r=5-5 (不合题意，舍去) 1 2 答：小圆形场地的半径为(5+5 )m. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知 识，提高用分解因式法解方程的能力. 在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没 有再考虑公式法. 16一元二次方程的根与系数的关系 一、教学目标 (一)知识与技能：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用 根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程 两个根的倒数和与平方和，两根之差. (二)过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学 活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新 意识和创新精神. (三)情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数 学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心. 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述. 三、教学过程 忆一忆 1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0) 2.一元二次方程的求根公式是什么？ (b2-4ac≥0) 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 解下列方程并完成填空： (1) x2-5x+6=0 (2) x2+3x-4=0 (3) x2+6x+8=0 以上方程有什么共同特点，你从中发现了什么？ 三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积 等于常数项. 思考 从因式分解法可知，方程(x-x)(x-x)=0(x，x 为已知数)的两根为x 和x，将方程化 1 2 1 2 1 2 为x2+px+q=0的形式，你能看出x，x 与p，q之间的关系吗？ 1 2 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x+x)x+xx=0 1 2 1 2 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x+x)，常数项q=xx. 1 2 1 2 17于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x+x)=-p，xx=q 1 2 1 2 思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与 系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知， ， 由此可得 因此，方程的两个根x，x 和系数a，b，c有如下关系： ， . 1 2 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项 系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2- 4ac≥0；(3)在使用 时，注意“-”不要漏写. 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？ x2+px+q=0→(x+x)=-p，xx=q 1 2 1 2 解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系？ 解：a=2，b=-3，c=1. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0 方程有两个不等的实数根 即 x=1，x= 1 2 ， . 例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x，x 的和与积： 1 2 (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1) x+x=-(-6)=6，xx=-15. 1 2 1 2 (2) x+x= ，xx= =-3. 1 2 1 2 (3) 方程化为 4x2-5x+1=0. x+x= = ，xx= . 1 2 1 2 练习 不解方程，求下列方程两根的和与积： (1) x2-3x=15 (2) 3x2+2=1-4x (3) 5x2-1=4x2+x (4) 2x2-x+2=3x+1 解：(1)方程化为 x2-3x-15=0. x+x=-(-3)=3，xx=-15. 1 2 1 2 18(2) 方程化为 3x2+4x+1=0. x+x= ，xx= . 1 2 1 2 (3) 方程化为 x2-x-1=0. x+x=-(-1)=1，xx=-1. 1 2 1 2 (4) 方程化为 2x2-4x+1=0. x+x= =2，xx= . 1 2 1 2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此 关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件. 19实际问题与一元二次方程(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题 中的实际意义，检验所得的结果是否合理；2.联系实际，让学生进一步经历“问题情境— 建立模型—求解—解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方 法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键. (二)过程与方法：通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖 掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系 正确的建立一元二次方程. (三)情感态度与价值观：在分析解决问题的过程中深入地体会一元二次方程的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：建立数学模型，找等量关系，列方程. 难点：找等量关系，列方程. 三、教学过程 知识回顾 一、列方程解应用题的一般步骤是： 1.审：读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量， 以及它们之间的等量关系； 2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位； 3.列：根据等量关系列出方程(组)； 4.解：解所列方程(组)； 5.验：检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意； 6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位. 二、列方程解应用题的关键是：找等量关系 探究1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人 传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表 示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感. 列方程 1+x+x(1+x)=121 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程 1+x+x(1+x)=121 (1+x)2=121 解方程，得 x=10，x=-12(不合题意，舍去) 1 2 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人. 思考 如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n轮呢？ 三轮传染后：121+10×121=(10+1)3=113=1331(人) 20n轮传染后：11n(人) 探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生 产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析： 甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元) 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率 (百分数). 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年 后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程 5000(1-x)2=3000 解得 x≈0.225，x≈1.775(不合题意，舍去) 1 2 答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600 解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%. 比较：两种药品成本的年平均下降率.(相同) 思考 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下 降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 方法总结 类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增长(或 降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量 关系可表示为：a(1±x)n=b (其中增长取+，降低取-) 练习 1.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后 部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程 5+5x+x(5+5x)=125，整理得 5(1+x)2=125 解方程，得 x=4，x=-6(不合题意，舍去) 1 2 答：每轮传染中平均一个人传染了4个人. 2.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均 增长率是多少？ 解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程 2.5(1+x)2=3.6 解方程，得 x=0.2，x=-2.2(不合题意，舍去) 1 2 答：这两个月的月平均增长率为20%. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 21教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键，特别是解有关的传播问 题时，一定要明确每一轮传染源的基数，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际， 对方程的根进行取舍. 实际问题与一元二次方程(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：能正确利用一元二次方程的相关知识解决几何图形的面积问题. (二)过程与方法：经历将实际问题转化为数学问题的过程，进-步深入体会一元二次方程在 实际生活中的应用，提高数学应用意识. (三)情感态度与价值观：体验数学在现实生活中的作用，体验学习数学的快乐. 二、教学重点、难点 重点：根据面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题. 难点：根据面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型. 三、教学过程 知识预备 1.矩形的长和宽分别为a m和b m，则其面积为____m2，周长为_______m. 2.梯形的上、下底分别为a cm和b cm，高为h cm，则其面积为__________cm2. 3.圆的半径为r cm，则其面积为____cm2，周长为____cm. 4.长方体的长、宽、高分别是a cm，b cm和c cm，则其体积为_____cm3. 5.直角三角形的两直角边长分别为a cm和b cm，斜边长为c cm，则a，b，c之间的数量 关系为_________. 练一练 现有长19cm，宽15cm的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折 成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，宽为(15-2x)cm，依题意 得 (19-2x)(15-2x)=117 整理得 x2-17x+42=0 解得 x=3，x=14(不合题意，舍去) 1 2 答：剪去的小正方形的边长应为3cm. 探究3 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽 比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等 宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一 位)？ 分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是 9:7.设中央矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与 左、右边衬的宽度之比是 (27-9a): (21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7 解：设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为 (27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程 (27-18x)(21-14x)= ×27×21 22整理，得 16x2-48x+9=0 解得 x= ，x= (不合题意，舍去) 1 2 则：9x≈1.8，7x≈1.4. 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试. 解：设中央的矩形的长、宽分别为9y cm、7y cm，根据题意，列出方程 9y·7y= ×27×21 整理，得 y2= 解得 y= ，y= (不合题意，舍去) 1 2 则： (27-9y)≈1.8， (21-7y)≈1.4. 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 练习 用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成 面积是32cm 2的矩形呢？为什么？ 解：设矩形的一边长为x cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得 x(11-x)=30，解得 x=6，x=5 1 2 因此，这个矩形的长和宽分别为6cm、5cm. 不能折成面积是32cm2的矩形，理由如下： x(11-x)=32，整理得 x2-11x+32=0 ∵ b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0 ∴ 方程无实数根 ∴ 不能折成面积是32cm2的矩形 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则 图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程， 对图形进行分割或补全的原则，转化成为规则图形时越简单越直观越好. 23第21章一元二次方程小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程； 2.运用一元二次方程解决简单的实际问题. (二)过程与方法：1.经历运用知识，技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创 新精神；2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想. (三)情感态度与价值观：培养学生对数学的求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯. 二、教学重点、难点 重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问 题. 难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程. 三、教学过程 知识梳理 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数， a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数：二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项：c 4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4) 整式方程. 二、一元二次方程的根与系数的关系 已知x，x 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根. 则有： 1 2 ， .注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的 条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用 时，注意“-”不要漏写. 三、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 四、一元二次方程的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量. 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 24列：根据题意寻找等量关系列方程. 解：解方程. 验：检验方程的解是否符合题意. 答：写出答案(包括单位). 考点讲练 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是( ) A.m≠1 B.m＝1 C.m≥1 D.m≠0 针对训练 1.方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____. 2.当k_____时，关于x的方程 是一元二次方程. 考点二 一元二次方程的根的应用 例2 若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m＝____. 针对训练 3.一元二次方程x2＋px－3＝0的一个根为3，则p的值为_____. 考点三 一元二次方程的解法 例3 (1)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，应变为( ) A.(x－1)2＝6 B.(x＋2)2＝9 C.(x＋1)2＝6 D.(x－2)2＝9 (2)某三角形两边长分别为3和6，它第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的根，则该三角形 的周长为( ) A.13 B.15 C.18 D.13或18 针对训练 4.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，则 菱形ABCD的周长为( ) A.12 B.16 C.16或12 D.24 5.用公式法和配方法分别解方程：x2－4x－1＝0 解：公式法：a=1，b=-4，c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20＞0 方程有两个不等的实数根 即 x=2+ ，x=2- . 1 2 解：配方法：移项，得 x2-4x=1 配方，得 x2-4x+22=1+22 (x-2)2=5 由此可得 x-2= ∴ x=2+ ，x=2- . 1 2 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于x的一元二次方程x2－3m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) 25A.m＜0 B.m＜2 C.m≥0 D. 针对训练 6.下列所给方程中，没有实数根的是( ) A.x2＋x＝0 B.5x2－4x－1＝0 C.3x2－4x＋1＝0 D.4x2－5x＋2＝0 7.若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－6x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是__________. 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m、n，不解方程求m2－mn＋n2的值. 解：∵ m、n是方程x2-4x-3=0的两根 ∴ m+n=4，mn=-3 ∴ m2-mn+n2=m2+2mn+n2-3mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25 针对训练 8.已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为x 和x,则 的值等于( ) 1 2 A. 7 B.－2 C. D. 重要变形 ， ， 考点六 一元二次方程的应用 例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为 24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司 每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不 得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件； (2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150 解得 x=25，x=35 1 2 由题意x≤28，∴ x=25，即销售价应当为25元. 针对训练 9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩 大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每 千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5(1-x)2=3.2 解得 x=1.8(舍去)，x=0.2=20% 1 2 答：平均每次下调的百分率是20%. 10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三 条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为 532m2，那么小道的宽度应为多少米？ 解：设小道的宽度应为x米.根据题意得 (30-2x)(20-x)=532 整理得 x2-35x+34=0 解得 x=1，x=34(舍去) 1 2 26答：小道的宽度应为1米. 二次函数 一、教学目标 (一)知识与技能：能够表示简单变量间的二次函数关系，理解二次函数的意义与特征，提 高学生的分析和概括的能力. (二)过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函 数的定义，获得用二次函数来表示变量之间的体验. (三)情感态度与价值观：进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广 泛应用中的作用. 二、教学重点、难点 重点：二次函数实例分析、二次函数定义的理解. 难点：从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系. 三、教学过程 图片引入 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型 温故知新 1.什么是函数？我们学过哪些函数？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于 x 的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.其中，当b=0时， y=kx为正比例函数. 特别注意：k≠0，自变量x的指数是1. 2.若函数y=(m-1)x+4-m是关于x的一次函数，则m____；若函数是关于x的正比例函数， 则m的值是____，此时函数解析式为_________. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计， 每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有_______棵橙子树； 这时平均每棵树结_________个橙子. (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式 ________________________________________________________________. y=(100+x)(600-5x) 即 y=-5x2+100x+60000 27思考 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ y是x的函数吗？显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 引言 正方体的六个面是全等的正方形(如下图)，设正 方 体的棱长为x，表面积为y，则它们的具体关系可以表 示 为________. y是x的函数吗？ 问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n有什么 关系式？ 解：每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同 一场比赛，所以比赛的场次数 m= n(n-1)，即 . m是n的函数吗？ 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产 量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关 系应怎样表示？ 解：这种产品一年后的产量为________t，再经过一年后的产量为_____________t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2，即 y=20x2+40x+20 y是x的函数吗？ 思考 函数y=-5x2+100x+60000，y=6x2， ，y=20x2+40x+20有什共同特点？ 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自 变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 提示: (1)关于x的代数式一定是整式，a，b，c为常数，且a≠0； (2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； (3)一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数. 练习 1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系. 解：S=2·πr2+2πr·r 整理得，S=4πr2 2.如图，矩形绿地的长、宽各增加x m，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式. 解：y=(30+x)(20+x) 整理得，y=x2+50x+600 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 28教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数， 进一步巩固函数的有关知识. 二次函数y=ax2的图象和性质 一、教学目标 (一)知识与技能：会利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次 函数y=x2的性质. (二)过程与方法：经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数 性质的经验. (三)情感态度与价值观：培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax2的图象、性质， 提高学生观察、分析、比较、概括等能力. 二、教学重点、难点 重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质. 难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系. 三、教学过程 认真观察，请描述投掷篮球入篮框的过程，运行路线是什么？ 复习启新 1.一次函数的图象是_________. 2.通常怎样画一个函数的图象：_________________. 3.二次函数的图象是什么形状呢？它又有哪些性质呢？ 结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法. 我们将从最简单的二次函数y=x2开 始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质. 作二次函数y=x2的图象.(列表、描点、连线) 在坐标平面中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函 数y=x2的图象. 从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它 的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只 是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2. 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函 29数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c. 1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？___，如果是，它的对称轴是_____. 2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点. 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛 物线的最低点或最高点. 3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的 右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y 随x的增大而_____； 例1 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. 思考 观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点？ 一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是 抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 探究 在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=- x2，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有 什么共同点和不同点. 一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴 是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛 物线的开口越小. 对比抛物线 y=x2和y=-x2，它 们关于x轴对称吗？一般地，抛物 线y=ax2和y=-ax2呢？ 归纳 二次函数y=ax2的图象和性质 30练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与 性质，体会数学建模的数形结合的思想方法. 31二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会画函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，能正确说出它们的图象的开口 方向、对称轴和顶点坐标；2.掌握抛物线y=ax2+k、y=a(x-h)2的平移规律. (二)过程与方法：经历探索二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象的画法和性质的过程，提 高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法. (三)情感态度与价值观：培养积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识. 二、教学重点、难点 重点：作出二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，探索其性质. 难点：抛物线的平移规律的理解以及a、k、h的作用的理解. 三、教学过程 知识回顾 二次函数y=ax2的图象和性质 例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象. 解：先列表： 思考 (1)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么？ (2)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？ 321.抛物线y=2x2+1的开口____、对称轴____、顶点是_______. 2.抛物线y=2x2-1的开口____、对称轴____、顶点是_______. Ⅰ.把抛物线y=2x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=2x2+1； Ⅱ.把抛物线y=2x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=2x2-1. 思考 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ ， 口决：上加下减 练习 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： ， ， . 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 你能说出抛物 线 的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 有什么关系？ 探究 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=- (x+1)2，y=- (x-1)2的图像，并考虑它们的开 口方向、对称轴和顶点. 解：先列表： 抛物线y=- (x+1)2的开口向下，对称轴是经过点(-1，0) 且与x轴垂直的直线，记作直线x=-1，顶点是(-1，0)； 抛物线y=- (x-1)2的开口____，对称轴____________，顶 点是________. 思考 抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？ 1.把抛物线y=- x2向左平移1个单位，就得到抛物线y=- (x+1)2， 2.把抛物线y=- x2向右平移1个单位，就得到抛物线y=- (x-1)2. 思考 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？ ， . 口决：左加右减 33练习 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： ， ， .观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开 口方向、对称轴和顶点. 归纳 二次函数y=ax2+k的性质 二次函数y=a(x-h)2的性质 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象 与性质和二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会它们与y＝ax2与之间联系与区别. 体会 数学建模的数形结合思想方法. 34二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会画函数y=a(x-h)2+k的图象；2.能正确说出y=a(x-h)2+k的开口方向、 对称轴和顶点坐标；3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律. (二)过程与方法：经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法和性质的过程，提高作图能 力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法. (三)情感态度与价值观：培养学生参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识. 二、教学重点、难点 重点：作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质. 难点：抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解. 三、教学过程 复习启新 1.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？ 2.抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？ ， 口决：上加下减 ， . 口决：左加右减 猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？ 例3 画出函数y=- (x+1)2-1的图像，指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解：先列表： 抛物线y=- (x+1)2-1的开口______、对称轴是_________、 顶点是_________. 怎样移动抛物线y=- x2就可以得到抛物线y=- (x+1)2-1？ 平移方法1： 平移方法2： 35归纳 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向 左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头， 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处 离池中心3m，水管应多长？ 解：如图，以水管与地面交点为原 点，原点与水柱落地处所在直线为 x轴，水管所在直线为y轴，建立 直角坐标系. 点(1，3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数解 析式是 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵ 这段抛物线经过点(3，0) ∴ 0=a(3-1)2+3，解得： ∴ y=- (x-1)2+3 (0≤x≤3) 当x=0时，y=2.25 答：水管长应为2.25m. 练习 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 36课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法. 37二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，从而确定 开口方向、对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象. (二)过程与方法：经历求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方 法和数形结合的思想方法. (三)情感态度与价值观：让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴 趣，并获得成功感. 二、教学重点、难点 重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴. 难点：二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质. 三、教学过程 知识回顾 1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的______相同，_____不同. 2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点： (1)当a＞0时, 开口____，当a＜0时，开口____；(2)对称轴是_______；(3)顶点是 _______. 3.抛物线y=-4(x+2)2-5的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________；它 可由抛物线y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或 “下”)平移____个单位得到；当x=___时，y有最___值，其值为___；当______时，y随着 x的增大而增大，当______时，y随着x的增大而减小. 二次函数 的图象是有什么特点？它与我们已经作过的二次函数的图 象有什么关系？ 我们知道，像 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二 次 函数 也能化成这样的形式吗？ 探究新知 1.配方法：怎样把 转化成 的形式？ 38解： (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方式； (3)“化”：化成顶点式. 2.直接画二次函数 的图象. 抛物线 的顶点是(6，3)， 对称轴是直线x=6. 解：利用图象的对称性列表： 描点画图，得到 的图象. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也 就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大. 探究 你能用前面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗？ 开口向下 顶点是(-1，3) 对称轴是直线x=-1 当x＜-1时，y随x的增大而增大； 当x＞-1时，y随x的增大而减小. 一般地，二次函数 可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式). 39对称轴是直线x=- 顶点是(- ， ) 如果a＞0时，那么当x=- 时，y = 最小值 如果a＜0时，那么当x=- 时，y = 最大值 如果a＞0，当x＜- 时，y随x的增大而减小，当x＞- 时，y随x的增大而增大； 如果a＜0，当x＜- 时，y随x的增大而增大，当x＞- 时，y随x的增大而减小. 练习 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法. 40用待定系数法求二次函数的解析式 一、教学目标 (一)知识与技能：会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式 形式，体会二次函数解析式之间的转换. (二)过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展 概括及分析问题、解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数 学知识的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：运用待定系数法求二次函数解析式. 难点：根据条件恰当设二次函数解析式形式. 三、教学过程 知识预备 1.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵ 一次函数经过点(1，3)和(-2，-12) ∴ 得关于k，b的二元一次方程组： ，解得 ∴ 这个一次函数的解析式为y=5x-2. 2.解三元一次方程组： 解：由①-③与②-③得二元一次方程组 41解这个方程组，得 把a=2，b=3代入③得 c=1 因此，三元一次方程组的解为 探究 我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求 出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题： (1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ (2)如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函 数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待 定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组 就可以求出k，b的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式 y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于 a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值. 解：(2)设所求二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次 方程组 解这个方程组，得 因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 知识梳理 知识点 用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值.由已知条件(如 二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写 出二次函数的解析式. 例 已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式. 解：由抛物线的顶点是(1，-3)，可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3 ∵ 抛物线经过点M(2，0) ∴ 0=a×(2-1)2-3，解得 a=3 ∴ 抛物线的解析式为：y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x 归纳总结 二次函数解析式的类型及适用情况 42练习 1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0.求这个二次函数的 解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得 解这个方程组，得 因此，所求二次函数的解析式为y=x2+ x-1. 2. 一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9) 三点.求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得 解这个方程组，得 因此，所求二次函数的解析式为y=4x2+5x. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设 出其形式，然后求解，这样可以简化计算. 43二次函数与一元二次方程 一、教学目标 (一)知识与技能：1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的 关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数 的图象求一元二次方程的近似解. (二)过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间 的联系. (三)情感态度与价值观：通过观察二次函数图象与 x轴的交点个数，讨论一元二次方程根 的情况，进一步体会数形结合思想. 二、教学重点、难点 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 三、教学过程 复习引入 1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数. 二次函数与一元二次方程有什么联系？当y=0时，ax2+bx+c=0. 2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？ b2-4ac>0 方程有两个不等的实数根； b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根； b2-4ac<0 方程无实数根. 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将 44是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之 间具有函数关系：h=20t-5t2. 考虑以下问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ (3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值 代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的 飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值. 解：(1)当h=15时，20t-5t2=15 整理得，t2-4t+3=0 解得，t=1，t=3 1 2 因此，当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m. (2)当h=20时，20t-5t2=20 整理得，t2-4t+4=0 解得，t=t=2 1 2 因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. (3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到 20.5m. (4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0 整理得，t2-4t=0 解得，t=0，t=4 1 2 因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s. h=20t-5t2→20t-5t2=15，20t-5t2=20，20t-5t2=20.5，20t-5t2=0. 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.例如，已知二次函数y=-x2+4x的 值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方 程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 已知二次函数的值，求自变量x的值. 解一元二次方程 思考 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点 的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y=x2+x-2；(2) y=x2-6x+9；(3) y=x2-x+1 (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐 标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由 此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1. (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐 标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0 45有两个相等的实数根3. (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系. 归纳 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x=x 时，函数的 0 0 值是0，因此x=x 就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 0 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有 两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等 的实数根，有两个不等的实数根. 例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标 大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为x≈-0.7，x≈2.7 1 2 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数， 讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系. 二次函数与图形面积问题 一、教学目标 (一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最 大值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想 方法. (二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建 模的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题. (三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自 体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感. 二、教学重点、难点 重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法. 难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题. 三、教学过程 知识预备 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是 ________________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y 最小值 =______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点， 即当x=____时，y =_______. 最大值 问题 从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h(单位： m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 46h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数 h=30t-5t2(0≤t≤6). 可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分. 这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是 说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 解：由函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象性质可知. 当t= = =3时，h有最大值 = =45.也就是说，小球运动时间是3s时，小球最高.小球运中的最大高度是45m. 探究1 用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多 少米时，场地的面积S最大？ 解：矩形场地的周长是60m，一边长为l m，所以另一边长为( -l)m.场地的面积 S=l(30-l) (0＜l＜30)即 S=-l2+30l (0＜l＜30) 因为，a=-1＜0，所以，当 l= = =15时，S 有最大值 = =225. 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 练习 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积 最大，最大值是多少？ 解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y.则y与x的函数关系式为 y= x(8-x) (0＜x＜8) 即 y=- x2+4x (0＜x＜8) ∵ a=- ＜0，∴ 当x= =4时，y =8. 最大 答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经 历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况. 47二次函数与最大利润问题 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会列出实际问题中变量之间的二次函数关系，并感受数学的应用价值； 2.运用配方法或公式法求出实际问题的最大值、最小值，发展解决问题的能力. (二)过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密 切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力. (三)情感态度与价值观：1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数 学 的理解和学好数学的信心；2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数 学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 二、教学重点、难点 重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义. 难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活 中的最大(小)值问题. 三、教学过程 教材导学 1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小值为____. 2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=- x2+100x. (1)二次函数y=-x2+100x的图象开口向___，有最___值，为_____； 48(2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人. 利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？ 探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格， 每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价 为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 没调整价格之前的利润是_____元. 解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每星期少卖_____件，实际卖出 _________件，销售额为_______________元，买进商品需付___________元.因此，所得利 润y=___________________________，即y=_______________，其中，0≤x≤30. 方法2：设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每 星期少卖____件，实际卖出________件，因此，所得利润y=_____________即 y=___________，其中，0≤x≤30. 解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元. y=-10x2+100x+6000，其中，0≤x≤30. 根据上面的函数，填空： 当x=____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_____元时，利润 最大，最大利润是______元. 解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每 星期多卖_____件，实际卖出_________件，因此，所得利润y=_____________________， 即y=_______________，其中，_________. 解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元. y=-20x2+100x+6000，其中，0≤x≤20. 根据上面的函数，填空： 当x=____时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_____元时，利润 最大，最大利润是______元. (1)涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元； (2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元. 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 当定价为65元时，能使利润最大，最大利润是6250元. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计， 每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ 解：设果园增种x棵橙子树，总产量为y个.则果园共有_______棵橙子树，这时平均每棵 树结_________个橙子. y=(100+x)(600-5x) 即 y=-5x2+100x+60000 (0≤x≤120) ∵ a=-5＜0 49∴ 当x= =10，y =60500 最大 即果园增种10棵橙子树，总数为110棵时，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500 个. 归纳总结 此类问题一般是先利用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售 数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数关系式的顶点 坐标，从而可得最大利润.同时还要注意实际问题中自变量的取值范围. 练习 某商店经营某种商品，已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查，销售量与单价满足如 下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以 多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？ 解：设每件商品降价x元，总获利为y元.依题意得 y=(13.5-2.5-x)(500+200x) 即 y=-200x2+1700x+5500 (0≤x≤11) ∵ a=-200＜0，∴ 当x=4.25，y =9112.5 最大 即每件商品降价4.25元，销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5 元. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利 用函数的性质进行决策. 建立适当的坐标系解决实际问题 一、教学目标 (一)知识与技能：通过对抛物线型拱桥的探究，掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系 法求二次函数解析式，解决实际问题. (二)过程与方法：体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数 的有关知识解决实际问题. (三)情感态度与价值观：通过二次函数的有关知识灵活用于实际，体会到学习数学知识的 价值，从而提高学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要 模型. 难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便. 三、教学过程 知识预备 1. 函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当 a____时，开口向上，当a____时，开口向下. 2.二次函数解析式的形式有：①一般式：____________，②顶点式：_____________，③交 点式：________________. 50(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为 _________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为 ______________. (2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长为___. 探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐 标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角 坐标系. 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立 直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物 线经过点(2，-2)，可得 -2=a×22，解得，a= ∴ 这条抛物线表示的二次函数为：y= x2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3. 当y=-3时，x= . ∴ 当水面下降1m时，水面的宽度为2 m. ∴ 水面的宽度增加了(2 -4)m. 你有其它解法吗？ 解：以离拱顶2m时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴 建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2+2.由 抛物线经过点(2，0)，可得 0=a×22+2，解得，a= ∴ 这条抛物线表示的二次函数为：y= x2+2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-1. 当y=-1时，x= . ∴ 当水面下降1m时，水面的宽度为2 m. ∴ 水面的宽度增加了(2 -4)m. 归纳总结 在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以y轴 为对称轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点 上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为 y=ax2+k. 51步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函 数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；(5)利用关系式求解问题. 练习 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立 如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗？ 解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由已知条件可知抛物线经过点(15，-9)，可得 -9=a×152，解得，a= 因此，桥拱所在抛物线的函数关系式为：y=- x2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立 二次函数模型，解决生活中的实际问题. 第22章二次函数小结与复习 一、教学目标 1.通过复习二次函数的图象和性质，运用二次函数解决实际问题等内容，梳理本章知识， 形成有关二次函数的知识体系. 2.通过回顾探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想 形成分析和解决函数问题的一些基本方法. 3.通过利用二次函数解决实际问题，再次体会建模思想，增强应用意识. 二、教学重点、难点 重点：复习二次函数的定义、图象和性质. 难点：用二次函数解决实际问题. 三、教学过程 知识梳理 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b=0，c=0时，y=ax2是 特殊的二次函数. 二、二次函数的图象与性质 52三、二次函数图象的平移 四、二次函数表达式的求法 五、二次函数与一元二次方程的关系 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x ，那么当x=x 时，函数的 0 0 值是0，因此x=x 就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 0 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有 两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等 的实数根，有两个不等的实数根． 六、二次函数的应用 1.二次函数的应用包括以下两个方面： (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大(小)化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 2.一般步骤： (1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4)检验结果的合理性，是否符合实际意义. 考点讲练 考点一 求抛物线的顶点坐标、对称轴、最值 53例1 求抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标. 解法一：配方，得y=x2-2x+3=(x-1)2+2，则顶点坐标为(1，2) 解法二：由顶点公式，得 ， 则顶点坐标为(1，2) 方法总结 解决此类题目可以先把二次函数y=ax2+bx+c配方为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，得到：对称 轴是直线x=h，最值为y=k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解. 针对训练 1.对于y＝2(x＋3)2＋2的图象下列叙述正确的是( ) A.顶点坐标为(3，2) B.对称轴为直线x＝3 C.函数的最大值为2 D.函数的最小值为2 考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较 例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，点A(x ，y)，B(x ， 1 1 2 y)在此函数图象上，且x＜x＜1，则y 与y 的大小关系是( ) 2 1 2 1 2 A.y≤y B.y＜y 1 2 1 2 C.y≥y D.y＞y 1 2 1 2 针对训练 2.下列函数中，当x＞0时，y随x增大而减小的是( ) A. B.y＝x－1 C. D.y＝－3x2 考点三 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 例3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 方法总结 1.根据图象开口方向及与y轴交点位置来确定a、c符号. 2.根据对称轴的位置确定b的符号：b=0 对称轴是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧； a、b异号⇔对称轴在y轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”. ⇔ 3.当x=1时，函数y=a+b+c. 当图象上横坐标x=1的点在x轴上方时，a+b+c＞0；当图象上 横坐标x=1的点在x轴上时，a+b+c=0；当图象上横坐标x=1的点在x轴下方时，a+b+c＜0. 同理，可由图象上横坐标x=-1的点判断a-b+c的符号. 针对训练 3.已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取 值范围是( ) A.b≤1 B.b≥1 C.b≥－1 D.b≤－1 考点四 抛物线的几何变换 例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的 抛物线解析式是( ) A.y＝(x－4)2－6 B.y＝(x－4)2－2 C.y＝(x－2)2－2 D.y＝(x－1)2－3 针对训练 4.若将抛物线y＝－7(x＋4)2－1通过平移得到y＝－7x2，则下列平移方法正确的是( ) A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 54B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 考点五 二次函数表达式的确定 例5 已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝ 2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式. 解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得： ，解这个方程组得 ∴ 这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 针对训练 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与抛物线y＝－x2－3x＋7的形状相同，顶点在直线x＝1上， 且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1 又∵ 顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5 ∴ 顶点坐标为(1，5)或(1，-5) ∴ 其表达式可以为：(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=- (x-1)2-5 考点六 二次函数与一元二次方程 例6 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为( ) A.x＝0，x＝6 B.x＝1，x＝7 1 2 1 2 C.x＝1，x＝－7 D.x＝－1，x＝7 1 2 1 2 针对训练 6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的部分图象如图所示，则关于x的一 元二次方程ax2＋bx＋2＝0的解为____________________. 考点七 二次函数的应用 例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价， 且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋ b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多 少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 解：(1)根据题意，得 ，解得 故所求一次函数的表达式为y=-x+120. (2)w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200，配方得w=-(x-90)2+900 ∵ 抛物线的开口向下 ∴ 当x＜90时，w随x的增大而增大 ∵ 60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87 55∴ 当x=87时，w有最大值，此时w=-(87-90)2+900=891 故销售单价定为87元时，商场可获得最大利润891元. 针对训练 7.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以 近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何 时亏损？)作预测分析. 解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx， 由图象的点的含义，得 ，解得 故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x (2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49 ∴ 当x=7时，y =49 最大 故第7个月时，利润最大为49万元. (3)没有利润，即-x2+14x=0解得x=0(舍去)或x=14 1 2 而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损. 例8 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中 15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值. 解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30 ∴ BF=2x-30 (2)∵ ∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90° ∴ ∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30 ∴ S=S -S = DE2- BF2= x2- (2x-30)2=- x2+60x-450 △DEF △GBF (3)∴ S=- x2+60x-450=- (x-20)2+150 ∵ a=- ＜0，15＜20＜30 ∴ 当x=20时，S有最大值，最大值为150. 针对训练 8.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大， 他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈. (1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积； (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？ 并说明理由. 解 ： (1) 由 题 意 ， 得 羊 圈 的 长 为 25m ， 宽 为 (40- 25)÷2=7.5(m)， 故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2) 56(2)设羊圈与墙垂直的一边为x m，则与墙相对的一边长为 (40-2x)m，羊圈的面积： S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200 (0＜x＜20) ∵ 0＜10＜20 ∴ 当x=10时，S有最大值，最大值为200. ∴ 张大伯的设计不合理 合理的设计是：羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为20m，此时羊圈的 面积最大为200m2. 旋转的概念及性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换；2.经 历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质. (二)过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手 能力、观察能力、以及与他人合作交流的能力. (三)情感态度与价值观：1.经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生充分 感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感；2.通过小组合作交流活动，培 养学生合作学习的意识和研究探索的精神. 二、教学重点、难点 重点：旋转的有关概念和旋转的基本性质. 难点：探索旋转的基本性质. 三、教学过程 温故知新 571.如图，两个图形具有平移关系的是_______，两个图形具有轴对称轴关系的是_______. 2.平移前后的两个图形是_____形，对应点的连线_____(或在同一直线上)且_____. 3.具有轴对称关系的两个图形是_____形，对应点的连线被对称轴__________. 动画欣赏 如图(1)，钟表的指针在不停地转动，从 3时 到 5时，时针转动了多少度？ 如图(2)，风车风轮的每个叶片在风的吹动下 转 动到新的位置. 以上这些现象有什么共同特点呢？ 我们可以把上面问题中的指针、叶片等看作平面图形.像这样，把一个平面图形绕着平 面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.例如，图(1) 中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，时针的端点在3时的位置P与 在5时的位置P′是对应点. 练习 1.请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角. 2.时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是_____度，从上 午9时到上午10时，时针旋转的旋转角是_____度. 3.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是____，旋转角是_______________. 教材导学 如图，△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°得到的. 旋转中心是点____； 旋转的方向是_______； 旋转的角度是____； 点B的对应点是点___； 58∠AOA′=∠BOB′=____； ∠A的对应角是____，即∠A=____； ∠B的对应角是____，即∠B=____； 线段OB的对应线段是线段____，即OB=____； 线段AB的对应线段是线段____，即AB=____； OA的中点D的对应点在____的中点上. 探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个小洞O作为旋转中心， 硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然 后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开 硬纸板. △A′B′C′是由△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到的. 问：线段OA与OA′有什么关系？_______；∠AOA′与∠BOB′有什么关系？ _____________ ； △ ABC 与 △ A′B′C′ 形 状 和 大 小 有 什 么 关 系 ？ _______________. 归纳 旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 旋转前、后的图形全等. 理解两点： (1)旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； (2)旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点. 例 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点，△ABD经过逆时针方向旋转后到达△ACE 的位置. (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M到了什么位置？ 解：(1)旋转中心是点A； (2)旋转了60°； (3)点M转到了线段AC的中点上. 练习 1.如图，小明坐在秋千上，秋千旋转80°.请在图中小明身 上任意选一点P，利用旋转性质，标出点P的对应点. (1)这两个点到旋转中心的距离有怎么的关系？ (2)这两个点与旋转中心所连线段的夹角是多少度？ 解：如图(1)OP=OP′； (2)∠POP′=80°. 2.找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角. 解：旋转中心为螺母的中心O，旋转角为∠POP′. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 59四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 旋转作图 一、教学目标 (一)知识与技能：能够根据旋转的性质作出任一个图形的旋转图形，掌握旋转作图的步骤 和关键. (二)过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题、动手能力、 观察能力. (三)情感态度与价值观：数学来源于生活又应用于生活，让学生在感受数学的奇妙的同时 60提高解决问题的能力. 二、教学重点、难点 重点：用旋转的有关知识画图. 难点：根据需要设计美丽图案. 三、教学过程 知识回顾 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点 O转动一个角度，叫做图形的旋转，点 O叫做旋转 中心，转动的角叫做旋转角. 2.旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 旋转前、后的图形全等. 3.旋转的三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角. 教材导学 1.如图中的Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有( ) (1)①→②是旋转；(2)①→③是平移；(3)①→④是平移；(4)②→③是旋转. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.分析图中①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分. 例1 如图，△ABC绕点C顺时针旋转后，顶点A的对应点为点D.试确定顶点B的对应位置， 以及旋转后的三角形. 分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求 作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作. 解：假设顶点B的对应点为E，则旋转后的三角形为△DEC， ∠BCE、∠ACD都是旋转角，且∠BCE=∠ACD，CE=CB、CD=CA. 作法：(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCN，使得∠BCN=∠ACD；(3)在射线CN上截取 CE=CB； (4)连接DE.则△DEC就是△ABC绕C点顺时针旋转后的图形. 例2 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点 A为中心，把△ADE顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形. 解：∵ 点A是旋转中心 ∴ 它的对应点是它本身 在正方形ABCD中，AD=AB∠DAB=90°. 61∴ 旋转后点D与点B重合 设点E的对应点为点E′. ∵ 旋转后的图形与旋转前的图形全等 ∴ ∠ABE′=∠ADE=90°，BE′=DE. ∴ 在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，连接AE′，则△ABE′为旋转后的图形. 还有其它方法吗？ ∵ 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角. ∴ AE′=AE，∠EAE′=∠DAB=90°. ∴ 在AB左侧，作AE′⊥AE，使AE′=AE，连接BE′， 则△ABE′为旋转后的图形. 归纳总结 1.旋转作图的条件： (1)有原图形 (2)有旋转中心 (3)有旋转方向 (4)有旋转角 2.旋转作图的步骤： (1)确定图形的关键点； (2)作出旋转后的对应点； (3)顺次连线即可. 将下列图案(点击图案可选择不同的图案)进行旋转，选择不同的旋转中心(点O可拉 动)，不同的旋转角，会出现不同的效果. 练习 1.如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？ 解：将左面的三角形以点O为旋转中心， 按顺时针(或逆时针)经过两次旋转，每 次旋转角为120°，可以得到右面的图形. 2.把一个三角形进行旋转： (1)选择不同的旋转中心、不同旋转角，看看旋转的效果； (2)改变三角形的形状，看看旋转的效果. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 为了增加学生的兴趣，让学生通过动画演示更清 楚的了解到旋转作图的步骤. 整个教学过程留给了学生较多的空间，让学生有更多的独立 思考、动手实践的机会. 中心对称 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解中心对称、对称中心的概念，掌握关于中心对称的性质特点；2. 能根据中心对称的性质作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形. (二)过程与方法：经历中心对称的探索过程，通过观察、操作、发现、探究中心对称的有 关概念和基本性质，培养学生的观察能力和动手操作能力. 62(三)情感态度与价值观：通过对中心对称的学习，感受对称、匀称、均衡的美感体验图形 变化的规律感受图形变换和图形的美丽，感受生活中的数学，热爱数学，享受学习乐趣. 二、教学重点、难点 重点：中心对称的概念和性质. 难点：中心对称性质的推导及理解. 三、教学过程 教材导学 如图，正方形ABCD通过旋转一定角度后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可 做旋转中心的点有____个. 旋转中心为D点 旋转中心为C点 旋转中心为CD中点 它们的旋转角各是多少度？ 思考 (1)如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ (2)如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发 现？ (1) (2) 像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形 在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 点C与点___，点D与点___是关于点O的对称点. 如图，三角尺的一个顶点是O，以点O为中心旋转三角尺，可以画出关于点O中心对称 的两个三角形： 第一步，画出△ABC； 第二步，以三角尺的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A'B'C'； 第三步，移开三角尺. 问题：△ABC与△A'B'C'有什么关系？点O在线段AA'上吗？如果在，在什么位置？ △ABC≌△A'B'C' 点O在线段AA'上，且OA=OA'，即点O是线段AA'的中点.同样地，点O也是线段BB'和 CC'的中点. 归纳 63中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. 中心对称的两个图形是全等图形. 轴对称与中心对称 轴对称 中心对称 轴对称：有一条对称轴(直线)，图形沿轴折叠，折叠后与另一图形重合. 中心对称：有一个对称中心(点)，图形绕中心旋转180°，旋转后与另一图形重合. 例1 (1)如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′； (2)如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′. 解：(1)连接AO，在AO的延长线上截取OA′=OA，即可以求得点A关于点O的对称点A′. (2) 作出A，B，C三点关于点O对称点A′，B′，C′，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC 关于点O对称的△A′B′C′. 练习 1.分别画出下列图形关于点O对称的图形. 2.图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心. 解：如图，点O为它们的对称中心. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，结合图形的旋转学习中心对称，体会图 形变换思想方法. 64中心对称图形 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握中心对称图形的定义，准确判断某图形是否为中心对称图形. (二)过程与方法：通过学习中心对称图形，进一步认识几何图形的本质特征，通过学习中 心对称图形与中心对称的区别联系，中心对称图形与轴对称图形的区别，进一步发展学生 抽象概括的能力. (三)情感态度与价值观：让学生体验到数学与生活的紧密联系，激发学习愿望，主动参与 数学学习活动，积累一定的审美体验. 二、教学重点、难点 重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用. 65难点：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形. 三、教学过程 知识回顾 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分就能够互相重合，这个图形就叫做轴 对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？ 创设情境 游戏：猜一猜，哪张扑克牌被旋转了180°？ 要求：请一位同学从屏幕上的四张扑克牌中任选一张，绕扑克牌中心旋转180°，其余同 学和老师都闭上眼睛，待这位同学旋转好后，再睁开眼睛. 探索新知 中心对称图形的概念 (1)上图中的“风车”绕其上一点旋转180°，旋转前后的图形完全重合吗？ (2)这些图形有什么共同的特征？ 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称图形的性质 中心对称图形上对应点的连线都经过对称中心， 且被对称中心平分.(OA=OB) 深化探索 活动一：议一议 66(1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，请找出它的对称中心； (2)从中你能验证平行四边形的哪些性质？ 解：(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；(2)对边相等，对角相等， 对角线互相平分. 活动二：想一想 下面哪些图形是中心对称图形？ 活动三：说一说 请同学们回到课前的游戏中来！ 中心对称图形的形状通常匀称美观，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图 形(图(1))，在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案(图(2)).另外，由 于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在各 种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等(图(3)). 中心对称和中心对称图形的区别与联系： 区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系，中心对称图形指一个图形本身成中心对 称. 联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形.如果将中心对 称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称. 练习 1.我们平时见过的几何图形中，有哪些是中心对称图形？并指出对称中心. 2.怎样的正多边形是中心对称图形？ 边数为偶数的正多边形是中心对称图形. 673.在以下的图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及生活，生产中中心对称 图形的实例. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，结合图形，多观察，多归纳，体会认识 中心对称图形的方法，认识中心对称图形的特征. 关于原点对称的点的坐标 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系. (二)过程与方法：经历—猜想—验证的实践过程，积累数学活动的经验. (三)情感态度与价值观：从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系，培养观察、分析、 探究及合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的. 二、教学重点、难点 重点：探究关于原点对称的点的坐标的规律. 难点：关于原点对称的点的坐标的规律的运用. 68三、教学过程 知识回顾 如图，在直角坐标系中，A(-l，6)，B(-3，1)，C(-4，4). (1)在直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△ABC，并写出△ABC 三个顶点的坐标； 1 1 1 1 1 1 (2)在直角坐标系中作出△ABC关于x轴对称的△ABC，并写出△ABC 三个顶点的坐标. 2 2 2 2 2 2 解：(1)如图△ABC 为所求，A(l，6)，B(3，1)，C(4， 1 1 1 1 1 1 4)； (2)如图△ABC 为所求，A(-l，-6)，B(-3，-1)，C(-4，- 2 2 2 2 2 2 4). 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标__________， 纵坐标___________；关于y轴对称的点横坐标___________， 纵坐标__________. 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(___，___) 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(___，___) 探究 如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.这些坐 标与已知点的坐标有什么关系？ A(4，0) → A′(___，___) B(0，-3) → B′(___，___) C(2，1) → C′(___，___) D(-1，2) → D′(___，___) E(-3，-4) → E′(___，___) 归纳 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y). 例2 如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出 与△ABC关于原点对称的图形. 解：点 P(x，y)关于原点的对称点为 P′(-x，-y)，因此 △ABC的三个顶点A(-4，1)，B(-1，-1)，C(-3，2)关于 原点的对称点分别为 A′(4，-1)B′(1，1)，C′(3，-2)，依 次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称 的△A′B′C′. 方法总结 作关于原点对称的图形的一般步骤： (1)写出各点关于原点对称的点的坐标； (2)在坐标平面内描出这些对称点； (3)参照原图形顺次连接各点，即为所求作的对称图形. 练习 1.下列各点中哪两个点关于原点O对称？ A(-5，O)，B(0，2)，C(2，-1)，D(2，0)，E(0，5)，F(-2，1)，G(-2，-1). 解：点C(2，-1)与点F(-2，1)关于原点O对称. 2.写出下列各点关于原点的对称A′，B′，C′，D′的坐标： 69A(3，1)，B(-2，3)，C(-1，-2)，D(2，-3). 解：A′(-3，-1)，B′(2，-3)，C′(1，2)，D′(-2，3). 3.如图，已知点A的坐标为(-2 ，2)，点B的坐标为(-1，- )，菱形ABCD的对角线交 于坐标原点O.求C，D两点的坐标. 解：依题可知，点A与点C关于原点对称，点B与点D关 于原点对称，因此，点C(2 ，-2)点D(1， ). 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历探究关于坐标轴对称的点的坐标变 化规律将实际问题转化为数学问题，体会数形结合思想. 图案设计 一、教学目标 (一)知识与技能：利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案. (二)过程与方法：学生应用各种图形变换的特征设计属于自己的图案，在对所学数学知识 进行“再认识”的同时进行着独立的数学创造，发展了形象思维和创造性思维. (三)情感态度与价值观：在经历应用数学知识进行独立的图案设计的活动中，感受到数学 70美与创造的同时获得自我创造的成就感，激发创造性地应用数学知识的热情. 二、教学重点、难点 重点：利用各种图形变换设计组合图案. 难点：将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、美观的 组合图案. 三、教学过程 神奇图案 知识回顾 1.我们共学习了几种图形变换方式？ 平移、轴对称、旋转 2.你知道平移、轴对称、旋转变换的基本特征(性质)吗？ 平移：对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 轴对称：对应点的连线被对称轴垂直平分. 旋转：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.想一想这三种图形变换有什么共性. 图形变换前后两个图形全等 观察思考 你知道下面的图案是怎样得到的吗？ 可以由 经过旋转、轴对称和平移得到的. 下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十字”.红色部分能经过适当的旋转得到其他三 部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其他的方式吗？ 71例 怎样将位置A中的小树甲变成位置B中的小树乙？ 解：先将小树甲绕点A逆时针旋转60°，然后再沿直线AB向左平移(线段AB)的长度到位 置B即可得到小树乙. 还有其他方法吗？ 试一试 你能将下图中的左图通过平移或旋转得到右图吗？ 练习 观察图中的三个图案，可以分别看做是由什么“基本图案”通过怎样的变化形成的？(不考 虑颜色) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历运用平移、旋转、轴对称的组合进 行简单的图案设计过程，体会图形的欣赏与设计过程. 72第23章旋转小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：复习图形旋转、中心对称的基本性质及应用和两个点关于原点对称时坐 标之间的关系. (二)过程与方法：1.通过总结、归纳等过程，总结平移、轴对称、旋转的联系和区别、旋 转和中心对称的联系和区别；2.运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题. (三)情感态度与价值观：通过复习，对知识点查漏补缺，使学生充分掌握和运用本章知识， 培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：图形旋转、中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时它们坐标之间的关系. 难点：运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些生活问题. 三、教学过程 知识梳理 一、旋转的特征 1.旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心按同一旋转 方向旋转同样大小的角度. 2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转 角，对应点到旋转中心的距离都相等. 3.旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、 形状不变. 二、中心对称 1.中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重 合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2.中心对称的特征 在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 考点讲练 考点一 旋转的概念及性质的应用 例1(1)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则 ∠AOD的度数是( ) A.15° B.60° C.45° D.75° (2)如图，△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针方向旋转60°得到的，若A′B′＝12，OA＝5，点A′ 在AB上，则A′B的大小是( ) 73A.13 B.12 C.5 D.7 (1) (2) 针对训练 1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点O逆时针旋 转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为______. 2.如图，在△OAB中，∠A＝25°，∠B＝75°，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转x度得到 △OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，则x＝_____. 考点二 旋转变换 例2 如图，在坐标网格中，线段AB和点P绕着同一个点_________(填坐标)做相同的旋转， 分别得到线段A′B′和点P′，则点P′的坐标是_________. 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将 线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. (1)补充完成图形； (2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°. 解：(1)补全图形，如图所示； (2)由旋转的性质得，CD=CF，∠DCF=90° ∴ ∠DCE+∠ECF=90° ∵ ∠DCE+∠BCD=∠ACB=90° ∴ ∠BCD=∠ECF 74又∵ CB=CE ∴ △BCD≌△ECF (SAS) ∴ ∠BDC=∠EFC ∵ EF∥DC ∴ ∠EFC=180°-∠DCF=90° ∴ ∠BDC=90° 针对训练 3.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的 顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所 示的平面直角坐标系，点 A、B 的坐标分别是 A(3，2)、 B(1，3). (1)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△AOB ，画出旋 1 1 转后的图形； (2)画出△AOB 关于原点 O 对称的图形△AOB ，并写出点 2 2 A，B 的坐标. 2 2 解：(1)如图所示，△AOB 为所求的图形. 1 1 (2)如图所示，△AOB 为所求的图形.A(-3，-2)，B(-1，-3). 2 2 2 2 4.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋 转60°后得到CE，连接AE. (1)补充完成图形；(2)求证：AE∥BC. 解：(1)补全图形，如图所示； (2)证明：∵ △ABC是等边三角形 ∴ BC=AC，∠ACB=∠B=60° 由旋转的性质得，CD=CE，∠DCE=60° ∵ ∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD=60° ∴ ∠BCD=∠ACE ∴ △BCD≌△ACE (SAS) ∴ ∠B=∠CAE=60° ∴ ∠CAE=∠ACB，∴ AE∥BC 考点三 中心对称 例4 下列图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是( ) 例5 如图，已知点M、N分别是△ABC的边BC、AC的中点，点P是点A关于点M的对称点， 点Q是点B关于点N的对称点. 求证：P、C、Q三点在同一条直线上. 证明：连接MN，CP，CQ ∵ 点P是点A关于点M的对称点 ∴ 点M是AP的中点 又∵ 点N是AC的中点 ∴ MN是△APC的中位线 75∴ CP∥MN 同理可证，CQ∥MN 从而，CP与CQ都经过点C且都平行于MN ∴ P、C、Q三点在同一条直线上. 针对训练 5.点A(3，5)关于原点的对称点的坐标为( ) A.(－3，5) B.(－3，－5) C.(3，－5) D.(5，3) 6.下列说法不正确的是( ) A.任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形 B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形 D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条 7.有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和.小明想了想，方 阵像正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对 称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竟得到了 非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 解：表格中一共有25个数，通过观察可发现，以表格中心的5为中心 点，其它每个数与其中心对称位置的数之和均为10的数共12组，再加上表格中心的5，得 这组数和为125. 能力提升 8.(1)如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究 BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕点A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经 探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是_____________.(无须证明) (2)如图2，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝ 45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证 明你的结论． 解：CE2=BD2+DE2 证明：将△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AFB，连接FD. 由旋转的性质可得△AEC≌△AFB ∴ AF=AE，BF=CE，∠FAB=∠EAC ∴ ∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=120° 又∵ ∠DAE=60°，∴ ∠FAD=∠EAD=60° 又∵ AD=AD ∴ △ADF≌△ADE (SAS) ∴ DF=DE，∠ADF=∠ADE=45° ∴ ∠BDF=90° ∴ BF2=BD2+DF2 ∴ CE2=BD2+DE2 76圆 一、教学目标 (一)知识与技能：经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等 圆、等弧的概念. (二)过程与方法：经历探索圆的形成过程，发展学生的数学思考能力. (三)情感态度与价值观：体会圆在生产生活中的广泛运用，感受数学的价值，体会圆的匀 称美、培养审美意识. 二、教学重点、难点 重点：经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念. 难点：理解圆的概念的形成过程和圆的集合定义. 三、教学过程 引入 “一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.”这是古希腊的数学家毕 达哥拉斯的一句话. 圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，他都具有同一形状. 圆有哪些性质？为什么车轮做成圆形？怎样设计一个运动场的跑道？怎样计算蒙古包 的用料？在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决 一些实际问题. 圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象. 车轮为什么要做成圆形？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心的距离都相等，当车轮在地面上滚动时，车 轮中心与地面的距离保持不变，因此，坐车的人会感觉到非常平稳． 画圆 如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 77圆的定义 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成 的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 从画圆的过程中，我们可以看出： (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载. 它的意思是圆上各点到圆心的距 离都等于半径. 例1 矩形ABCD的对角线AC，BD，相交于点O.求证：A， B， C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明：∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD ∴ OA=OC=OB=OD ∴ A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上. 与圆的有关概念 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.如图中，AB，AC是弦，AB 是直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作\s\up6(⌒)错误: 引用源未找到，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弧，每一条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧(用三个点表示，如图中的\s\up6(⌒))叫做优弧； 小于半圆的弧(如图中的\s\up6(⌒))叫做劣弧. 能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等 圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重 合的弧叫做等弧. 注：等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等；等弧的弧长相等，但弧长相等的弧不一定 是等弧. 78练习 1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 2.你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成是圆形 的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少？ 解：23÷2÷20= (cm) 答：这棵树的半径平均每年增加 cm. 3.△ABC中，∠C=90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上. 证明：取AB的中点O，连接OC. ∵ △ABC为直角三角形 ∴ OC= AB ∴ OC=OA=OB ∴ A，B，C三个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现 的圆的有关的性质. 79垂直于弦的直径 一、教学目标 (一)知识与技能：1.充分认识圆的轴对称性；2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性 质，掌握垂径定理；2.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图. (二)过程与方法：1.让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学 生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；2.让每个学生动手、动口、动眼、 动脑，培养学生直觉思维能力. (三)情感态度与价值观：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时 培养学生勇于探索的精神. 二、教学重点、难点 重点：垂直于弦的直径的性质及其应用. 难点：1.垂径定理的证明；2.垂径定理的题设与结论的区分. 三、教学过程 问题情境 问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤 劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中 点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是圆的对称轴 80分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴) 的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A 作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又 AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD 的 对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂 足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A 与点A′重合，AM与A′M重合，\s\up5(⌒)，\s\up5(⌒)分别与Com，Com bin bin 重合. 因此，AM=A′M，\s\up5(⌒)=Com，\s\up5(⌒)=Com bin bin 即直径CD平分弦AA′，并且平分Com，Com. bin bin 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理应用格式： ∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E. ∴ AE=BE，\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒). 进一步，我们还可以得到推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理应用格式： ∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE ∴ CD⊥AB，\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒). 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 81解：如图，用\s\up5(⌒)表示主桥拱，设\s\up5(⌒)所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆 心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与\s\up5(⌒)相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D 是AB的中点，C是\s\up5(⌒)的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD= AB= ×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+(R-7.23)2 解得 R≈27.3(m) 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径. 解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA. ∴ AE=BE= AB= ×8=4(cm) 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2 即 42+32=AO2 解得 AO=5cm 因此，⊙O的半径为5cm. 2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D， E.求证：四边形ADOE是正方形. 证明：∵ AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC ∴ ∠A=∠ODA=∠OEA=90° ∴ 四边形ADOE是矩形 ∵ OD⊥AB，OE⊥AC ∴ AE=CE= AC，AD=BD= AB 82又 AB=AC ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE是正方形. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关. 在圆中求有关线段长时， 可考虑垂径定理的应用. 弧、弦、圆心角 一、教学目标 (一)知识与技能：通过探索理解并掌握；1.圆的旋转不变性；2.圆心角、弧、弦之间相等 关系定理. (二)过程与方法：通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观 察、发现新问题，探究和解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴 趣，在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 二、教学重点、难点 重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆条件”的理解及定理的证明. 三、教学过程 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得 到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 圆是中心对称图形，圆心就是 它的对称中心；把圆绕圆心旋转任 意一个角度，所得的图形都与原图 形重合. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. ∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦 83为AB，所对的弧为AB. 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 探究 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角、弧、弦 这三个量之间会有什么关系呢？ 思考 如图，⊙O(及⊙O，⊙O)中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧\s\up5(⌒)和Com、 1 2 bin 弦AB和弦A′B′相等吗？为什么？ 我们把∠AOB连同\s\up5(⌒)绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合. ∵ ∠AOB=∠A′OB′ ∴ 射线OB与OB′重合 又 OA=OA′，OB=OB′ ∴ 点A与A′重合，点B与B′重合 因此，\s\up5(⌒)与Com重合，AB与A′B′重合 bin 即 \s\up5(⌒)=Com，AB=A′B′ bin 这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 定理应用格式： ∵ 在⊙O中，∠AOB=∠A′OB′ ∴ \s\up5(⌒)=Com，AB=A′B′ bin 思考 如果在同圆或等圆这个前提下，将定理中的题设和结论中的任何一项交换一下，结论还正 确吗？ 1.在⊙O中，如果AB=Com，那么_____________________； bin 2.在⊙O中，如果AB=A′B′，那么_____________________. 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别 相等. 84总结上面的三个结论，我们可以得到： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其 余各组量都分别相等. 例3 如图，在⊙O中，\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒) ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形 又 ∠ACB=60° ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC 练习 1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦. (1)如果AB=CD，那么____________，_______. (2)如果\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，那么____________， _______. (3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______. (4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗？为什么？ 解：OE=OF.理由如下： ∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ AE= AB，CF= CD 又 AB=CD，∴ AE=CF 又 AO=CO，∴ Rt△AOE≌Rt△COF(HL) ∴ OE=OF 2.如图，AB是⊙O的直径，\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，∠COD=35°.求∠AOE的 度数. 解：∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒) ∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE 又 ∠COD=35° ∴ ∠BOE=3∠COE=3×35°=105° ∴ ∠AOE=180°-∠BOE =180°-105°=75° 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其 他三组也随之确定了. 85圆周角 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及性质；2.圆内接多边形、多边 形的外接圆的概念；3.圆内接四边形对角互补. (二)过程与方法：1.引导学生能主动地通过：观察、猜想、验证“圆周角与圆心角的关 系”，培养学生的合情推理能力与创新精神，从而提高数学素养；2.初步运用圆周角定理 解决相关问题. (三)情感态度与价值观：创设情境激发学生对数学的“好奇心，求知欲”，营造“民主， 和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验. 二、教学重点、难点 重点：探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质及圆内接四边形对角互补的结论. 难点：发现并证明圆周角定理. 三、教学过程 知识回顾 如图，在⊙O中，若\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，则AD=____，AC=____，AB⊥____， ∠AOD=______. 足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好.”在射门 游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关. 86在上图中，当球员在B，D，E处射门时他所处的位置对球门AC分别形成三个张角 ∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，并且两边都与 圆相交，我们把这样的角叫做圆周角. 下列各图形中的∠APB哪些是圆周角？ 如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB.可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧 \s\up5(⌒)，它们之间存在什么关系呢？ 探究 分别测量图中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数， 它们之间有什么关系？ 在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测 量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ 拉动A、B、C三点，观察圆周角(∠ACB)和圆心角(∠AOB)是如 何变化的，及它们之间有何关系？ 可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 在⊙O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会： (1)在圆周角的一条边上； (2)在圆周角的内部； (3)在圆周角的外部. 分析第(1)种情况： 符号“ ”读作“推出”，“A B”表示由条件A推出结论B. 这样，我们就得到圆周角定理： 87一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 定理应用格式： ∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒) ∴ ∠ACB= ∠AOB 进一步，我们还可以得到下面的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 定理应用格式： ∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒) ∴ ∠ACB=∠ADB ∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒) ∴ ∠AEB=∠CFD 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 定理应用格式： ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是⊙O的直径 例4如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、 BD的长. 解：连接OD. ∵ AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ABC中， (cm) ∵ CD平分∠ACB ∴ ∠ACD=∠BCD ∴ ∠AOD=∠BOD ∴ AD=BD 又 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ∴ AD=BD= AB= ×10=5 (cm) 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆 叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的 外接圆. 思考 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 如图，连接OB，OD. ∵ ∠A所对的弧为Com，∠C所对的弧为Com bin bin 又 Com和Com所对的圆心角的和是周角 bin bin ∴ ∠A+∠C= =180° 同理 ∠B+∠D=180° 这样，利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质： 88圆内接四边形的对角互补. 练习 2.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些 相等？为什么？ 解：∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，∴ ∠1=∠4 ∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，∴ ∠2=∠7 ∵ AD=AD，∴ ∠3=∠6 ∵ AB=AB，∴ ∠5=∠8 3.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC 证明：∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，∴ ∠ACB= ∠AOB ∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)，∴ ∠BAC= ∠BOC ∵ ∠AOB=2∠BOC，∴ ∠ACB=2∠BAC 4.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下. 解：AB，CD为圆形纸片的两条直径，则交点O为圆形纸片的圆心. 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数. 解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠B+∠ADC=180° ∴ ∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70° ∵ ∠ADE+∠ADC=180° ∴ ∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110° 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用. 在圆 中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑. 89点和圆的位置关系 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握点和圆的三种位置关系的判别；2.了解不在同一条直线上的三个 点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三 角形的外心等概念. (二)过程与方法：1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的 探索能力；2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数 学问题的策略. (三)情感态度与价值观：1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性， 发展实践能力与创新精神；2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 二、教学重点、难点 重点：1.能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系；2.学会用已知 点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系；3.认识三角形的外接圆，三 角形的外心的概念，会画三角形的外接圆. 难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上 的三个点作圆. 三、教学过程 问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.右图是射击靶的示意图，它 是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如 何计算的吗？ 90我们知道，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径.如图，设⊙O的半径为r，点A在 圆内，点B在圆上，点C在圆外.容易看出： OA＜r，OB＝r，OC＞r. 反过来，如果OA＜r，OB＝r，OC＞r，则可以得到 点A在_____，点B在_____，点C在_____. 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在圆外 d＞r； 点P在圆上 d＝r； 点P在圆内 d＜r. 符号 读作“等价于”，它表示从符号 的 左端可以得到右端，从右端也可以得到左端. 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区 域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与 靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环 数也就越高，射击成绩就起好. 练习巩固 已知⊙O的半径为8cm，点P到圆心O的距离为d，则： (1)当d=5cm时，点P在⊙O____； (2)当d=8cm时，点P在⊙O____； (3)当d=10cm时，点P在⊙O____. 探究 我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆 你能作出多少个？经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什以特点？ 可以作无数个圆. 可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上. 思考 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能， 如 何确定所作圆的圆心？ 如图，分别作出线段AB的垂直平分线l 和线段BC的垂直平 分 1 线l，设它们的交点为O，则OA=OB=OC.于是以点O为圆心， 2 OA(或OB、OC)为半径，便可作出经过A、B、C三点的圆. 因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA， 所 91以这样的圆只有一个，即 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 由右图可以看出，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. ⊙O是△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心.反过来，△ABC是⊙O的内接三角形. 思考 三角形的外心一定在三角形的内部吗？分别作出下面三个三角形的外接圆，看看它们 的外心的位置有什么特点？ 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的 外心在三角形的外部. 思考 经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？ 如图，假设经过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个 圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线 l 上，又在线段BC的垂直平分线l 上，即点P为l 与l 的交点， 1 2 1 2 而l⊥l，l⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直 1 2 线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一直线上的三点不能作圆. 上面证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同， 它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一直线上的 三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原 命题成立.这种方法叫做反证法. 用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. 如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.假设 ∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2.根据“同位角相 等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、 A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线 与已知直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而 ∠1=∠2. 练习 1.画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形. 解：如图，阴影部分及边界为所求的图形. 2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m， 他们 投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 923.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形 三边垂直平分线的交点. 在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题. 直线和圆的位置关系 一、教学目标 (一)知识与技能：1.知道直线和圆相交、相切、相离的定义；2.根据圆心到直线的距离与 圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置. (二)过程与方法：让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离 和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系. (三)情感态度与价值观：通过“类比转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普 遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想. 二、教学重点、难点 重点：直线和圆的三种位置关系 难点：直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用. 三、教学过程 知识预备 1.若⊙O的直径为12cm，OD=8cm，则点D在⊙O____. 2.如图，点B在直线AC上，且OA⊥AC，则OA＜___＜___， 点O到直线AC的距离即为线段___的长. 93思考 (1)在太阳升起的过程中，太阳和海平线会有几种位置关系？如果我 们把太阳看作一个圆，把海平线看作一条直线，由此你能得出直线 和圆的位置关系吗？ (2)作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺，观察直线和圆有几种位置 关系？他们的交点个数如何变化？ 可以发现，直线和圆有三种位置关系(如下图): 如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切 线，这个点叫做切点. 如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 思考 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l到的距离为d，在直线和圆的不同位置关系 中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的关系 吗？ 直线l和⊙O相交 d___r； 直线l和⊙O相切 d___r； 直线l和⊙O相离 d___r. 练习 圆的直径是13cm，如果圆心与直线的距离分别是： (1) 4.5cm； (2) 6.5cm； (3) 8cm， 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ 解：∵ 圆的直径是13cm，∴ 圆的半径是6.5cm (1)∵ 4.5cm＜6.5cm，∴ 直线和圆相交，有两个公共点； (2)∵ 6.5cm＝6.5cm，∴ 直线和圆相切，只有一个公共点； (3)∵ 8cm＞6.5cm，∴ 直线和圆相离，没有公共点. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数 94学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程. 切线的判定和性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计 算与证明；2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明； 3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题. (二)过程与方法：1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力；2.会 过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力. (三)情感态度与价值观：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能 力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 二、教学重点、难点 重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用. 95难点：探索圆的切线的判定方法. 三、教学过程 知识回顾 直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？ 交点个数：两个公共点、只有一个公共点、没有公共点 位置关系：相交、相切、相离 数量关系：d＜r、d＝r、d＞r 1.⊙O的半径为2cm，点O到直线AB的距离为OA. (1)若OA=2cm，则⊙O与AB_____； (2)若OA=3cm，则⊙O与AB_____； (3)若OA=1cm，则⊙O与AB_____. 2.已知⊙O的半径为3cm，直线l与⊙O相切，切点为E，则OE=___cm. 只有一个公共点 相切 d＝r 判断一条直线是圆的切线，你现在有多少种方法？ 1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2.数量法(d=r)：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 切线具有什么性质？ 1.切线和圆只有一个公共点； 2.圆心到切线的距离等于半径. 思考 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多 少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就 是⊙O的切线.这样，我们得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 定理应用格式： ∵ OA是半径，l⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线 已知一个圆和圆上一个点，如何过这个点画出圆的切线？ 在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠， 在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的. 96思考 将前面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半 径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥l，垂 足为B.由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA.根据 “直线l和⊙O相交 d＜r”，所以直线l和⊙O相交.这与已知相 矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 定理应用格式： ∵ 直线l切⊙O于点A ∴ OA⊥l 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是 ⊙O的切线. 证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵ ⊙O与AB相切于点D ∴ OD⊥AB 又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴ AO是∠BAC的平分线 ∴ OE=OD，即OE是⊙O的半径 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切. 练习 1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线. 证明：∵ AT=AB ∴ ∠ATB=∠ABT=45° ∴ ∠BAT=90°，即AB⊥AT ∴ AT是⊙O的切线 2.如图，AB是⊙O的直径，直线l、l 是⊙O的切线，A、B是切点，l、l 有怎样的位置关系？ 1 2 1 2 证明你的结论. 答：l∥l.理由如下： 1 2 ∵ AB是直径，直线l 是⊙O的切线，切点为A. 1 ∴ l⊥AB 1 同理可得：l⊥AB 2 ∴ l∥l. 1 2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个 97定势思维. 切线长定理和三角形内切圆 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解切线长的概念，会作三角形的内切圆；2.理解切线长定理，了解 三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用. (二)过程与方法：经历探究三角形的内切圆的过程，掌握切线长及其定理. 98(三)情感态度与价值观：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能 力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 二、教学重点、难点 重点：会作三角形的内切圆，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，理解切线长定 理，熟练掌握它的应用. 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题. 三、教学过程 知识预备 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO⊥BC，∠A=30°，则： (1)∠ABO=___°，∠BOE=___°； (2)BD=___，BE=___，∠BOE=∠____. 画一画 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2.这样的切线能画出几条？ 如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB 分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线 上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到 圆的切线长. 切线与切线长有什么区别与联系？ 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点. 探究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形， 沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 如图，连接OA和OB. ∵ PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ OA⊥AP，OB⊥BP 又 OA=OB，OP=OP ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL) ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO 由此得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角. 定理应用格式： ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与 99三角形的三条边都相切？ 如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC， CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条 边都相切，圆I就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线 的交点，叫做三角形的内心. 例2如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14， CA=13.求AF、BD、CE的长. 解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB- AF=9-x 由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14 解得 x=4 因此 AF=4，BD=5，CE=9 练习 1.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC内心.求∠BOC的度数. 解：∵ 点O是△ABC的内心 ∴ OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB ∴ ∠OBC= ∠ABC= ×50°=25° ∠OCB= ∠ACB= ×75°=37.5° ∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37.5°=117.5° 2.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积. 解：如图，设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，则点O到AB，BC，AC的距离为r. ∴ S =S +S +S △ABC △AOB △BOC △AOC = ×AB×r+ ×BC×r+ ×AC×r = ×(AB+BC+AC)×r = lr 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题. 明确三角形内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等. 正多边形和圆(1) 100一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解正多边形和圆的有关概念；2.理解并掌握正多边形半径、中心角、 边心距、边长之间的关系；3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. (二)过程与方法：通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能 力. (三)情感态度与价值观：通过探究正多边形在生活中的实际应用，增强对生活的热爱 二、教学重点、难点 重点：1.正多边形的有关概念，特殊正多边形的有关计算；2.掌握圆内接正多边形的半径 边心距、边长三者之间的联系. 难点：正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算. 三、教学过程 知识预备 1.等边三角形的三条边_____，三个内角_____，都是___° 2.正方形的四条边_____，四个内角_____，都是___° 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，我们也可以得到 许多美丽的图案(如下图).你还能再举出一些这样的例子吗？ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆 的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆 的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 101如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. ∵ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5 (⌒) ∴ AB=BC=CD=DE=EA， Com=3\s\up5(⌒)=Com bin bin ∴ ∠A=∠B 同理 ∠B=∠C=∠D=∠E 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上 ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中 心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫 做正多边形的边心距. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心；OD是正六边形 ABCDEF的半径；∠AOF是正六边形ABCDEF的中心角；OG是正六 边形ABCDEF的边心距. 例 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保 留小数点后一位). 解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 =60°， △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此，亭子地基的周长：l=6×4=24(m) 作OP⊥BC，垂足为P. 在Rt△OPC中，OC=4m，PC= BC=2(m)，利用勾股定理， 可得边心距r= = (m) 亭子地基的面积S= lr= ×24× ≈41.6(m2) 102练习 1.矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 答：矩形和菱形不一定是正多边形，正方形是正多边形. 因为各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.而矩形的各边不一定相等，菱形的各角不 一定相等，因此它们都不一定是正多边形；正方形的各边都相等，各角也相等，因此正方 形是正多边形. 2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为 什么；如果不是，举出反例 答：各边相等的圆内接多边形是正多边形； 如图，五边形ABCDE是⊙O的内接多边形，且AB=BC=CD=DE=EA. ∴ \s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒)=\s\up5(⌒) ∴ Com=Com=Com=Com=Com bin bin bin bin bin ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ∴ 圆内接五边形ABCDE是正五边形. 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如矩形ABCD是 ⊙O的内接多边形，它各角相等，但各边不一定相等，因此它不 一定是正多边形. 3.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 解：(1)∵ 在△ABC中，∠A=60° ∴ ∠BOC=120° 又 OB=OC，OD⊥BC ∴ ∠OCD=30° ∴ 在Rt△COD中，边心距OD= OC= R，CD= OD= R ∴ BC=2CD= R ∴ S = ×3× R× R= R2 △ABC (2)∵ 在△BOC中，∠BOC=90°，且OB=OC=R，OE⊥BC ∴ ∠COE=∠OCE=45° 103∴ 在Rt△COE中，边心距OE=CE= R ∴ BC=2CE= R ∴ S = ×4× R× R=2R2或 S =BC2=( R) =2R2 正方形ABCD 正方形ABCD 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关 于正多边形的问题. 正多边形和圆(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：了解正多边形和圆的关系，能用等分圆的方法画正多边形，并能借助圆 设计一些美丽的图案.. (二)过程与方法：通过利用等分圆的方法画正多边形的过程，发展学生动手操作的能力. (三)情感态度与价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来原于生活， 以及发展学生的审美观. 二、教学重点、难点 重点：用等分圆的方法画正多边形. 难点：掌握不同等分圆的方法等分圆. 三、教学过程 知识回顾 正n边形的中心角： 设正多边形的边长为a，半径为R，边心距为r. ，周长：l=na，面积：S= lr 探究 正多边形具有怎样的对称性？ 正n边形都是轴对称图形，它有n条对称轴，它们都经过正多边形的中心； 当n为奇数时，对称轴为各边的垂直平分线； 当n为偶数时，对称轴为各边的垂直平分线及顶点、中心所在直线. 104它们是否为中心对称图形？ 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五 角星等，这些问题都与等分圆有关. 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而 得到相应的正多边形.例如，画一个边长为1.5cm的正六边形时，可以以1.5cm为半径作 一个⊙O，用量角器画一个等于 =60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取 与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形. 利用这种方法，可以画出任意的正n边形. 对于一些特珠的正多边形，还可以用圆规和直尺来作.例如， 我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径， 所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分， 顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形. 练习 1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 2.用等分圆周的方法画出右上方图案: 105课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关 于正多边形的问题. 弧长和扇形面积 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些 有关计算. (二)过程与方法：通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生抽象、理解、概括、归 纳能力和迁移能力、分析问题、解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般， 再由一般到特殊”的辩证思想. 二、教学重点、难点 重点：弧长、扇形面积公式的导出及应用. 难点：对图形的分析. 三、教学过程 知识预备 1.半径为3cm的圆的周长是_____cm，面积是_____cm2. 2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相 切，则小圆扫过的阴影部分的面积为_____. 创设情境 在田径“200米”比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位 运动员弯路的展直长度相同吗？ 106思考 (1)半径为R的圆，周长是多少？C=2πR (2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？360° (3)1°的圆心角所对的弧长是多少？ 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 (4)80°的圆心角所对的弧长是多少？ 也可以用\s\up5(⌒)l表示\s\up5(⌒)的长. 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展 直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度 L(结果取整数). 解：由弧长公式，可得\s\up5(⌒)的长 (mm) 因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm) 扇形 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关. 圆心角越大，扇形面积也就越大.怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的 扇形面积呢？ 思考 (1)半径为R的圆，面积是多少？S=πR2 (2)圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？360° (3)1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积是S = 扇形 比较扇形面积公式和弧长公式，可以用弧长表示扇形的面积：S = 扇形 其中l为扇形的弧长，R为半径. 例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有 水部分的面积(结果保留小数点后两位). 解：连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交\s\up5(⌒)于点C，连接AC. ∵ OC=0.6m，DC=0.3m ∴ OD=OC-DC=0.3(m)，∴ OD=DC 又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线 107∴ AC=AO=OC，从而 ∠AOD=60°，∠AOB=120° 有水部分的面积：S=S -S 扇形OAB △OAB = ×0.62- AB•OD =0.12π- ×0.6 ×0.3 ≈0.22(m2) 弓形面积 弓形面积＝扇形面积±三角形的面积 练习 1.弧长相等的两段弧是等弧吗？ 解：不一定.等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等，必须在同圆或等圆中，弧长相等的两段 弧才是等弧. 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆 的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)？ 解：因为弧长公式 所以 (m) 答：这段圆弧所在圆的半径R大约为8.5m. 3.如图，正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A、B、C三点 为圆心， 长为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 解：连接AD，由题意可得：AD= S =S -3S 阴影部分 △ABC 扇形 = = = 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 108四、教学反思 教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要 灵活割补法、转换法等. 圆锥的侧面积和全面积 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解圆锥母线的概念；2.理解圆锥侧面面积计算公式，理解圆锥全面 积的计算方法，并会应用. (二)过程与方法：过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算 公式以及应用它解诀现实生活中的一些实际问题. (三)情感态度与价值观：培养学生的观察、想象、实践能力，获得数学学习经验，懂得数 学与生活的密切联系. 二、教学重点、难点 重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式的探索与运用. 难点：探索圆锥侧面积计算公式. 三、教学过程 知识回顾 1.弧长计算公式： 2.扇形面积计算公式：S = 或S = 扇形 扇形 生活中的圆锥 109创设情境 小明想要给斗笠的侧面贴上一层油纸进行保护，你能帮他计算出所需要的油纸吗？ 圆锥的相关概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个 圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫 做圆锥的高. 母线有无数条，且都相等. 圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：h2+r2=l2 思考 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？ 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的 侧面展开图是一个扇形. 设圆圆锥的母线长为l，底面圆的半径为 r， 那么这个扇形的半径为___，扇形的弧长为_____，因此圆锥的侧面 积为_____，圆锥的全面积为___________. S =πrl=π×20×30=600π(cm2) 侧面 例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高 为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)？ 解：右图是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h=1.8m；上部圆锥的高h=3.2-1.8=1.4(m). 2 1 圆柱的底面圆的半径 (m) 侧面积为 2π×1.954×1.8≈22.10(m2) 110圆锥的母线长 (m) 侧面展开扇形的弧长为 2π×1.954≈12.28(m) 圆锥的侧面积为 ×2.404×12.28≈14.76(m2) 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738(m2). 练习 1.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积. 解：根据题意得，圆锥的底面周长是80πcm，底面积是1600πcm2. 因此圆锥的侧面展开图的圆心角为 圆锥的侧面积为 ×80π×90=3600π(cm2) 圆锥的全面积为 1600π+3600π=5200π(cm2) 2.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟 囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 解：圆锥的底面周长是80πcm 侧面积是 ×80π×50=2000π(cm2) 因此，制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮100×2000π=200000π(cm2)=20π(m2) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用. 要充分发挥空间想象力， 把立体图形与展开后的平面图形各个量准确对应起来. 111第24章圆小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系，体会利用圆的知 识综合解决问题的思路和方法. (二)过程与方法：经历系统地归纳总结本章的知识内容，学会整理归纳知识的方法，使其 条理化、系统化. (三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知 识体系，从而体验学习数学的成就感. 二、教学重点、难点 重点：垂径定理、圆周角定理、切线的性质和判定. 难点：综合运用所学知识解决问题. 三、教学过程 知识梳理 一、与圆有关的概念 1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦：连接圆上任意两点的线段. 3.直径：经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧：小于半圆周的圆弧. 5.优弧：大于半圆周的圆弧. 6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. 9.外接圆、内接正多边形：将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫 作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心. 11211.三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心. 12.正多边形的相关概念 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径， 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做 正多边形的边心距. 二、与圆有关的位置关系 1.点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r. 2.直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r. 三、圆的基本性质 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. 2.有关圆心角、弧、弦的性质 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等. 四、圆的有关定理及其推论 1.垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条 弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 2.圆周角定理 (1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. (3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补. 3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角. 五、圆的有关计算 1.弧长公式 2.扇形面积公式S = 或S = 扇形 扇形 3.弓形面积公式：弓形面积＝扇形面积±三角形的面积 4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个扇形. (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr. (3)圆锥的侧面积为πrl. (4)圆锥的全面积为πr2+πrl. 5.圆内接正多边形的计算 113正n边形的中心角： 设正多边形的边长为a，半径为R，边心距为r. ，周长：l=na，面积：S= lr 考点讲练 考点一 圆周角定理 例1 在图1中，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D＝36°，则∠BAD的度数是( ) A.72° B.54° C.45° D.36° 图1 图2 图3 针对训练 1.如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点(不与B，C重合)， 则∠BPC的度数是_____. 2.如图3，线段AB是直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的 延长线于点E，则∠E等于____. 考点二 垂径定理 例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠 的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm， 如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm. 例3 △ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，⊙O的半径为2，O 到BC的距离为1.(1)求BC的长；(2)求∠BAC的度数. 解：(1)①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示. 过A作AD⊥BC，由题意得到AD过圆心O，连接OB. ∵ OD=1，OB=2 ∴ 在Rt△OBD中，由勾股定理得： ∴ BC=2BD= ②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示. 过A作AD⊥BC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB. ∵ OD=1，OB=2 ∴ 在Rt△OBD中，由勾股定理得： ∴ BC=2BD= 故综合①②，BC的长为 . 114(2)图1中，∵ OD=1，OB=2，∴ ∠OBD=30° ∴ ∠BOD=60°，∴ ∠BAD=30°，∴ ∠BAC=2∠BAD=60° 图2中，∵ OD=1，OB=2，∴ ∠OBD=30° ∴ ∠BOD=60°，∴ ∠BAD=60° ∴ ∠BAC=2∠BAD=120° 故∠BAC的度数为60°或120°. 针对训练 3.如图1，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AC，BC，过点 O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长度等于_____. 4.如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝2，C，D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分 别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC＋PD的最小值是_____. 图1 图2 考点三 与圆有关的位置关系 例4 如图，O为正方形对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径. (1)证明：过点O作ON⊥CD于N，连接OM. ∵ BC与⊙O相切于点M，∴ OM⊥BC ∵ 四边形ABCD是正方形，点O在AC上 ∴ AC是∠BCD的角平分线 ∴ ON=OM ∴ CD与⊙O相切 (2)解：∵ 正方形ABCD的边长为1，∴ AC= 设⊙O的半径为r，则OC= -r 又易知△OMC是等腰直角三角形 ∴ 由勾股定理得 r2+r2=( -r)2 解得 r=2- ，r2=-2- (舍去) 1 ∴ ⊙O的半径为2- 方法总结 1.证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径. 2.设未知数，通常利用勾股定理建立方程. 针对训练 5.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则 115点A与⊙O的位置关系是( ) A.点A在⊙O内部 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O外部 D.点A不在⊙O上 6.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上， 且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么_______秒 钟后⊙P与直线CD相切. 7.如图，⊙O的弦AD＝4，BD＝8，AD⊥BD，C是BD延长线上一点，CD＝2，求证：AC是⊙O 的切线. 证明：连接AB ∵ AD⊥BD，∴ ∠ADB=90° ∴ AB为⊙O的直径 在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理得： AC2=CD2+AD2=22+42=20 AB2=BD2+AD2=82+42=80 ∵ BC2=(CD+BD)2=(2+8)2=100 ∴ AC2+AB2=BC2，∴ ∠BAC=90° ∴ AC是⊙O的切线 考点四 圆中的计算问题 例5 如图所示，⊙O的内接正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE ＝6，EF＝8，FC＝10，求图中阴影部分的面积. 解：延长AE与⊙O相交于点G，连接CG，AC. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠B=90° ∴ AC是⊙O的直径，∴ ∠G=90° ∵ AE⊥EF，EF⊥FC，∴ ∠FEG=∠F=∠G=90° ∴ 四边形EFCG是矩形，∴ EG=FC=10，CG=EF=8 ∴ AG=AE+EG=6+10=16 由勾股定理得： ∴ ⊙O的半径为 ∴ S =S -S 阴影 ⊙O 正方形ABCD =π•( )2- •( )2 =80π-160 针对训练 8.(1)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长 的3倍，则这条弧的半径为______. (2)若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为 116_______. 9.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝6，∠COD＝ 120°，则图中阴影部分的面积等于______. 能力提升 10.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于 点F，过点F作FG⊥BE于点G. (1)若E是CD的中点时，求证：FG是⊙O的切线. (2)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由. (1)证明：连接OF、EF ∵ AE是⊙O的直径，∴ ∠AFE=90° ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠DAB=∠D=90°，AB=CD ∴ 四边形ADEF是矩形，∴ AF=DE ∴ AB-AF=CD-DE，即CE=BF ∵ E是CD的中点，∴ F是AB的中点 ∴ OF是△ABE的中位线 ∴ OF∥BE ∵ FG⊥BE ∴ FG⊥OF ∴ FG是⊙O的切线 (2)解：若BE能与⊙O相切 ∵ AE是⊙O的直径 ∴ AE⊥BE，即∠AEB=90° 设DE=x，则EC=5-x 由勾股定理得：AE2+BE2=AB2 即 (9+x2)+[(5-x)2+9]=25 整理得 x2-5x+9=0 ∵ b2-4ac=25-36=-11<0 ∴ 该方程无实数根 ∴ 点E不存在，BE不能与⊙O相切 117随机事件的概念 一、教学目标 (一)知识与技能：了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. (二)过程与方法：学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生从纷繁复杂 的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. (三)情感态度与价值观：引领学生感受随机事件就在身边，增强学生珍惜机会，把握机会 的意识. 二、教学重点、难点 重点：随机事件的特点. 难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三、教学过程 偶然性 同学们听过“天有不测风云”这句话吧! 它的原意是指刮风、下雨、阴天、晴天这些 天气状况很难预料，后来它被引申为：世界上很多事情具有偶然性，人们不能事先判定这 些事情是否会发生. 在某一时刻拔打查号台(114)，无法确定线路是否能接通；参加抽奖活动，无法确定自 己能否中奖，更无法确定能中几等奖；等等.这些事情的发生都给我们不确定的印象. 问题1 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有5根形状、 大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号 1，2，3，4，5.把纸签充分搅 118拌后，小军先抽，他任意(随机)从签筒中抽取一根纸签.请思考以下问题： (1) 抽到的数字有几种可能的结果？ (2) 抽到的数字小于6吗？ (3) 抽到的数字会是0吗？ (4) 抽到的数字会是1吗？ 答：(1)数字1，2，3，4，5都有可能抽到，共有5种可能的结果，但是事先无法预料一次 抽取会出现哪一种结果； (2)抽到的数字一定小于6； (3)抽到的数字绝对不会是0； (4)抽到的数字可能是1，也可能不是1，事先无法确定. 问题2 小伟掷一个质地均匀的正方体骰(tóu)子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上， (1) 可能出现哪些点数？ (2) 出现的点数大于0吗？ (3) 出现的点数会是7吗？ (4) 出现的点数会是4吗？ 答：(1)从1到6的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有 6种，但是事先无法预 料掷一次骰子会出现哪一种结果； (2)出现的点数肯定大于0； (3)出现的点数绝对不会是7； (4)出现的点数可能是4，也可能不是4，事先无法确定. 在一定条件下，有些事件必然会发生.例如，问题1中“抽到的数字小于6”，问题2 中“出现的点数大于0”，这样的事件称为必然事件.相反地，有些事件必然不会发生.例 如，问题1中“抽到数字是0”，问题2中“出现的点数是7”，这样的事件称为不可能事 件.必然事件与不可能事件统称确定性事件. 在一定条件下，有些事件有可能发生，也有可能不发生，事先无法确定.例如，问题1 中“抽到的数字是1”，问题2中“出现的点数是4”，这两个事件是否发生事先不能确定. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 知识梳理 ◆知识点一 确定性事件 必然事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件. 不可能事件：在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件. 确定性事件：必然事件与不可能事件统称确定性事件. ◆知识点二 随机事件 随机事件：在一定条件下，有些事件有可能发生，也有可能不发生，事先无法确定，这 种事件称为随机事件. 练习 指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件. (1)通常加热到100℃时，水沸腾；(必然事件) (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；(随机事件) 119(3)掷一次骰子，向上一面的点数是6；(随机事件) (4)任意画一个三角形，其内角和是360°；(不可能事件) (5)经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；(随机事件) (6)某射击运动员射击一次，命中靶心.( 随机事件) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 结合生活实际，对身边事件发生的情况作出判断 分类，巩固所学概念. 随机事件的可能性 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解事件发生的可能性的大小；2.掌握对随机事件发生的可能性大小 的判断方法. (二)过程与方法：经历试验操作、观察、思考和总结，探讨不同事件发生的可能性的大小， 并用“一定”“不可能”“可能”“经常”“偶尔”等恰当的词语来描述事件发生的可能 性大小. (三)情感态度与价值观：通过对不同事件发生的可能性大小的探讨提高对随机事件发生的 可能性大小做定性分析的能力. 二、教学重点、难点 重点：事件发生的可能性的大小. 难点：随机事件发生的可能性大小的判断. 三、教学过程 复习巩固 1.下列事件中，属于随机事件的是( ) A.物体在重力的作用下自由下落 B.x为实数，x2＜0 C.在某一天内电话收到呼叫次数为0 D.今天下雨或不下雨 2.“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是_______事件(选填“随机” “必然”或“不可能”). 创设情境 小明、小刚两人做如下游戏：如图是一个骰子，任意掷出骰子，若朝上的数字是 6， 则小明获胜；若朝上的数字不是6，则小刚获胜. 你认为这个游戏对双方公平吗？ 120问题3 袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜 色外无其他差别.在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球. (1)这个球是白球还是黑球？ (2)如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？ 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的. 思考 能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性 大小相同？ AB两转盘 上图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成 6个相等的扇形.利用这两个转盘做 下面的游戏： (1)甲自由转动转盘A，同时乙自由转动转盘B； (2)转盘停止后，指针指向几就顺时针走几格，得到一个数字； (3)如果最终得到的数字是偶数就得1分，否则不得分； (4)转动10次转盘，累计得分高的人为胜者. 这个游戏对甲、乙公平吗？说说你的理由. 练习 1.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上， “落在陆地上”与“落在海洋里”哪种可能性大？ 1212.桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃-从中随机抽取1张. (1)能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ (2)你认为抽到哪种花色的可能性大？ (3)能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小 相同？ 3.列举一些生活中的随机事件、不可能事件和必然事件的例子. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 强调随机事件发生 的可能性是有大小的. 概率 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解、掌握概率的意义及计算；3.会进行简单的概率计算及应用. (二)过程与方法：通过活动，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数 学在解诀实际问题中的能力，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力. (三)情感态度与价值观：通过学生对数据的收集、整理、描述和分析活动的创设，鼓励学 生积极参与，培养学生自主、合作、探究的学习方式，培养学生的学习情趣. 二、教学重点、难点 重点：理解、掌握概率的意义及计算. 难点：会进行简单的概率计算及应用. 三、教学过程 数学家作用 第二次世界大战中，美国曾经宣称：1名优秀数学家的作用超过10个师的兵力. 你可 知这句话的由来吗？ 1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击.当时，英美两国由 于实力受限，又无力增派更多的护航舰艇，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额. 为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰 122队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它具有一定的规律.一定数量 的船(如100艘)编队规模越小，编次就越多(如每次20艘，就要有5个编次)；编次越多， 与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集 体通过危险海域，然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了!盟军舰队遭袭被击沉的概率由 原来的25％降低为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应. 比如5位同学放学都回自己家里，老师要找1位同学的话，随便去哪家都行.但若这5 位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20％. 在同样的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生.那么，它发生的可能性究竟有 多大？能否用数值进行刻画呢？ 1.从分别写有数字1，2，3，4，5的五根纸签中随机地抽取一根，抽出的纸签上的数字有 5种可能，即1，2，3，4，5. 因为纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以每个数字被抽到的可能性大小相等.我 们用 表示每一数字被抽到的可能性大小. 2.掷一枚骰子，向上的一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6. 因为骰子的形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等.我 们用 表示每一种点数出现的可能性大小. 数值 和 刻画了试验中相应随机事件发生的可能性大小. 一般地，对于一个随机事 件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A). 由问题1和问题2，可以发现以上试验有两个共同特点： (1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； (2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 对于具有上述特点的试验，我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结 果总数中所占的比，表示事件发生的概率. 例如，在上面的抽纸签试验中，“抽到1”这个事件包含1种可能结果，在全部5种可 能的结果中所占的比为 .于是这个事件的概率：P(抽到1)= “抽到偶数”这个事件包含抽到2，4这两种可能结果，在全部5种可能的结果中所占的比 为 .于是这个事件的概率：P(抽到偶数)= 你能求出“抽到奇数”这个事件的概率吗？ 归纳 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事 件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝ . 123在P(A)＝ 中，由m和n的含义，可知0≤m≤n，进而有0≤ ≤1. 因此，0≤P(A)≤1. 特别地，当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概 率越接近0(如下图). 例1 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： (1)点数为2；(2)点数为奇数；(3)点数大于2且小于5. 解：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种. 这些 点数出现的可能性相等. (1)点数为2有1种可能，因此，P(点数为2)＝ (2)点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5，因此P(点数为奇数)＝ ＝ (3)点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，因此，P(点数大于2且小于5)＝ ＝ 例2 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形， 颜色分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固定，转动的转盘停止后，其 中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时， 当作指向右边的扇形).求下列事件的概率： (1)指针指向红色； (2)指针指向红色或黄色； (3)指针不指向红色. 解：按颜色把7个扇形分别记为：红 ，红 ，红 ，绿 ，绿 ，黄 ，黄 ，所有可能结果的 1 2 3 1 2 1 2 总数为7，并且它们出现的可能性相等. (1)指针指向红色(记为事件A)的结果有3种，即红 ，红 ，红 ，因此P(A)＝ 1 2 3 (2)指针指向红色或黄色(记为事件B)的结果有5种，即红 ，红 ，红 ，黄 ，黄 ，因此 1 2 3 1 2 P(B)＝ (3)指针不指向红色(记为事件C)的结果有4种，即绿 ，绿 ，黄 ，黄 ，因此P(C)＝ 1 2 1 2 把例2中的(1)(3)两问及答案联系起来，你有什么发现？ 例3 如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋 藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷. 小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况.我们把与标号 3的方格相邻的方格记为A区域(画线部分)，A区域外的部分记为B区域.数字3表示在A区 域有3颗地雷.下一步应该点击A区域还是B区域？ 解：A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各埋 藏有1颗地雷.因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率为 .B区 124域方格数为9×9-9=72.其中有地雷的方格数为10-3=7.因此，点击B区域的任一方格，遇 到地雷的概率为 . 由于 ＞ ，即点击A区域遇到地雷的可能性大于点击B区域遇到地雷的可能性，因而下 一步应该点击B区域. 练习 1.掷一枚质地均匀的硬币，向上一面有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？由此能得 到“正面向上”的概率吗？ 解：掷一枚质地均匀的硬币，向上一面有2种可能的结果，即“正面向上”，“反面向 上”，它们的可能性相等，由此能得到“正面向上”的概率为 . 2.不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机摸 出1个球，“摸出红球”和“摸出绿球”的可能性相等吗？它们的概率分别为多少？ 解：从袋子中随机摸出1个球，“摸出红球”和“摸出绿球”的可能性不相等；它们的概 率分别为P(摸出红球)= ，P(摸出绿球)= . 3.回顾例3，如果小王在游戏开始时点击的第一个方格出现标号 1，那么下一步点击哪个区 域比较安全？ 解：A区域的方格共有8个，标号1表示在这8个方格中有1个方格里埋 藏有1颗地雷.因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率为 .B区 域方格数为9×9-9=72.其中有地雷的方格数为10-1=9.因此，点击B区域 的任一方格，遇到地雷的概率为 = . 由于 = ，即点击A区域遇到地雷的可能性与点击B区域遇到地雷的可能性相等，因而 下一步点击A区域或B区域都一样. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件 A包含的数目. 事件A发 生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1. 125用列举法求概率(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：运用直接列举或列表法求概率，并通过比较概率大小作出合理的决策. (二)过程与方法：经历列表、统计、运算等活动，在具体情境中分析事件，渗透数形分步 思考的思想，提高分析问题和解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：通过探索、归纳列表法，感受分步分析对思考较复杂问题时所起 到的重要作用. 二、教学重点、难点 重点：掌握用列表法求简单事件概率. 难点：不重不漏列举全部的结果. 三、教学过程 想一想 一个家庭有两个孩子，从出生的先后顺序和性别上来分，有多少种可能出现的情况？ 例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； 126(3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上. 解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正、正反、反正、反反. 所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等. (1)所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有一种，即“正 正”，所以P(A)= (2)满足两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果也只有1种，即“反反”，所以P(B)= (3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上(记为事件C)的结果共有2种，即“反正”“正 反”，所以P(C)= = “同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验 的所有可能结果一样吗？ 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子点数的和是9； (3)至少有一枚骰子的点数为2. 分析：当一次试验要涉及两个因素(掷两枚骰子)，并且可能出现的结果数目较多时，为了 不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 解：两枚骰子分别记为第一枚和第二枚，可以用下表列举出所有可能出现的结果. 由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等. (1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种(表中的红色部分)，即(1，1)，(2， 2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，所以 P(A)= = (2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种(表中的阴影部分)，即(3，6)，(4， 5)，(5，4)，(6，3)，所以 P(B)= = (3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种(表中的蓝色部分)，所以P(C)= 思考 如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”， 127得到的结果有变化吗？为什么？ 练习 1.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其它差别.随机摸出一个小球后，放回 并摇匀，再随机摸出一个.求下列事件的概率： (1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球； (2)两次都摸到相同颜色的小球； (3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球. 解：列举两次摸球所能产生的全部结果，它们是:红红，红绿，绿红，绿绿.这4种结果出 现的可能性相等. (1)满足第一次摸到红球，第二次摸到绿球(记为事 件A)的结果只有1种，即“红绿”， 所以 P(A)= ； (2)满足两次都摸到相同颜色的小球(记为事件B)的结果共有2种，即“红红”，“绿绿”， 所以 P(B)= ； (3)满足两次摸到的球中一个绿球、一个红球(记为 事件C)的结果共有2种，即“红绿”， “绿红”，所以 P(C)= . 2.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6.随机抽取1张后，放回并 混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 多少？ 解：列表：由右表可知第二次取出的数字 能够整除第一次取出的数字共有 14 种， 概率是： = 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调在生活、学习中的很多方面均用到概率的知识，学习概率要从身边 的现象开始. 128用列举法求概率(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：使学生会画树状图计算简单事件的概率. (二)过程与方法：经历画树状图求概率的过程培养学生思维的条理性，提高学生分析问题、 解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷 美，及数学应用的广泛性. 二、教学重点、难点 重点：画树状图计算简单事件的概率. 难点：通过学习画状形图计算概率，培养学生思维的条理性. 三、教学过程 练习巩固 不透明袋子中装有1个红球和3个黑球，这些球除颜色外无其它差别. (1)第一次从袋中取出一个小球后放回摇匀，再取第二次，求“两次取出的小球都是黑球” 的概率； (2)一次性取出两个小球，求“两个小球都是黑球”的概率. 解：(1)列出所有可能出现的结果： 129∴ P(两次取出的小球都是黑球)= (2)列出所有可能出现的结果： ∴ P(两个小球都是黑球)= = 例3 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的 小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I. 从三个口袋中各随机地取出1个小球. (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素(从3个口袋中取球) 时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用画树状图法. 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即 这些结果出现的可能性相等. 解：(1)只有1个元音字母的结果有5种，所以 P(1个元音)= 有2个元音字母的结果有4种，所以 P(2个元音)= 全部为元音字母的结果只有1种，所以 P(3个元音)= (2)全是辅音字母的结果有2种，所以 P(3个辅音)= 130练习 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同， 求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： (1)三辆车全部继续直行； (2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转. 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有27种.因此， (1) P(三辆车全部继续直行)= (2) P(两辆车向右转，一辆车向左转)= = (3) P(至少有两辆车向左转)= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学过程中，强调在面对多步完成的事件时，通常选择树状图求概率. 在求概率时， 注意方法的选择. 频率与概率的关系 一、教学目标 (一)知识与技能：1.当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频 率来估计概率；2.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发 展概率观念. (二)过程与方法：通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程， 体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力. (三)情感态度与价值观：1.通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效 数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯；2.在活动 中进一步发展合作交流的意识和能力. 二、教学重点、难点 重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率. 难点：对频率与概率的理解. 三、教学过程 知识回顾 1.在“袋中有除颜色外，其他都相同的3个白球和2个黑球，摸出一个球后放回，再摸出 一个，两次摸到的都是黑球”这一事件中，用列表法分析共有____种等可能的结果，其中 131“两次摸到的都是黑球”的结果数为____，所以这一事件发生的概率是____. 2.在“将一枚硬币抛三次，三次都正面向上”这一事件中，用树状图法分析共有____种等 可能的结果，其中“三次都正面向上”的结果数为____，所以这一事件发生的概率是____. 用列举法可以求一些事件的概率.实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试 验结果去估计概率. 我们从抛掷硬币这个简单问题说起.抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反 面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚 硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？不妨用试验进行检验. 试验 把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据， 并完成下表. 根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点. 想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ 历史上，有些人曾做过成千上万抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表. 思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在 0.5附近摆动.一般地，随 着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小.这时， 我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同 132一个数值.同样的，“反面向上”的频率也稳定于 0.5.它与前面用列举法得出的“反面向 上”的概率是同一个数值. 实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随 着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳 定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 雅各布·伯努利(1654- 1705)， 被公认的概率论的先驱之一.他最 早阐明了随着试验次数的增加，频 率稳定在概率附近. 如图，拿出两组相同的牌，每组两张，牌面数字分别是 1和2，从每组中各摸一张牌， 称为一次试验. (1)一次试验中两张牌的牌面数字的和可能为__________. (2)通过大量的试验，你能估计出一次摸牌牌面数字的和为2、3、4的概率分别是多少？ 这与我们用列举法得到的概率是否为同一个值？ 归纳 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数k附近，那 么事件A发生的概率P(A)＝k. 用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各 种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.例如掷一枚 图钉或一枚质地不均匀的骰子，不能用列举法求“针尖朝上”或“出现 6点”的概率，但 可以通过大理重复试验估计出它们的概率. 练习 1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. 133(1)计算投中频率(结果保留小数点后两位)； (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是_____(结果保留小数点后一位). 2.用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数 是1”的概率. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 用频率估计概率解决问题 一、教学目标 (一)知识与技能：了解模拟试验在求有关概率的实际问题中的作用，进一步提高用大量重 复试验时，频率可以作为事件发生的概率的估计值，运用数学知识解诀实际问题的能力. (二)过程与方法：通过试验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程， 体会频率与概率的联系与区别，初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟试验、发 展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力. (三)情感态度与价值观：通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数 学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯. 二、教学重点、难点 重点：理解用模拟试验解诀实际问题的合理性. 难点：会对简单问题提出模拟试验策略. 三、教学过程 创设情境 在《西游记》中，话说孙悟空放弃了养马的官，从天宫回到花果山之后，树起了齐天 大圣的旗帜，天天练兵，准备与玉皇大帝派来的天兵天将决一死战. 大圣面对着小猴子， 想弄清到底多少猴兵. 但猴子太多，大圣有点束手无策，连究竟有多少猴兵也弄不清，还 怎么打仗，这可怎么办呢？这时，大圣的参谋长出了主意，“报数在花果山行不通，不如 把猴兵放了，放假三天，一定能弄清.”参谋长在大圣的耳边轻轻的说了一番，喜得大圣连 声说好.第二天大圣和参谋长，在猴兵中随意拉了100个猴子，将这些猴子头上的毛剃去了 一片，然后宣布放假三天.你知道孙大圣的参谋长想出了怎样的妙计吗？ 134鱼缸里有几条鱼？ 鱼塘里有几条鱼？ 问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移、植成活率，应采用什么具体做法？ 分析：幼树移植成活率是实际问题中的一种概率. 这个问题中幼树移植“成活”与“不成 活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计. 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率. 随着 移植棵数n的越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值. 下表是一张模拟的统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空.(结果保留小数点后三 位) 从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为 14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为____. 问题2 某水果公司以2元/kg的成本新进了10000kg柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获 得利润5000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 柑橘在运输、储存中会 有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有 损坏的柑橘的售价中. 销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并 把获得的数据记录在下表中.请你帮忙完成此表.(结果保留小数点后三位) 135填完表后，从上表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘 总质量为500kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小 数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率为0.9. 填完表后，从上表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘 总质量为500kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小 数 点后一位).由此可知，柑橘完好的概率为0.9. 根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000(kg) 完好柑橘的实际成本为 (元/kg) 设每千克柑橘的售价为x元，则 (x-2.22)×9000=5000，解得 x≈2.8 因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元. 练习 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 一般地，1000kg种子中大约有____kg是不能发芽的. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 136第25章概率初步小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再自我归纳和 总结实验频率与理论概率的关系. (二)过程与方法：能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率，能用试验或模拟试验 的方法，估计一些复杂的随机事件发生的概率. (三)情感态度与价值观：形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能 力和创新精神. 二、教学重点、难点 重点：运用列举法计算简单事件发生的概率 难点：用所学的概率知识去解决某些现实问题，理解实验频率和理论概率的关系. 三、教学过程 知识梳理 一、事件的分类及其概念 1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件； 2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件； 1373.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件. 二、概率的概念 1.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机 事件A发生的概率，记作P(A). 2.概率大小： 三、随机事件的概率的求法 1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量 重复试验中随机事件发生的稳定频率来估计概率.②频率与概率的关系：两者都能定量地反 映随机事件可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有的性质，不具有随机性. 2.概率的计算公式： 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那 么出现每一种结果的概率都是 . 如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率P(A)= 四、列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出 所有可能的结果，通常采用列表法. 在所有可能的情况n中，再找到满足条件的事件的个数m，最后代入公式计算. 四、树状图法 当一次试验中涉及两个因素或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用“树状图”. 考点讲练 考点一 事件的判断和概率的意义 例1 下列事件是随机事件的是( ) 138A.明天太阳从东方升起 B.任意画一个三角形，其内角和是360° C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 D.射击运动员射击一次，命中靶心 针对训练 1.下列事件中是必然事件的是( ) A.从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 B.小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C.小红期末考试数学成绩一定得满分 D.将油滴入水中，油会浮在水面上 2.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球的概率是 ”的意思是( ) A.布袋中一定有2个红球和5个其他颜色的球 B.如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次摸中红球 C.摸7次，就有2次摸中红球 D.摸7次，就有5次摸不中红球 考点二 用列举法求概率 例2 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡， 闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任 意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是( ) A. B. C. D. 例3 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字 外，其它均相同.将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随 机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的 k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数 字记作一次函数表达式中的b. (1)写出k为负数的概率； (2)求一次函数y＝kx＋b的图象经过二、三、四象限的概率. 解：(1)P(k为负数)= . (2)画树状图如右图： 由树状图可知，k、b的取值共有6种情况， 其中k＜0且b＜0的情况有2种. ∴ P(一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限)= . 或(2)列表如右： 由表格可知，k、b的取值共有6种情况， 其中k＜0且b＜0的情况有2种. ∴ P(一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限)= . 针对训练 3.一个袋中装有2个黑球和3个红球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在 看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出 139另一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( ) A. B. C. D. 4.张三同学投掷一枚骰子两次，两次所投掷的点数分别用字母m、n表示. (1)求使关于x的方程x2－mx＋2n＝0有实数根的概率； (2)求使关于x的方程mx2＋nx＋1＝0有两个相等实根的概率. 解：(1)画树状图为： 共有36种等可能的结果数，其中满足△=m2-8n≥0的结果数为10，所以使关于x的方程 x2-mx+2n=0有实数根的概率= = . (2)满足△=n2-4m=0的结果数为2，所以使关于x的方程mx2+nx+1=0有两个相等实根的概率 = = 列表如下： 考点三 用频率估计概率 例4 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与 概率，下列说法正确的是( ) A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 例5 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全 相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15％和45％， 则布袋中白色球的个数最有可能是( ) A.24个 B.18个 C.16个 D.6个 针对训练 5.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球. 如果口袋中装有3个 红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为____. 6.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，他 在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： (1)随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值. (2)请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积. 140解：(1)根据统计表可得，k= = (2)由(1)得，圆的面积约占封闭图形ABC的 ，因此封闭图形ABC的面积约为3S圆=3π. 考点四 用概率作决策 例6 在一个不透明的口袋里分别标注2、4、6的3个小球(小球除数字外，其余都相同)， 另有3张背面完全一样，正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球， 再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片. (1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； (2)小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则，规则 1：若两次摸出的数字，至少有一次是 “6”，小红赢，否则，小莉赢；规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时， 小红赢，否则，小莉赢.小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由. 解：(1)列表如下 共有9种等可能结果； 解：(2)规则1：P(小红赢)= ，规则2：P(小红赢)= . ∵ ＞ ∴ 小红选择规则1. 7.A、B两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满20元就有一次按下面规则转动转盘 获奖机会，且两超市奖额等同.规则是：①A超市把转盘甲等分成4个扇形区域、B超市把 转盘乙等分成3个扇形区域，并标上了数字(如图所示)；②顾客一回转动转盘要转两次， 第一次与第二次分别停止后指针所指数字之和为奇数时就获奖(若指针停在等分线上，那么 重转一次，直到指针指向某一份为止). (1)利用树状图或列表法分别求出A、B两超市顾客一回转 盘 获奖的概率； (2)如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？ 说 明理由. 解：(1)列表如下： 141甲转盘 乙转盘 ∴ P(甲)= = ，P(乙)= . (2)选甲超市.理由如下： ∵ P(甲)＞P(乙)，∴ 选甲超市 能力提升 1.如图，放在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀 的正四面体骰子(如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4)，每个顶点朝上的机 会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点 P的坐标(第一次的点 数为横坐标，第二次的点数为纵坐标). (1)求点P落在正方形面上(含边界，下同)的概率； (2)将正方形ABCD平移数个单位，是否存在一种平移，使点 P落在正方形面上的概率为 25%？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明 理由. 解：(1)列表如下： 结合图形和表格可知，点P落在正方形面上(含边界)的情况有(1,1)，(2,1)，(3,1)， (1,2)，(2,2)，(3,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，因此概率是 . (2)如图所示，将正方形ABCD先向左平移一个单位，再向下平移一个单 位，平移后落在正方形面上的点P有(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)四个， 概率为25%. 2.在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落 下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下.求小球下落到A、B、C三 个位置的概率各是多少？ 解：根据帕斯卡三角的仪器特点可画出如下树状图，得小球 下落到A、B、C三个位置的概率分别是 ， ， . 142