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第22 章 二次函数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数 是关于 的二次函数，则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 不存在
2．与抛物线 关于y轴成轴对称关系的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，若 ， ， 为
抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数 的自变量 ， ， 对应的函数值分别为 ， ， ．当 ，
， 时， ， ， 三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．已知二次函数 ，当 时，y的最小值为 ，则a的值为（ ）
A． 或4 B．4或 C． 或4 D． 或7．已知一次函数 （ ）和二次函数 （ ）的部分自变量和对应的函数值
如下表：
… …
… …
… …
则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
8．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心
O点3m，则水管OA的高是（ ）
A．2m B． C． D．
9．如图，已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ．若P为y轴
上一个动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．410．对称轴为直线 的抛物线 (a，b，c为常数，且 )如图所示，小明同学得出了以
下结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤ (m为任意实数)，
⑥当 时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知关于x的二次函数 ，当−3<x<4时，函数y的取值范围为 ．
12．将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数
表达式为 ．
13．当 时，二次函数 的最小值是 ，则 ．
14．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 是点 关于该二次函数图象的对称轴对称
的点．已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上点 及点 ，则关于 的方程
的解是 ．
15．如图，已知二次函数 的图象，且对称轴与 轴的交点在点 的右侧，则化简后为 ．
16．如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，对称轴是直线x=2，点 是抛物线
对称轴上的一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为 ．
17．曲线 ，如图所示，且曲线 是轴对称图形，其对称轴为 ．直线 交曲
线 于 点，且 ．则 的值为 ．
18．如图，点A为x轴上一点，点B的横坐标为6，以 、 为边构造 ．过点O，C，B的抛
物线与x轴交于点D．连接 ，交边 于点E．若 ，则点D的坐标为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当 为何值时， 随 的增大而减小，当 为何值时， 随 的增大而增大？
20．（8分） 如图，抛物线 经过点A(−4,0)、 ，交 轴于点 ．
为抛物线在第三象限部分上的一点，作 轴于点 ，交线段 于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段 长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）若线段 把 分成面积比为 的两部分，求此时点 的坐标．21．（10分）如图，顶点坐标为 的抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
边），与y轴交于点 ，D是直线 上方抛物线上的一个动点，连接 交抛物线的对称轴于点
E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，当 的周长最小时，求点D的坐标；
（3）过点D作 轴于点H，交直线 于点F，连接 ．在点D运动过程中，是否存在使
为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）综合与探究：如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 ．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m ，过点P作 轴，垂足为M． 与直线l
交于点N，当点N是线段 的三等分点时，求点P的坐标．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两
点，与y轴交于点B．
（1）求该抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）若点D是抛物线上的一个动点，满足 与 的面积相等．求出点D的坐标；
（3）若点E在第一象限内抛物线上，过点E作 轴于点F，交 于点P，且满足 与
相似，求出点E的横坐标．
24．（12分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x
（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百
千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 2 4 … 10…
…
市场需求量q（百千克） 12 10 4
…
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，
只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2
元/千克，不得高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得 且 即可，解题的关
键是熟记二次函数的定义：形如 的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得 ，解得： ，
故选： ．
2．C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据
关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式
解析式写出即可．
【详解】解： 抛物线 的顶点坐标为 ，
关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为 ，
与抛物线 关于y轴成轴对称关系的抛物线是 ．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛
物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌
握二次函数图象与系数的关系．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
∵ ，
∵ ，
∴ 两点位于对称轴左侧，点 位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，∴ ，
解得： ，
故选： ．
4．D
【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．
本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．
【详解】A. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不
一致，不符合题意；
B. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一致，不符
合题意；
C. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一致，不符
合题意；
D. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ； 一致，符合
题意，
故选D.
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，已知对称轴求对称点，熟练掌握知识点是解题的关键．
需将点转化到对称轴同一侧，借助于二次函数的增减性分析，可知二次函数对称轴为直线 ，由
，若点(x ,y )关于直线 的对称点记为 ，则 ，故 ，则
1 1
．【详解】解：已知二次函数 ，故对称轴为直线 ，
∵ ，
∴点(x ,y )关于直线 的对称点记为 ，
1 1
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由二次函数 知在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，
∴ ，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的
性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
分两种情况讨论：当 时， ，解得 ；当 时，在 ， ，解得 ．
【详解】解： 的对称轴为直线x=2，
顶点坐标为 ，
当 时，在 ，函数有最小值 ，
∵y的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 ，当x=−1时，函数有最小值，
∴ ，
解得 ；综上所述：a的值为4或 ，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，通过表格先求出 ，
，然后利用图象即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】由表格可知， 过点(1,0)，(2,1)，
∴ ，解得 ，
∴ ，
同理 过点(1,0)， ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
画图，当 时， ，即 ，
∴关于 的不等式 的解集为 ，
故选： ．
8．B
【分析】设抛物线的表达式为： ，将点 代入上式求出a，进而求解．
【详解】解：设抛物线的表达式为： ，
将点 代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
令 ，则 ，即
故选B
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析
式是解题关键．
9．C【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在
于把求 最小值转化为求 的最小值；连接 ，过点P作 于点G，连接
，过点A作 于点H；由B、C的坐标得 ，则有 ，从而 ；于
是求 最小值转化为求 的最小值；利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：连接 ，过点P作 于点G，连接 ，过点A作 于点H，如图，
，
，
，
，
∴ ，
的最小值为 的长，
∵ ，
，
在 中，
，
，的最小值为 ．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、
对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符
号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可．
【详解】解：①由图象可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③∵抛物线与 轴的一个交点在 与0之间，对称轴为直线 ，
∴另一个交点在 到 之间，
∴当 时， ，故③错误；
④当 时， ，
∴ ，故④正确；
⑤当 时，y取到值最小，此时， ，
而当 时， ，
∴ ，
故 ，即 ，故⑤正确，
⑥当 时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以，正确的结论有：②④⑤，共3个
故选：A．
11．1≤ y<37【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，
并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当
时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=(x+2) 2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴在−3<x<4范围内，当 时，函数有最小值，最小值为1，
当 时，函数有最大值，最大值为：y=(4+2) 2+1=37，
∴ 的取值范围为1≤ y<37，
故答案为：1≤ y<37．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，
左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解： ，
∴将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表
达式为 ，即 ，
故答案为： ．
13．1或
【分析】本题主要考查二次函数的性质与二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键．先求解
抛物线的对称轴，判断抛物线的开口方向，再分三种情况讨论：①当 ，即 时，②当 ，
即 ，③当 ，即 ，再进一步解答即可；
【详解】解： 的对称轴为直线 ， ，抛物线的开口向上，
①当 ，即 时，则 时， ，∴ ，
解得： ，不符合题意，舍去，
②当 ，即 时，则 时， ，
∴ ；
解得： ，
③当 ，即 时，则 时， ，
∴
∴ ，
解得： （舍去）．
综上所述， 或 ．
故答案为：1或
14． ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握并理解函数图象的交
点与方程的解的意义是关键．依据题意，当 时， ，从而点 ，又由抛物线为 ，
可得对称轴，进而可得 的坐标，再由方程 的解可以看作 与 交点
的横坐标，最后结合 、 的坐标可以判断得解．
【详解】解：由题意，当 时， ，
∴点 ．
又由抛物线为 ，
对称轴是直线 ，
∴
∵点 是点 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴ ，
∵方程 的解可以看作 与 交点的横坐标， ， ，
∴方程 的解是 ， ．
故答案为： ，
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，化简绝对值，二次根式的性质，根据题意得出 ， ，
进而得出 ，再化简代数式，即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，与 轴的交点在点 的右侧，
∴ ，
又∵抛物线开口向上，则
∴ ，即 ，
抛物线与 轴的交点在 轴的上方且在 的下方，
∴ ，
当 时，
则
∴
∴
故答案为： ．
16．
【分析】将 对称至 ，连接 ，与对称轴的交点即为 ，再根据直线 的解析式与对称轴求解 的坐
标即可．【详解】解：根据对称轴公式 ，可得： ，解得： ，
即抛物线的解析式为： ，
将 代入得： ，
抛物线的解析式为： ；
顶点坐标 ；
连接 交直线x=2于点 ，
此时 最小，点 即为所求 ，
由 ， ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得，
，
解得： ，
∴直线 ：
当x=2时： ，
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
17． 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据曲线 的对称轴为 ，可得 ，再求得点 坐标，进而可得 ，
然后计算 的值即可．
【详解】解：∵曲线 是轴对称图形，其对称轴为 ，
∴可有 ，
∴ ，
将 代入直线 ，
可得 ，
∴ ，
将点 代入曲线 ，
可得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
18．
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，利用平行四边
形的性质证明 ，得出 ，则A为 中点，设点 ，由抛物线的对称轴 可
列出方程 求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A点为 中点，
设点 ，
∴ ， ， ，
∵点B的横坐标为6，
∴点C的横坐标为 ，
∵
∴抛物线的对称轴为直线： ，
∵点B与点C关于对称轴对称，
∴点B与点C到对称轴的距离相等，
∴
∴ ，
故答案为： ．
19．(1)该抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大
【分析】（1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据对称轴方程及顶点坐标式即
可得出其顶点坐标；（2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的 随 的增大而减小和增大而增大时x
的值；
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
（2）∵抛物线的开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴
方程及函数的增减性是解答此题的关键
20．(1)
(2)线段 长度得最大值是 ，此时 的坐标是
(3)
【分析】（1）设抛物线的表达式为 然后把 代入求解即可得到答案；
（2）求出直线AC的解析式 ，然后设 ， ，利用两点距离公
式表示出 ，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3） ，分 和 两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点 ，
∴设抛物线的表达式为 ，
将 代入表达式，解得 ，
抛物线的表达式为： ，即： ；
（2）解：设直线 的表达式为： ，
将A(−4,0)代入表达式，得 ，
直线 的表达式为： ；
设 ， ．
则 ；
当 时， 有最大值，为 ，
把 代入 ，得： ，
，
线段 长度得最大值是 ，此时 的坐标是 ；
（3）解：根据题意， ，
当 时，有： ，
解得 （舍去）；当 时，有： ，
解得： ， （舍去）；
综上所述：当 时，满足条件．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数
解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
21．(1)
(2)D的坐标为：
(3)存在，点F的坐标为： 或 或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决
相关问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接 交 于点E，此时 的周长最小，即可求解；
（3）当 时，列出等式即可求解；当 或 时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
将点 的坐标代入上式得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接 交 于点E，此时 的周长最小，理由： 为最小，
对称轴为 ，由点的对称性知，点 的对称点D的坐标为： ；
（3）存在，理由：
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴点 ，点 ，
由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，
由点A、C、F的坐标得， ，
同理可得： ，
当 时，
则 ，
解得： （舍去）或2，
即点 ；
当 或 时，
同理可得： 或 ，
解得： （舍去）或 或 ；
综上，点F的坐标为： 或 或 ．22．(1) ， ，直线 的函数表达式为：
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：
（1）令 可得 两点的坐标，把 的坐标代入一次函数解析式可得 的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示 三点的坐标，求解 的长度，分两种情况讨论即可
得到答案．
【详解】（1）解：令
， ，
设直线 的函数表达式为： ，
把 代入得：
，
解得： ，
直线 的函数表达式为： ．
（2）解：解：如图，根据题意可知，点 与点 的坐标分别为
， ．，
，
，
分两种情况：
①当 时，得 ．
解得： ， （舍去），
当 时， ．
点 的坐标为 ；
②当 时，得 ．
解得： ， （舍去），
当 时， ，
点 的坐标为 ．
当点 是线段 的三等分点时，点 的坐标为 或 ．
23．(1) ，顶点坐标为(2)
(3)点E的横坐标为2或
【分析】（1）把 ， 代入 ，求出a和b的值，即可得出函数解析数，
将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据点 是抛物线上的一个动点， 与 的面积相等，于是得到 ，求得 点的
纵坐标为4，解方程即可得到 ；
（3）设直线 的解析式为 ，解方程得到直线 的解析式为 ，设 ，则
， ，根据已知条件得到 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，
求得 ，得到 ，①当 时，②当 时，根据相
似三角形的性质解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解： 抛物线 与 轴交于点 ，，
设 在 上的高为 ， 在 上的高为 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
，
点的纵坐标为 ，
当 时，即 ，
解得 （舍去）， ，
；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，设 ，则 ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当 时，
则 ，
，
解得 或 ，
且 ，
，
当 时，
则 ，
，
解得 或 不合题意舍去 ，
点 的横坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待
定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．
24．(1)(2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元
(3)厂家每天获得的最大利润为 元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利
润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键．
（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）设厂家每天获得的利润为y元，则 ，根据每天的产量不大于市场需求量时 ，求出x
的取值解答即可；
（3）根据每天的产量大于市场需求量时 ，求出x的取值解答即可．
【详解】（1）设q与x的函数关系式为 ，由题意，得
∴
∴q与x的函数关系式为 ；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，得 ，
即 ，
解不等式得 ，
∵ ，
∴ ；
设厂家每天获得的利润为y元，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，，
答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元；
（3）当每天的产量大于市场需求时， ，
∴ ，
解不等式得 ，
∴ ，
设厂家每天获得的利润为y元，
，
，
，
，，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时，
，
∵ ，
∴厂家每天获得的最大利润为 元．
