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第22 章 二次函数（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点一】二次函数的解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是（h，k）；
交点式： ( )，其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
【知识点二】二次函数的图象与性质
开口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方向 a
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
2a 4a
顶点
与
4ac−b2
最值 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或 4a )；
4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或 4a ).
b
−
a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而增大。
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
减
性 b b
− −
a<0 x<0(h或 2a )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
对 1.图象是轴对称图形；
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【知识点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；
当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3) c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【知识点四】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础
上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”
【知识点五】二次函数与一元二次方程
二次函数 ()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【知识点六】二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【知识点七】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范
围内.
（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数 与自变量 的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误（其中 ， ，
， 均为常数）
甲同学发现当 时， 是方程 的一个根；乙同学发现当 时，则 ．下
列说法正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对2．已知实数a，b，c，d同时满足 ，则代数式 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数 （a，b，c是常数，且 ）的图像过 ， ，且当 时，对
应的函数值 ．若点 和 在该二次函数的图像上，则当实数 时， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，过 作两条互相垂直的直线分别与抛物线交
于点 、 ，连接 ．求 边上的高的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 （b为常数）的图象经过点 ．当 时，若y的最大值与最小
值之和为2，则m的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．
6．如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， ，抛物线 过A点、
B点，顶点为P，抛物线 过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则 的值为
（ ）A． B． C． D．
7．已知P（x，y），P（x，y），…，Pn（xn，yn），…是二次函数y＝x2﹣2x+1图象上的一系列
1 1 1 2 2 2
点，其中x＝1，x＝2，…，xn＝n，…，记A＝x+y，A＝x+y，…，An＝xn+yn （n为正整数），
1 2 1 1 2 2 2 3 +1
令S＝ +…+ ，则S的值是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，平行于x轴的直线l在x轴上方，
与该抛物线交于不同两点 ，与直线 交于点 ．若整数m满足等式
，则m为（ ）
A．1或2 B．0或1或2 C． 或0或1 D．0或1
9．平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数 与函数 的图象
的公共点的个数分别为（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3
10．如图，一个边长为 的菱形 ， ，过点 作直线 ，将直线 沿线段 向
右平移，直至 经过点 时停止，在平移的过程中，若菱形在直线 左边的部分面积为 ，则 与直线
平移的距离 之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知抛物线 图像上有 两点，我们把 两点间的图像记为图像 ，点 的
横坐标为 ，点 的横坐标为 ，当 时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的
差为 ．
12．已知顶点为A的抛物线 与顶点为C的抛物线 交于 ，
，则四边形 的周长为 ．
13．抛物线 交x轴负半轴于点A，点B是抛物线上一动点，且点B在第二象限，以
AB为边，作等腰直角三角形ABP.其中 ，当点Р恰好在y轴上时，点Р的坐标为
.
14．如图所示，设铁路 ，B，C之间距离为12，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用
为2，单位距离公路费用为4，在 上的点M处修筑公路至C，使运费由A到C最省，则当 的值为
时，运费最少为 ．
15．已知关于x的多项式 ，二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足
．若当 和 （t为任意实数）时 的值相同；当 时，
的值为2，则二次项系数a的取值范围是 ．
16．将二次函数 （ ， 为常数）的图像沿与 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像
将 轴截出长为 的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．
17．对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： （填序号）
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式 ＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣ ＜m＜﹣4+ ．
18．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 、 分别是直线 与坐标轴的交点，点
，点 是边 上的一点， ，垂足为 ，点 在 边上，且 、 两点关于 轴上
某点成中心对称，连接 、 ．线段 长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，二次函数 ， 与 时的函数值相等，其图象与
x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得 最大．
（3）点Q是抛物线上x轴上方一点，若 ，求Q点坐标．
20．（8分）已知二次函数 ，当 时， 时， ，
（1）求b与c的值．
（2）当x取何值时，（3）抛物线上有两点 ， ，当 时，直接写出a的取值范围．
21．（10分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始
售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价 （元）与月份 的函数关系如图所
示，该服装每件的进价 （元）与月份 的关系为 ．
（1）①求 与 之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）如图 是一个倾斜角为 的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端 到地面的距离 为
．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端 处安装了一个喷头 ，喷头 到地面的距离 为 ，水珠在距喷头 水平距离 处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．建立
如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中喷出水珠的竖直高度为 （单
位： ）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与 的水平距离为 （单位： ）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）斜坡正中间有一棵高 的树苗，通过计算判断从喷头 喷出的水珠能否越过这棵树苗．
（3）若有一个身高为 的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头 的水平距离 应
在什么范围内？
23．（10分）如图，点 ， ， 均在抛物线 上，点 在 轴上，且
， 绕点 顺时针旋转后两边与 轴、 轴分别相交于点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若 是等腰三角形，求点 的坐标．
24．（12分）已知二次函数 （ 为常数， ）．（1）求证：无论 取任何实数时，函数与 轴总有交点；
（2）若 为正整数，且函数图象与 轴两个交点的横坐标均为整数．
①已知 ， 是该函数图象上的两点，且 ，求实数 的取值范围；
②将抛物线向右平移 个单位，与 轴的两个交点分别为 ， ，若
，请结合图象直接写出 的取值范围．参考答案
1．A
【分析】根据表格数据得出 与 的数据正确，进而得出 ，对称轴为直线 ，判断甲正
确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
解：根据表格可知， 与 时的函数值相等，
当 时， ， 时，
∴
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线 ，即
∵
∴当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则 ，
∵对称轴为 ，当 时，
∴当 时，
即当 时， 是方程 的一个根；
若 时，则 ，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】设 ，原式进行变形后利用二次函数的性质计算求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，原式=
∴当 时，原式有最小值为
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的最值是解题关键．
3．B
【分析】由题意可知二次函数对称轴为 ，开口向下，点离对称轴的距离越远，函数值越小，当
即 时，分别计算出 、 到对称轴的距离进行比较；当 即
时，分别计算出 、 到对称轴的距离进行比较．
解：二次函数 的图像过 ， ，
则二次函数 的对称轴为：
当 时，对应的函数值 ，
则二次函数 的开口向下，
点离对称轴的距离越远，函数值越小，
当 即 时，
到对称轴的距离 ，
到对称轴的距离 ，
，；
当 即 时，
到对称轴的距离 ，
到对称轴的距离 ，
，
，
综上所述： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性、增减性、二次函数函数图像和性质；熟练掌握二次函数函数
图像和性质是解题的关键．
4．B
【分析】设出 、 两点的坐标，并表示出 三条直线的表达式，可以得出直线 过定点，
可知当 与 轴平行时， 边上的高有最大值．
解：如图：
设点 ，
则：直线 的表达式为：
直线 的表达式为：
直线 的表达式为：，
过点 分别作 轴垂线，交 轴于点
则： ∽
则直线 的表达式为：
直线 必过 点
当 与 轴平行时， 边上的高有最大值，为
故选B
【点拨】本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线 的
表达式是解题关键．
5．C
【分析】将点 代入 即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数
图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
解：把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴当 时，y有最大值为6；
①当 时，
当 时，y有最小值为 ，
当 时，y有最大值为
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴ ，∴ 或 （舍去）。
②当 时，
当 时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为 ，
∴ 或 舍去）
综上所述： 或
故选：C
【点拨】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正
确分类讨论得出m的取值范围．
6．B
【分析】先分别求出抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线 的对称轴
为直线 ，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（
， ），求出直线AQ的解析式为 ，再由P在直线AQ上，得到
，由此即可得到答案．
解：∵抛物线 过A点、B点， ， ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
同理可得抛物线 的对称轴为直线 ，
设抛物线 的解析式为 ，抛物线 的解析式为
，∴当 时， ，
∴点P的坐标为（m+1，-a），
同理可求出点Q的坐标为（ ， ），
设直线AQ的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AQ的解析式为 ，
∵P在直线AQ上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键．
7．A
【分析】首先根据二次函数图象上点的特征分别求出A、A……An的值，进而利用裂项相消求出结果.
1 2
解：∵ 是二次函数y=x2-2x+1= 上的系列点，
x=1，x=2，……x =n，
1 2 n
∴ ，
，
……，
∴
；
故选择A.
【点拨】本题考查二次函数图象上点的特征，利用裂项相消计算是解决问题的关键.
8．D
【分析】根据抛物线解析式求出A，B坐标，在用待定系数法求出直线 的解析式，设平行于x轴且
在x轴上方的直线为 ，得出P点坐标与n的关系，再联立 与 得出
，由 得出n的取值范围，再由根与系数的关系得出m的取值范围，即可求出m的值．
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设平行于x轴且在x轴上方的直线为 ，
则 满足 ，
∴ ， ，
联立 ，
得 ，
∵抛物线与 有两个不同交点，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴
即
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，解
题的关键是一元二次方程与二次函数之间关系的应用．
9．A【分析】根据题意得出直线 与二次函数 以及 的交点，
作出图像，即可求解．
解：如图所示，
即
即 ，
当 ，
即 时， ，
解得： ,
则交点坐标为
∵ 是由 向右移动4个单位，
则当 时， 与 只有1个交点
即当 或 时，两函数图象公共点的个数为1，当 时，2个公共点，当 时没有公共
点，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，数形结合是解题的关键．
10．A
【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答．
解：∵四边形 是菱形，∴ ， ，
①当 时，如图，
，
，图象开口向上的抛物线的一部分；
②当 时，如图，
，图象是线段；
③当 时，如图，
，图象开口向下的抛物线的一部分；
故选： ．
【点拨】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是：弄清楚 不同取值
范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．
11．
【分析】根据 可以找出点 为最高，抛物线顶点为最低点，然后分别计算纵坐标作差即可．
解： ，故抛物线 图像对称轴为：直线 ，
，
，
，
故当 时， 最大为： ，
当 时， 最小为： ，
图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线函数图像与性质，根据 的取值范围找出 两点间的图像的最低点与最
高点是解题关键．
12．
【分析】根据B、D的纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是 ，由对角线互相垂直平分可知
四边形 是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是 的中点在原点，然后求出
A、B坐标求出菱形的边长，进而求出周长即可．
解：由题意可知 ， ，则 ，对称轴都是 ，
∵两个抛物线的a值是相反的，
∴四边形 是菱形，
抛物线的a值确定，抛物线的形状固定， 的长度固定，则菱形 的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是 的中点在
原点，
此时对称轴为y轴， ，
∴ ，则 ， ，
将 代入 可得： ，解得 ，则 ，
∴ ，则四边形 的周长为 ．
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、菱形的判定、勾股定理等知识点，灵活应用
相关知识点是解答本题的关键．
13．（0，1）
【分析】根据二次函数解析式画出其图像，过点 作 轴与 轴交于点 ，过点 作 轴与
轴交于点 ，根据等腰三角形的性质可证 ，从而得到 ，设
，则 ，求解即可得出点 的坐标，结果可求．
解：令 ，
解得 或 ，
，
令 时， ，
作出抛物线 的图像如图：
过点 作 轴与 轴交于点 ，过点 作 轴与 轴交于点 ，
为等腰直角三角形， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，设 ，
则 ，
解得： 或 ，
点B在第二象限，
舍去，
，
，
，
故答案为：（0，1）．
【点拨】本题考查了二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质、等腰三角形的性质以及全等三
角形的判定与性质是解本题的关键．
14．
【分析】由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费，再利用
一元二次方程根的判别式可得到答案．
解：设 则 ，
∴
∴ 上的运费为 ， 上的运费为
∴由A到C的总费用为：
∴
整理得：
由题意可得：方程有实数根，
∴整理得：
当 时，则
显然
所以 不符合题意，舍去，
∴ 时，
所以费用的最小值为： ，
此时：
设
整理得：
解得： 经检验符合题意，
∴
∴
∴ ，此时运费为： ，
故答案为： ；
【点拨】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，利用一元二次
方程根的判别式是解答本题的关键．
15．
【分析】先根据已知化简成关于a的不等式，再利用二次函数图象与不等式的关系解决即可．
解：∵当 和 （t为任意实数）时 的值相同
∴
∴整理得 ①∵ 时， 的值为2
∴ ②
将①代入②得
∴
∵
∴
∴整理得
设
画函数图象如图，由图像知 时的图象在x轴下方
∴
【点拨】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，解方程，解不等式等知识点，，熟练掌握其知识
是解决此题的关键．
16．
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为 ，则 再进行变
形得出 再代入可得 进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
解： 二次函数 （ ， 为常数）的图像沿与 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像
将 轴截出长为 的线段，
翻折前两交点间的距离不变，设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为 ，
则
又 的纵坐标为 ，
即该二次函数图像顶点纵坐标为
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与x轴交点之间的
距离是解题的关键．
17． / / / / /
【分析①】③根④据①二次④函③数③的图④象①与③性质①逐④项④进行①分③析④判断③即①可得到结论．
解：①∵
∴二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4的图象开口向下，故①正确；
②
∵抛物线的对称轴为直线
又函数图象开口向下
∴当x≥m+1时，y随x的增大而减小，故②错误；
③把x=-3代入
所以，函数图象过定点（﹣3，﹣11），故③正确；④对于函数 的 ，
所以， 的值恒为正值
∵ ＜0
∴
∴ 的图象在x轴的下方，
∴
令
解得， ，
∵函数 的图象开口向上
∴ 的解集为﹣4﹣ ＜m＜﹣4+
所以，不等式 ＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣ ＜m＜﹣4+ ，故④正确．
故答案为①③④．
【点拨】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握分析图象并结合函数性质解
题的能力是解决本题的关键．
18．
【分析】过点F，D分别作 垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明 ，由
全等三角形的性质得出 ，可求出 ，根据勾股定理得出
，由二次函数的性质可得出答案；
解：过点F，D分别作 垂直于y轴，垂足分别为G，H，则 ，
记 交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ 时， ，
∴ ，
又∵ ，
设直线 的解析式为
∴ ，
解得 =，
∴直线 的解析式为 ，
过点F作 轴于点R，
∵D点的横坐标为m,
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
令 ，得 ，
∴ ．
∴当 时，l的最小值为8，
∴ 的最小值为 ．
【点拨】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，
中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．
19．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 与 代入 ，求出t的值，即可；
（2）过点P作 轴，交 于点D．先求出直线 的解析式为 ，设点
，则点D的坐标为 ，可得 ，再由
，得到S关于a的函数关系式，即可求解；
（3）将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 ，取 的中点H，作直线 交抛物线于
Q，则 ， ，求出直线 的解析式，即可求解．
（1）解：∵ 与 时的函数值相等，
∴ ，
解方程，得 ，把 代入二次函数 ，
∴二次函数的解析式为： ．
（2）解：如图，过点P作 轴，交 于点D．
把 代入 ，得：
，解得 ，
∴点A ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 ，则点D的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
当 时， 有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标 ；
（3）解：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 ，取 的中点H，作直线 交
抛物线于Q，则 ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，解得 或 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利
用数形结合思想解答是解题的关键．20．（1） ，详见分析；（2）当 或 时， ，详见分析；（3）
或 ，详见分析
【分析】（1）由已知得到关于 的二元一次方程组，解出b、c即可；
（2）由（1）知：二次函数为 ，根据函数的增减性即可得出x的取值范
围；
（3）根据二次函数图象的增减性和点离对称轴的距离的关系，分类讨论：两点不在对称轴右侧、两
点不在对称轴左侧，两点分别在对称轴两侧，分别得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：（1）由题意得 ，
解得： ，
即b与c的值分别为 ；
（2）由（1）知：二次函数为 ，
∴二次函数图象的顶点为 ，开口向上，对称轴是直线 ，
当 时，函数有最小值为 ；当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ，
∴当 或 时， ．
（3）∵抛物线上有两点 ，
∴由（2）知：当 时，函数有最小值为 ；当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x
的增大而增大，∴当 时，则 ，
有两点不在对称轴右侧时， ；
两点不在对称轴左侧时， ，
有两点分别在对称轴两侧时， ，
∴由 解得： ；由 解得： ，
由 解得： ，而 无解，
∴综上所述，当 时，a的取值范围是 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，不等式组的解法等知识点，熟练掌握其性质是解
决此题的关键．
21．（1）① ；②49元；（2）第10个月能获得最大利润，最大利润是16400
元
【分析】（1）①当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，根据待定系数法即可求解，
当 时， ，以此解答即可；②将 分别代入 和 中，求得
售价 和进价 ，再根据“利润＝售价－进价”即可求解；
（2）设每月的利润为 ，当 时， ，根据二次函数的性质得当 时，
取得最大值，最大值为8600元，当 时， ，根据二次函数的性质可得当
时， 取得最大值，最大值为16400．
（1）解：①当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
根据题意得： ，
解得： ，，
当 时， ；
；
②当 时， ，
，
第3个月每件服装的利润为 （元）；
（2）解：设每月的利润为 ，
则 ，
当 时， ，
该函数的对称轴为直线 ，
，
在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
当 时， 取得最大值，最大值为 （元）；
当 时， ，
该函数的对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值为 （元），
，
第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（1） ；（2）从喷头 喷出的水珠能越过这棵树苗；（3）
【分析】（1）根据三角函数关系得到 ，再由二次函数对称轴公式得到 ，然后再利用待定系数法即可解得；
（2）通过比较树苗的最高点与相应位置的抛物线函数值大小关系即可判断结果；
（3）利用 表示出对应函数值和小朋友高度值，根据题意列出不等式求解即可；
（1）解：由题意可知，
，
则点D坐标为 ，
，
，
将点 坐标代入 得 ，则
将点 坐标代入 得
解得 ，则 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图过 中点 作 垂线交 于点 ，则 ， ，
将 代入 得，
，
从喷头 喷出的水珠能越过这棵树苗；
（3）解：如图过 上一点 作 垂线交 于点 ，设 ，则 ， ，由题意可得
化简得 ，
因式分解得 ，解得 ，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将二次函数与三角函数相结合解决实际问题，列
解二次不等式等知识，熟练运用相关知识，并根据题意解决实际问题是解题关键．
23．（1） ；（2）能，点 的坐标为 ；（3）点 的坐标为 或
或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作 轴于点 ， 轴于点 ，求得顶点 坐标，求得直线 即 的解析式，得出
点 的坐标，证明 ，据此求解即可；
（3）证明 ，求得 ，分三种情况讨论，即可求解．
（1）解：由抛物线与 轴的两个交点 ， 的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为
，
然后将 点坐标代入得： ，
解得： ，
故抛物线解析式为 ；（2）解：作 轴于点 ， 轴于点 ，
，
∴顶点 坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 即 的解析式为 ，
点坐标为 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 能经过抛物线的顶点，此时点 的坐标为 ；
（3）解：同理求得 直线方程为 ，
作 轴于点 ， 轴于点 ．∵ ，
∴四边形 是正方形， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 是等腰三角形可以有三种情形：
① ．则 ， ，则 点坐标为 ；
② ，则 点坐标为 ；
③ ，设 ．
∵ ，即 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及到了正方形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，等腰三角形的性质，用待定系数法求解析式等，充分考查学生的综合运用能力和数形结合的
思想方法．
24．（1）见分析；（2）①实数 的取值范围为 或 ；②
【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；
（2）先根据 为正整数，且函数图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，求出 的值，即可得到二次
函数的解析式，①令 ，分别求出 与 的值，由 得到不等式 ，解不等式即
可得到答案；②先求出平移后的抛物线的解析式，再求出平移之后的抛物线与 轴的交点，即
，分别表示出 ， ，代入求出 的范围，从而即可得到答案．
解：（1）证明：根据题意可得：
，
无论 取任何实数时，函数与 轴总有交点；
（2）解：当 时， ，
，
，即 ，
，
函数图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，
，
为正整数，
，
，① 当 时， ，
当 时， ，
，
，
解得： 或 ，
实数 的取值范围为： 或 ；
② 抛物线的解析式为： ，
抛物线向右平移 个单位后的解析式为： ，
令 ，则 ，
解得： ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，二次函数图象的平移，二次函数与轴的
交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题．
