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二十二章 二次函数（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】A． 是一次函数，故此选项不符合题意；
B． 是二次函数，故此选项符合题意；
C． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
D． 是反比例函数，故此选项不符合题意，
故选：B．
2．下列抛物线中，对称轴为直线 的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： 、 的对称轴为 ，符合题意；
、 的对称轴为 ，不符合题意；
、 的对称轴为 ，不符合题意；
、 的对称轴为 ，不符合题意；
故选： ．
3．二次函数 的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．【详解】由图知， ，对称轴 ，得 ， ， ，故A选项错误，D选项错误；
时， ，故B错误；
时， ，得 ，故C正确；
故选：C．
4．在同一平面直角坐标系 中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A．由直线可知 ，由抛物线开口向上， ，抛物线与 轴的交点得出 ，故选项不
符合题意；
B．由直线可知 ，由抛物线开口向下， ，抛物线与 轴的交点得出 ，故选项不符合题意；
C．由直线可知 ，由抛物线开口向上， ，抛物线与 轴的交点得出 ，故选项符合题意；
D． 由直线可知 ，由抛物线开口向下， ，抛物线与 轴的交点得出 ，故选项不符合题意；
故选：C．
5．抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：抛物线 经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=
－1，不可能是经过平移得到，
故选：D．
6．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1－4c=0，
解得：c= ．
故选：B．
7．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法正确，不符合
题意；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜
3，则下列结论正确的是（ ）A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=－ =1，则b=－2a，
∵从图象看，当x=－1时，y=a－b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴ （m为任意实数），
∴ ，
∵a＜0，
∴ （m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵－ =1，故b=－2a，
∵x=－1，y=0，故a－b+c=0，
∴c=－3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜－3a＜3，∴－1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
故选：D．
9．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离
为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4 米 B．10米 C．4 米 D．12米
【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣ x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形
中，点 ，点 ，则互异二次函数 与正方形 有交点时 的最大值和
最小值分别是（ ）A．4，－1 B． ，－1 C．4，0 D． ，－1
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数 与正方形 有交点,则共有以下四种情况:
当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有
，
解得： ；
综上可得： 的最大值和最小值分别是 ， ．
故选：D．二、填空题（每题4分，共20分）
11．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，小球
的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 ，当飞行时间t为
s时，小球达到最高点．
【详解】根据题意，有 ，
当 时， 有最大值．
故答案为：2．
12．若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
【详解】解：由题意可知 m2－2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
13．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛
物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m－4，
此时抛物线的顶点坐标为（－2，m－4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（－2+3，m－4+1），即
（1，m－3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m－3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
14．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A， 两点 ，则该抛物线的
解析式是 ．【详解】当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴该抛物线的解析式是 ．
15．如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．
小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
【详解】解：设p(x， x2－1)，则OH=|x|，PH=| x2－1|，
当点P在x轴上方时，∴ x2－1>0,
∴PH=| x2－1|= x2－1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+( x2－1)2=( x2+1)2，
∴OP= x2+1，∴OP－PH=（ x2+1）－（ x2－1）=2，
故答案为：2．
三、解答题（16－18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．已知函数y=（m2－2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【详解】（1）由题意得， ，解得m= ；
（2）由题意得，m2－2≠0，解得m≠ 且m≠－ .
17．一条抛物线由抛物线 平移得到，对称轴为直线 ，并且经过点 ．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线 经过怎样平移得到？
【详解】（1）解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=－7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2－7.
顶点坐标是（－1，－7）
（2）解：所求抛物线y =2（x+1）2－7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到
18．已知二次函数 ．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】（1）∵ ，
∴抛物线开口向上，
∵ = ，
∴对称轴是直线 ；（2）∵ ，
∴ ，
∴与y轴交点坐标是 ．
19．方程 的根与二次函数 的图象之间有什么关系？
【详解】解：当y=0时，得到－x2+2x+ =0，
即方程－x2+2x+ =0的根是二次函数y=－x2+2x+ 图象与x轴的交点的横坐标．
20．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
（1） ；（2） ．
【详解】解：(1)函数y=2x2+x－15的图象如图：由图象可知x≈2.4，x≈－3.1；
1 2
(2)函数y=3x2－x－1的图象如图：
由图象可知x≈0.8，x≈－0.4；
1 2
21．已知抛物线经过点 ， ， ，求该抛物线的函数关系式
【详解】解：∵抛物线经过点 ， ， ，
∴设抛物线的表达式为 ，
将点 代入得： ，解得： ，
∴ ．∴该抛物线的函数关系式为 ．
22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．
详解】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即 有两个实数根，
∴ ，即 ，
解得m≥﹣4．
23．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水
柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
（2）由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于
点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
详解】（1）解：将B（0，－4），C（2，0）代入 ，
得： ，解得： ，
∴抛物线的函数解析式为： ．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，
此时△ABD的面积最大，
∵ 时， ， ，
∴A点坐标为：（－4,0），
设直线AB关系式为： ，
将A（－4,0），B（0，－4），代入 ，
得： ，解得： ，
∴直线AB关系式为： ，设直线AB平移后的关系式为： ，
则方程 有两个相等的实数根，
即 有两个相等的实数根，
∴ ，
即 的解为：x=－2，
将x=－2代入抛物线解析式得， ，
∴点D的坐标为：（－2，－4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为： ，
将A（－4,0）代入 得， ，
解得： ，
∴PA所在直线解析式为： ，
∵抛物线对称轴为：x=－1，
∴当x=－1时， ，
∴P点坐标为：（－1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为： ，
将B（0，－4）代入 得， ，
∴PA所在直线解析式为： ，
∴当x=－1时， ，
∴P点坐标为：（－1，－5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为： ，
∴PA所在直线斜率为： ，PB在直线斜率为： ，
∵PA⊥PB，∴ =－1，
解得： ， ，
∴P点坐标为： ，
