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第22 章 二次函数（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于 的二次函数 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．为任意实数
2．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．将二次函数 的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达
式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
5．同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点 ， ，且 ，在抛物线 ： 上，则抛物线 与
坐标轴的交点个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
7．坐标平面上有一水平线 与二次函数 的图形，其中 为一正数，且 与二次函数图象
相交于 、 两点，其位置如图所示．若 ： ： ，则 的长度为( )
A．17 B．19 C．21 D．24
8．如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角
坐标系左面抛物线可以用 表示，则右面抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线 （ 为整数）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 、 两点，设 ， 则下
列结论正确的个数为（ ）① ，
② ，
③当线段 长取最小值时，则 的面积为
④若点 ，则
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．二次函数 的顶点坐标在第一象限，则 的取值范围是 ．
12．抛物线 经过点 ，且 ．则抛物线的对称轴是 ．
13．写出一个满足下列要求的函数： ．
①该函数存在一条对称轴②该函数图像过且仅过三个象限③该函数图像过点
14．已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，则另一个交点的坐标为 ．
15．已知抛物线 的图象如图所示，则一元二次方程 的根情况是
．
16．如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，以桥底部（正好为水面）
所在直线为 轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．
17．根据函数 和 的图像写出一个满足 的值，那 可能是 .
18．已知关于x的抛物线
（1）此抛物线顶点的纵坐标是 ；
（2）若 ，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作 ∥ 轴，交直线 于点
N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 ．（用含a的代数式表示）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知抛物线 与x轴没有交点．
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线 经过的象限，并说明理由．20．（8分）如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，0)．
（1）求 的值和抛物线顶点 的坐标；
（2）求直线 的解析式．
21．（10分）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0， ）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x，x，当x2+x2＝10时，求k
1 2 1 2
的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值 ，求m的值．22．（10分）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析
得知：投资A项目一年后的收益 （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为： ，投资B项
目一年后的收益 （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为： ．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（ ）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共
计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之
和最大？最大值是多少万元？
23．（10分）如图，已知抛物线 （ 为常数，且 ）与 轴交于 两点，且
，与 轴交于点 ，点 为第二象限内抛物线上的动点， 轴交 所在直线于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和点 的坐标；
(2)若点 为 轴上一点，请问是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是菱形？若存在，求
出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于A， 两点，与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于 ，
两点，点 是直线 上方抛物线上一点，设点 的横坐标为 ，过点 作 于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的长最大时，求线段 的最大值及此时点 的坐标；
(3)连接 ， ，试探究：在点 运动的过程中，是否存在点 ，使得 ，若存在，请直接
写出 的值；若不存在，请说明理由．参考答案
1．C
【分析】根据二次函数定义可得 ，解出答案即可．
【详解】因为关于 的二次函数 ，
，
解得： ．
故选：C．
【点拨】本题考查的是二次函数 概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．2．B
【分析】根据抛物线 的对称轴是直线 求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
3．A
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】解：二次函数 的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的二
次函数表达式为 ，
即二次函数的表达式为 ．
故选A．
【点拨】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键．
4．C
【分析】由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为 ，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：二次函数 ，
则 ，开口向下，对称轴直线为 ，
则函数图象上的点，离对称轴越远函数值越小，
点 ， ， 到对称轴的距离分别为：1、0、 ，
则 ，
故选：C
【点拨】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．
5．D
【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：A、由一次函数 的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误；B、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的顶点 ， ，矛盾，故错误；
C、由一次函数 的图象可得： ，由其与y轴的交点可知 ，矛盾，故错误；
D、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的顶点 ， ，故正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以
及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6．C
【分析】根据点 ， 的纵坐标相等，求得抛物线的对称轴，列式得 ，求得 ，再根据根的
判别式即可求解．
【详解】解：∵点 ， 的纵坐标相等，
∴抛物线 的对称轴为 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴ ，
∴抛物线 与坐标轴的交点个数为2个，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解题意，学会构
建方程解决问题．
7．C
【分析】根据对称轴 ，结合 即可求解．
【详解】解：设对称轴与 交于点 ．.
，
．
对称轴 ， ． ，
： ： ．
： ： ： ：
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意可得抛物线开口方向和大小不变，顶点坐标关于 轴对称，即可求解．
【详解】解：∵左面抛物线可以用 表示，
∴顶点坐标为
则右面抛物线的顶点坐标为
∴右面抛物线的表达式 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，关于 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握顶点式是解题的关键．
9．D
【分析】当 时，可求得 为 ，由 可得 为 或 ，将 的
坐标代入 ，进行计算即可得到答案．【详解】解：当 时， ，
抛物线与 轴的交点 为 ，
，
抛物线与 轴的交点 为 或 ，
或 ，
或 ，
或 或 或 ，
解得： 或 或 ，
为整数，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与 轴、 轴的交点坐标，熟练掌握二次函数
的图象与性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
【详解】直线 与抛物线 交于 、 两点，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ 正确；
∵ ，解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ；
∴ 正确；
∵ ，
当 时，即 轴时， 有最小值，
∴ ，
∴ ；
∴ 正确；
当点 时，假设 ，则：
是直角三角形，
取 的中点为点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 ，
∴点 ，
∵点 ，
∴ ，
∴ 时， ，
即 与 不一定垂直；
∴ 错误；
∴正确的为： ．故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点
间的距离公式．
11．
【分析】根据题目中的解析式可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以列出相应的不等式，求出 的取值
范围．
【详解】解： 抛物线 的顶点在第一象限，
该抛物线的顶点坐标为 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的顶点，解答本题的关键是明确题意，准确得出二次函数的顶点坐标解答．
12．
【分析】由 求出抛物线 经过点 ，又由抛物线 经过点
即可得到抛物线的对称轴．
【详解】解：当 时， ，
∵ ．
∴抛物线 经过点 ，
∵抛物线 经过点 ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，故答案为：
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求出对称轴是解题的关键．
13． （答案不唯一）
【分析】此函数可以为二次函数 （ ， ， ），结合条件求解即可．
【详解】解：∵顶点为 ，开口向下且与 轴的交点在负半轴上的抛物线的解析式都是符合题意的，
∴我们可以写出一个函数是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程
度具有积极的意义，本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．
14．
【分析】利用待定系数法求得 值，令 ，解一元二次方程即可求得结论．
【详解】解：∵二次函数 （ 为常数）的图象与 轴的一个交点坐标为 ，
∴ ．
∴ ，
∴二次函数 ．
令 ，则 ，
解得： ， ．
∴抛物线与与 轴的另一个交点坐标是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了抛物线与 轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令 ，通过解一元
二次方程求得抛物线与 轴的交点的横坐标是解题的关键．
15．有两个相等的实数根
【分析】根据图象中二次函数的最小值为 ，可得 的根的情况．【详解】解：由图象可知，二次函数 最小值为 ，
一元二次方程 有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
16．
【分析】设抛物线解析式为 ，根据题意可得 ，抛物线与x轴两交点坐标分别为 、
，代入即可求出．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
由题意可知： ，抛物线与x轴两交点坐标分别为 、 ，
把 、 ，代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求抛物线解析式，正确设出解析式和确定点的坐标是解题关键．
17． （答案不唯一，只要是 都可以）；
【分析】根据图像可得在三函数图像交点下方与原点之间满足 ，联立函数求出交点即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在三个函数图像交点下方与原点之间满足 ，
联立函数得，，解得： ， ，
故答案为： （答案不唯一，只要是 都可以）；
【点拨】本题考查根据函数图像解不等式，解题的关键是看懂图像及联立函数解出交点．
18．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可求得答案；
（2）联立可得 ，整理为 ，由根的判别式得 ，直线
与抛物线 无交点，由 ，得点 在点 上方，根据题意可得：
， ，即可得出 ，
可得对称轴为直线 ，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线顶点的纵坐标是 ，
故答案为： ；
（2）联立抛物线 与线 得 ，
整理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 与抛物线 无交点，
∵ ，∴抛物线 开口向上，
∴点 在点 上方，
∵点 为该抛物线上一动点，其横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴对称轴为直线 ，
∴当 的长随 的增大而减小时， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根的判别式等，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
19．（1）c＞
（2）顺次经过三、二、一象限．因为：k＞0，b=1＞0
【详解】（1）因为抛物线与x轴没有交点，所以 即 ，解得 （2）因为 所以直线y=
x+1随x的增大而增大，因为b=1所以直线y= x+1经过第一、二、三象限
20．（1） ，M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解 （1）∵抛物线 过点A(2，0)，
，解得 ，
，
,∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为 ，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得 ，
∴直线AM的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题．
21．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得： 再利用根与系数的关系与
可得关于 的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜ ＜ 结合函数图象，利用函
数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）把 代入 中，
抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：整理得：
∵x +x =4-3k，x •x =-3，
1 2 1 2
∴x 2+x 2=（4-3k）2+6=10，
1 2
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值， =- （m-2）2+3，
解得m=± ，∴m=- ，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴ =3，
∴m= ，
综上所述，m的值为- 或 ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与 轴的交点坐标，一元二次方程根
与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.
22．(1)4万元
(2)(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【分析】（1）把 代入 可得答案；
（2）当 时，可得 ，再解方程可得答案；
（3）设投入到B项目的资金为 万元，则投入到A项目的资金为 万元，设总收益为y万元，
，而 ，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益 （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：
，
当 时， （万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（ ）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意），
∴m的值为8．
（3）
设投入到B项目的资金为 万元，则投入到A项目的资金为 万元，设总收益为y万元，
∴
，
而 ，∴当 时， （万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【点拨】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，
理解题意，选择合适的方法解题是关键．
23．(1) ，点 的坐标为 ；
(2)存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）由 可得 ，利用待定系数法求函数解析式，令 ，即可得点 坐标；
（2）分两种情况：①当 为菱形的对角线时，②当 为菱形的一条边时，根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
抛物线 经过 、 两点，
，解得 ，
抛物线的函数表达式为 ，
令 ，得 ，
点 的坐标为 ；
（2）解：存在，
、 ，
， ，
设 所在直线的函数表达式为 ，
，解得 ，
所在直线的函数表达式为 ，
设 ，则 ，①当 为菱形的对角线时，如图1所示．
，四边形 是菱形，
，
菱形 为正方形，
，
，解得 或0（舍去）．
，
当 为菱形的对角线时，点 的坐标为 ；
②当 为菱形的一条边时，如图2所示．过点 作 轴于点 ，
，四边形 是菱形，
， ，
， ，，解得 ，
当 为菱形的一条边时，点 的坐标为 ．
综上可知，存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 或
．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，菱形的性质等
知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
24．(1)
(2)点 的坐标为 ， 的最大值为
(3)存在， 或
【分析】（1）将点A、 的坐标代入求解即可得到答案；
（2）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，易得 ，即可得到 的最大时 的长最大
即可得到答案；
（3）设 ，求出 的解析式，联立 的解析式求出交点坐标F，根据
得到 ，从而得到 代入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，故抛物线的表达式为： ；
（2）解：过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
由点A、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
则直线 和 轴的正半轴的夹角为 ，则 ，
则 ，
设点 的坐标为： ，则点 ，
则 ，
即 的最大值为 ，此时，点 的坐标为： ，
则 的最大值为 ，
故点 的坐标为： ， 的最大值为 ；
（3）解：存在，理由如下：
设 ， 与 相交于点F， 解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
联立得，解得： ， ，
∴ ，
设
∵ ，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ，
∴
，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，解得： ， ，
∴ ， ，
∴
解得： ， ， （不符合意义舍去）， （不符合意义舍去），∴ 或 ；
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了一次和二次函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，
难度适中．
