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2025-2026 学年八年级下册数学单元检测卷
第十九章二次根式
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义
的条件可得 ，再解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
【详解】A、原式 ，故此选项不符合题意．
B、原式 ，故此选项不符合题意．
C、 是最简二次根式，故此选项符合题意．
D、原式 ，故此选项不符合题意．
故选：C．3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式运算法则计算即可作答．
【详解】A、 无意义，故该项错误，不符合题意；
B、 ，故该项错误，不符合题意；
C、 ，故该项正确，符合题意；
D、 ，故该项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．
4．实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B．a C． D．b
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
直接利用数轴上 ， 的位置，进而得出 ， ，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答
案．
【详解】解：由图可知： ， ，
．
故选：D
5．如图，正方形 ，顶点 在数轴上表示的数为1，若点 在数轴上（点 在点 的右侧），且
，则点 所表示的数为 ，则正方形 的面积为（ ）A． B．7 C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出 ．根据题意得出
，得出正方形 的面积为 ．
【详解】解： 顶点 在数轴上表示的数为1， ，点 所表示的数为 ，
，
正方形 的面积为 ，
故选： ．
6．当 ， 时，代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查分母有理化，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键．根据平方差公式进
行分母有理化，即可得到答案．
【详解】解： ．
故选C．
7．估计 的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】C
【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
先化简二次根式，再进行估算即可．【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值应在9和10之间，
故选C．
8．若 ，化简 的正确结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，先判断
， ，再根据 ，化简代数式并合并即可．
【详解】解： ，
， ，
故选：D．
9．当 时，下列等式一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：A．当 时， ，故 ，选项错误；
B．当 时， ，故 ，选项错误；
C．当 时， ， ，故 ，符合题意；
D．当 时， ，分母为0，根式无意义，选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的
条件，本题属于基础题型．
10．当 时，多项式 的值为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．0
【答案】D
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，代数式求值．熟练掌握分母有理化，平方差公式，代数式
求值是解题的关键．
由题意知，分母有理化得， ，根据 ，计
算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式的定义、解二元一次方程组、代数式求值，根据同类二次根式的定义得
，解得 ，再代入求值即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
13．化简：将m写到根号中： ．【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
14．比较大小： （选填“ ”，“ ”，“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．
利用作差法可得 ，然后通过 ， ，再次利用作
差法比较 和 的大小，从而得到 ，即可得出答案．
【详解】解：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．二次根式除法可以这样做：如果 ，像这样通过分子、分母同乘一个
式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ；
②若a是 的小数部分，则 的值为
③比较两个二次根式的大小：
④计算：
以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化．
①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分 ，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值．
【详解】解：① ，
故将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ，故①正确；
②∵a是 的小数部分，
∴ ，故 ，故②错误；
③ ， ，
， ，
∵ ， ，
故 ，
∴ ，
故
即 ，故③正确；
④ ，
，
，
，
故，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（共9小题，共75分）
16．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）先算乘法，再算减法．
（2）先计算完全平方公式，再算加减法即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．已知 ．
(1)计算 ________； ________； ________．
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先分母有理化可得 ， ，再代入计算即可求解；
（2）由（1）得： ， ，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
故答案为： ，6， ；
（2）解：由（1）得： ， ，
∴ ．
18．定义两种新运算，规定： ， ，其中a、b为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的解．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义得到方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
，
∵ ，
∴ ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ 的解是 ．
19．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏 ，用于展示校园文化．已知宣传栏的长 为 ，
宽 为 ．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为 、宽为
的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．(1)计算长方形宣传栏 的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式．
（1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解；
（2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解．
【详解】（1）解： （ ）．
答：长方形宣传栏 的周长为 ．
（2） （ ）．
答：用于张贴学生作品的面积为 ．
20．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较 和 的
大小，我们可以把a和b分别平方．
∵ ，
∴ 而 ，
∴ ．请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 的大小，c_______d；（填写>，<或者=）
(2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键．
利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数．
【详解】（1） ， ，
， ，，
；
故答案是： ．
（2） ，理由如下：
， ，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
．
21．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如 ，如果你能找到两个数 、 ，使
，且 ，则 可变形为 .从而达到化去一层根
号的目的．
例如化简 ， 且 ，
.
(1)填上适当的数： ＝______．
(2) 能化为最简二次根式，求正整数 的最小值和最大值．
(3)化简： ．
【答案】(1) ， ；(2)正整数 的最小值是10，最大值是25；
(3) ．
【分析】（1）将8写成 ，将 写成 ，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，
即可得出答案．
（2）将 写成 ，将 写成 ，或 ，或， 或 分别求出
， ， ， ，即可得出正整数 的最小值和最大值．
【详解】（1）
故答案为： ，
（2）
，
，或 ，或 ，
或 ．
∴正整数 的最小值是10，最大值是25．
（3）【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解
题的关键．
22．阅读下面计算过程：
；
；
．
试求：
(1) 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键．（1）分子分母同乘 即可求解；
（2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解；
（3）把a化简为 ，进而可得 ，原式变形为 ，再代入即可求值．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
…
；
（3）解： ，
∴ ,
∴ ，
即 ，
．
23．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方
式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如： ，善于思考的小
智进行了以下探索，若设 ，则有 ， ，这样小
智就找到一种把类似 的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题．
(1)若 ，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得
________， ________；
(2)若 ，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值；
(3)求出 的值．
【答案】(1) ，
(2)64或16
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的
关键．
（1）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出 和 的结果；
（2）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出 ， ，再结合m，n均为正整数得出
或 ，分两种情况代入 计算即可得出结果；
（3）根据二次根式的性质并结合完全平方公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ （a，b，m，n均为正整数），
∴ ， ；
（2）解： ，，
， ，
，
，n为正整数，
或 ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ，
的值为64或16；
（3）解：∵ ， ，
∴ ．
24．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数 ， ，
∵
∴
∴ （当且仅当 时， ）
【获得结论】在 （ ， 均为正实数）中，若 为定值 ，则 ，当且仅当 时，
有最小值 ．
如：若 ，则
∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小值2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若 ，则 的最小值是_____；(2)已知 ， 是一个大于0的常数，若 的最小值为1，求 的值；
(3)如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ， ， ，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式：
（1）根据 ，即可求得答案；
（2）根据 ， ，即可求得答案；
（3）设 ，则 ， ， ，则
．
【详解】（1）解：根据题意，得
，当且仅当 ，即 时， 有最小值 ．
故答案为：
（2） ， ，即 的最小值为 ．
根据题意，得 ．
∴将 代入，得
原式
．
（3）设 ，则 ， ， ．
．
因为 ，当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，
所以当 时， 取得最大值，最大值 ．
