文档内容
2025-2026学年八年级数学上册期中真题重组卷
（考查范围：第13~14章）
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
94521
1．（3分）（2024·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）下列各线段能构成三角形
的是（ ）
A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cm
C．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可
【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意；
B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意；
C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意；
D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意
故选：C
【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能
否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度
即可判断这三条线段能构成三角形．
2．（3分）（2024·黑龙江·大庆市景园中学八年级期中）如果一个正多边形内角和等于
720°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】先用多边形的内角和公式求这个正多边形的边数为n，再根据多边形外角和等于
360°，可求得每个外角度数．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180°×（n-2）=720°，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．应用方程思想求边数是解题关键．
多边形的外角和是定值，且为360°．
3．（3分）（2024·福建省安溪第一中学八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，
DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面
积为（ ）A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【答案】B
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，
再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，Rt△ADF和Rt△ADH全等，根据全等三角形
的面积相等可得S
△≝¿=S ¿
，S
△ADF
=S
△ADH
，设S
△≝¿=S =x¿
，然后列出关于x的方程，求
△DGH △DGH
解即可．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
∵在Rt△DEF和Rt△DGH中¿，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴S ，
△≝¿=S ¿
△DGH
∵在Rt△ADF和Rt△ADH中¿，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL)，
∴S =S ，
△ADF △ADH
设S ，
△≝¿=S =x¿
△DGH
∵△ADG和△AED的面积分别为为27和16，
∴x+16=27-x，
解得：x=5.5，
即△EDF的面积为5.5，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线上
的点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．（3分）（2024·湖南·安乡县官陵湖中学八年级期中）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，
AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（ ）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，以及全等三角形的判定即可求出答案．
【详解】解：①△ABE≌△CDF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ AB=CD，∠ABE=∠CDF ．
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF；
②△AOE≌△COF．
∵AB∥CD，AD∥BC，AC为ABCD的对角线，
∴OA=OC，∠EOA=∠FOC．
∵∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF；
③△ABO≌△CDO．
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，
∴OD=OB，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴△ABO≌△CDO；
④△BOC≌△DOA．
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，
∴OD=OB，∠BOC=∠DOA，OC=OA，
∴△BOC≌△DOA；
⑤△ABC≌△CDA．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴BC=AD，DC=AB，∠ABC=∠CDA，
∴△ABC≌△CDA；
⑥△ABD≌△CDB．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，∴△ABD≌△CDB；
⑦△ADE≌△CBF．
∵AD=BC，DE=BF，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键找出对应相等的边、角，判定两个三
角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS，ASA、HL，同时考查了平行四边形的性
质，题目比较容易．
5．（3分）（2024·河北唐山·八年级期中）△ABC中，AB=AC=12，∠B=∠C，BC=9，点D
为AB的中点.如果点P在线段BC上以x m/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线
段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度为3m/s，则当△BPD与△CQP全等时，则
x的值为（ ）
A．3或2.25 B．2或2.5
C．3或2 D．3
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：
1
①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，BD=CQ=6，BP=CP= BC，根据速
2
度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6，BP=CQ，
得出¿，解出即可．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC=12，点D为AB的中点，
∴BD=6，
若△BPD≌△CPQ，
1 1
则需BD=CQ=6，BP=CP= BC= ×9=4.5，
2 2
∵点Q的运动速度为3m/s，
∴点Q的运动时间为6÷3=2(s)，
∴x=4.5÷2=2.25，
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6，BP=CQ，∴¿，
解得：x=3，
∴x的值为2.25或3，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和动点问题，解题关键是学会分类讨论．
6．（3分）（2024·江苏·苏州市吴江区铜罗中学七年级期中）如图，将△ABC沿DE，EF
翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=80°，则
∠C的度数为（ ）
A．50° B．46° C．44° D．40°
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得∠A＝∠DOE，∠B＝∠EOF，可得∠DOF＝∠A＋∠B，由三角
形内角和定理可得∠A＋B＝180°−∠ACB，由三角形外角的性质求出∠DOF＝∠ACB＋
∠CDO＋∠CFO，即可求∠ACB的度数．
【详解】解：如图，连接CO并延长至点H，
∵将 ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，
∴∠A＝∠DOE，∠B＝∠EOF，
△
∴∠DOF＝∠A＋∠B，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＝180°−∠ACB，
∵∠DOH＝∠DCO＋∠CDO，∠FOH＝∠FCO＋∠CFO，
∴∠DOF＝∠DOH＋∠FOH＝∠DCO＋∠CDO＋∠FCO＋∠CFO＝∠ACB＋∠CDO＋
∠CFO，
∵∠DOF＝∠ACB＋∠CDO＋∠CFO＝180°−∠ACB，
∴∠ACB＋80°＝180°−∠ACB，
∴∠ACB＝50°，
故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练运用三角
形内角和定理是本题的关键．
7．（3分）（2024·江苏镇江·七年级期中）如图，点D、E在△ABC的边上，连接AD、BE
1
交于点F．若BD=CD，CE= AC，S =24cm2，则图中两个阴影面积之差即
3 △ABC
S -S 等于（ ）cm2．
△AEF △BDF
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
1
【分析】利用BD=CD，S =24cm2 ，求出S =S =12cm2 ，再利用CE= AC
△ABC △ABD △ADC 3
2
求出S = S =16cm2 ，再根据S -S +S =12-S +S =16cm2 ，
△BEA 3 △ABC △ABD △BDF △AEF △BDF △AEF
即可求出S -S =4cm2 ．
△AEF △BDF
【详解】解：∵BD=CD，S =24cm2 ．
△ABC
∴S =S =12cm2 ．
△ABD △ADC
1
∵CE= AC．
3
1 2
∴S = S =8cm2 ，S = S =16cm2 ．
△BEC 3 △ABC △BEA 3 △ABC
∵S -S +S =12-S +S =16cm2 ．
△ABD △BDF △AEF △BDF △AEF
∴S -S =4cm2 ．
△AEF △BDF
故选：B
【点睛】本题考查利用中线求三角形面积，解题的关键是找出
S -S +S =12-S +S =16cm2 ．
△ABD △BDF △AEF △BDF △AEF
8．（3分）（2024·重庆市渝北区石鞋学校八年级期中）如图，A，B，C，D，E，F是平面
上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【分析】连接AD，设DE，AF交于点O，即有∠AOD＝∠EOF，根据三角形内角和为
180°，有∠E+∠F＝∠OAD+∠ODA，在四边形ABCD中，即有∠DAB+∠B+∠C+∠ADC＝
360°，则问题得解．
【详解】解：如图所示，连接AD，设DE，AF交于点O，
则∠AOD＝∠EOF，
∴∠E+∠F＝∠OAD+∠ODA，
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠B+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠OAB+∠B+∠C+∠CDE+∠ODA+∠OAD＝360°，
即∠OAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理等知识．三角形内角和为
180°，四边形的内角和为360°，熟记此知识点是解答本题的基础．
9．（3分）（2024·山东临沂·八年级期中）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边
长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是
（ ）A．80° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】取格点E，F，M，连接MD，MB，先证明ΔDFM≅ΔMEB，得出
MD=MB，∠DMF=∠MBE，再证明AC//BM得出∠APB=∠PBM，最后证明
ΔDMB是等腰直角三角形，得出∠DBM=45°，从而得出∠APB=45°即可．
【详解】解：取格点E，F，M，连接MD，MB，
由已知条件可知：MF=BE，DF=EM，∠DFM=∠MEB=90°，
∴ΔDFM≅ΔMEB，
∴MD=MB，∠DMF=∠MBE，
同理可得：ΔACB≅ΔBME，
∴∠CAB=∠MBE，
∴AC//BM，
∴∠APB=∠PBM，
∵∠BME+∠MBE=90°，
∴∠BME+∠DMF=90°,
∴∠DMB=90°,
∴ΔDMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°,
即∠APB=45°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判
定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键．
10．（3分）（2024·全国·八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，
∠ADP+∠ABC=180°，则下列结论中正确的个数为（ ）
①AD平分∠MAC；②S :S =AB:BC；③若∠BDC=31°，则∠DAM=59°，
△DAB △DBC
④BP-2AE=AB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点D作DO⊥AC于点O，先根据角平分线的性质可得DE=DF,DO=DF，
从而可得DE=DO，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据DE=DF，利用三角形
的面积公式即可判断②；先根据HL定理证出Rt△ADE≅Rt△ADO，
Rt△CDF≅Rt△CDO，Rt△BDE≅Rt△BDF，再根据全等三角形的性质可得
∠ADE=∠ADO，∠CDF=∠CDO，∠BDE=∠BDF，设∠CDF=∠CDO=x，则
∠BDE=∠BDF=31°+x，然后根据角的和差可得∠ADE=31°，最后根据直角三角形
的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出△ADE≅△PDF，
Rt△BDE≅Rt△BDF，再根据全等三角形的性质可得AE=PF,BE=BF，然后根据线段
和差、等量代换即可判断④．
【详解】解：如图，过点D作DO⊥AC于点O，
∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACN，且DE⊥AB,DF⊥BC，
∴DE=DF,DO=DF，
∴DE=DO，
又∵点D在∠MAC的内部，
∴AD平分∠MAC，结论①正确；
1 1
∵S = AB⋅DE,S = BC⋅DF,DE=DF，
△DAB 2 △DBC 2
∴S :S =AB:BC，结论②正确；
△DAB △DBC
在Rt△ADE和Rt△ADO中，¿，
∴Rt△ADE≅Rt△ADO(HL)，
∴∠ADE=∠ADO，
同理可证：Rt△CDF≅Rt△CDO，Rt△BDE≅Rt△BDF，
∴∠CDF=∠CDO，∠BDE=∠BDF，
设∠CDF=∠CDO=x，则∠BDE=∠BDF=∠BDC+∠CDF=31°+x，∠BDE+∠BDF-∠CDF-∠CDO
∴∠ADE=∠ADO= =31°，
2
∵DE⊥AB，
∴∠DAM=90°-∠ADE=59°，结论③正确；
∵DE⊥AB,DF⊥BC，
∴∠EDF+∠ABC=360°-90°-90°=180°，
∵∠ADP+∠ABC=180°，
∴∠EDF=∠ADP，
∴∠EDF-∠ADF=∠ADP-∠ADF，即∠ADE=∠PDF，
在△ADE和△PDF中，¿，
∴△ADE≅△PDF(ASA)，
∴AE=PF，
由上已证：Rt△BDE≅Rt△BDF，
∴BE=BF，
∴BP-2AE=BP-PF-AE=BF-AE=BE-AE=AB，结论④正确；
综上，结论中正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和
等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024·全国·八年级期中）如图， ABC中，一内角和一外角的平分线交于点
D，连结AD，∠BDC＝24°，∠CAD＝_____．
△
【答案】66°
【分析】如图，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥AC于点N，DG⊥BA于点G．由CD平分
1 1
∠ACE，BD平分∠ABC，可得DM＝DN＝DG，∠DBC＝ ∠ACE，∠DBC＝ ∠ABC
2 2．进而推断出Rt ADG≌Rt ADN（HL），故∠GAD＝∠NAD．那么，欲求∠CAD，需求
∠BAC．根据三角形外角的性质，可得∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC＝
△ △
1 1
(∠ACE-∠ABC)= ∠BAC，故∠BAC＝2∠BDC＝48°．即可求出∠CAD．
2 2
【详解】解：如图，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥AC于点N，DG⊥BA于点G．
∵CD平分∠ACE，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
1
∴DM＝DN，∠DCE＝ ∠ACE．
2
1
∴∠DCE＝∠BDC+∠DBC＝ ∠ACE．
2
1
∴∠BDC＝ ∠ACE-∠DBC．
2
∵BD平分∠ABC，DM⊥BE于M，DG⊥BA于G，
1
∴DM＝DG，∠DBC＝ ∠ABC．
2
1 1 1
∴DG＝DN，∠BDC＝ ∠ACE﹣∠DBC＝ ∠ACE- ∠ABC．
2 2 2
1 1
∴∠BDC＝ (∠ACE-∠ABC)= ∠BAC．
2 2
又∵∠BDC＝24°，
∴∠BAC＝48°．
∴∠CAG＝180°﹣∠BAC＝132°．
在Rt ADG和Rt ADN中，
¿
△ △
∴Rt ADG≌Rt ADN（HL）．
∴∠G
△
AD＝∠N
△
AD．
1 1
∠DAN＝ ∠CAG= ×132° ＝66°，即∠CAD＝66°．
2 2
故答案为：66°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义与性质、三角形外角的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义与性质、三角形外角的性质以及全等三角形的性质与判
定是解决本题的关键．
12．（3分）（2024·陕西西安·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B
（3，0），C（1，2），若以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为
___.
【答案】(2,2)或(1,-2)或(2,-2)
【分析】先根据题意画出符合的三角形，再根据全等三角形的性质和点A、点B、点C的坐
标得出点D的坐标即可．
【详解】解：如图所示，有3个三角形和ΔABC全等，
∵A(0,0)，B(3,0)，C(1,2)，
∴D 的坐标是(2,2)，D 的坐标是(1,-2)，D 的坐标是(2,-2)，
1 2 3
故答案为：(2,2)或(1,-2)或(2,-2)．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质和全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是能熟
记全等三角形的判定定理和性质定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，
SSS，两直角三角形全等还有HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13．（3分）（2024·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）如图，在△ABC中，点
D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，
若∠BEG=29°，则∠BDE的度数为_____．
【答案】58°
【分析】设∠BED=x，则∠G=∠DEG=x+29°，再根据三角形的内角和定理可得∠EDG=122°-2x，根据三角形的外角性质可得∠B=∠DFB=122°-x，然后在
△BDE中，根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：设∠BED=x，
∵∠BEG=29°，
∴∠G=∠DEG=∠BED+∠BEG=x+29°，
∴∠EDG=180°-∠G-∠DEG=122°-2x，
∴∠B=∠DFB=∠BED+∠EDG=122°-x，
∴∠BDE=180°-(∠BED+∠B)=180°-(x+122°-x)=58°，
故答案为：58°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和
定理是解题关键．
14．（3分）（2024·江苏盐城·七年级期中）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内
不变形，至少还要再钉上 _____根木条．
【答案】3
【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架
变成几个不重叠的三角形即可．
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个
不重叠的三角形．
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性
的应用是解题关键．
15．（3分）（2024·江苏·沭阳县潼阳中学八年级阶段练习）如图所示，锐角 ABC中，
D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将 ADC和 AEB分别绕着边
△
AB、AC翻折得到 ADC'和 AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是
△ △
___．
△ △【答案】96°##96度
【分析】根据题意由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形
内角和定理进行分析解答．
【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，
∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=42°，
∴∠C′DB=∠BAC′+AC′D=42°+α，∠CEB′=42°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=42°+α，∠ACB=∠CEB′=42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即126°+α+β=180°．
则α+β=54°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=42°+α+β=42°+54°=96°．
故答案为：96°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是利用“全等三角形的对应角相
等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理．
16．（3分）（2024·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝
BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G
在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是_____．
【答案】DE+BG＝EG
【分析】连接AC，利用全等三角形的判定和性质，求解即可．
【详解】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下：连接AC，如图所示，
在△ABC和△ADC中，
¿，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
1
∴∠BCA=∠DCA= ∠DCB=60°
2
又∵∠ECG＝60°，
∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中，
¿，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，
∴∠ECG＝∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
¿，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG，
又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG
故答案为：DE+BG＝EG
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定
方法与性质．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（6分）（2024·四川·阆中中学八年级期中）已知三角形ABC的三边为a，b，c；（1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长；
（2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|．
【答案】（1）17；（2）a+3b﹣c
【分析】（1）根据三角形三边关系得出c的取值范围，进而解答即可；
（2）根据三角形三边关系判断绝对值号内的正负，进而解答即可．
【详解】解：（1）∵a＝2，b＝7，
∴7﹣2＜c＜7+2，
即5＜c＜9，
∵c为最长边且为整数，
∴c＝8，
∴三角形ABC的周长＝2+7+8＝17；
（2）∵三角形ABC的三边为a，b，c，
∴a+b＞c，b＜a+c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c＝a+3b﹣c．
【点睛】题目主要利用三角形三边关系进行分析，并利用三角形三边关系进行相关绝对值
的化简．
18．（6分）（2024·江西·宜春市经都学校七年级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，且
∠AFE＝∠ACB．
(1)求证：∠3＝∠B；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）先证明DF∥AB，得出∠3＝∠AEF，再根据平行线的判定证明EF∥BC，
得出∠AEF＝∠B，即可得证；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线
定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
（1）
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，∴∠FDE＝∠2，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴∠B＝∠3；
（2）
解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能运用定理进行推
理是解此题的关键．
19．（6分）（2024·江苏·建新中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝
60°，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB．若∠CAD＝40°．求∠ADE的度数．
【答案】40°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据大角减小角求出∠BAD，利用平行线
的性质进行求解即可．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°．
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝80°﹣40°＝40°，
∵DE∥ AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝40°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
20．（8分）（2024·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长
为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)画出△ABC的AB边上的高CD，垂足为D；
(2)求出△ABC的面积为_________；
(3)图中，能使S =3的格点Q，共有_________个．
△QBC
【答案】(1)画图见解析
(2)8
(3)7
【分析】（1）根据三角形高的定义作图即可；
（2）用△ABC所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得
到答案；
（3）利用格点和平行线间间距相等作图求解即可．
（1）
解：如图所示，线段CD即为所求；（2）
1 1 1
解：S =5×7- ×5×7- ×2×6- ×1×3-1×2=8，
△ABC 2 2 2
故答案为：8；
（3）
解：如图所示，满足Q点的格点一共有7个，
故答案为：7；
【点睛】本题主要考查了求三角形面积，平行线的性质，画三角形的高，熟知相关知识是
解题的关键．
21．（8分）（2024·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）如图，在△ABC中，
AD⊥BC于点D,∠B=46∘,∠C=68∘．(1)尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求∠DAE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)11°
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图解答即可；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线定义求出∠CAE，根据直角三角形的性质求出
∠CAD，即可得到∠DAE的度数．
（1）
如图，AE即为所求；
（2）
解：∵∠B=46°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=33°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=22°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-22°=11°．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，
正确掌握角平分线的作图及直角三角形的性质是解题的关键．
22．（9分）（2024·河北唐山·八年级期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，
△ABC≅△DEF，连结AD交BE于O．(1)求证：AC∥FD，AB∥ED；
(2)求证：AO=DO；
(3)若BF=5，FC=4，直接写出EO的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，然后根据平行
线的判定即可得到结论；
（2）根据”AAS”证明△ABO≅△DEO，然后根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．
（1）
证明∶∵△ABC≅△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥ED，AC∥FD；
（2）
证明：∵△ABC≅△DEF，
∴AB=DE，
在△ABO和△DEO中，
¿，
∴△ABO≅△DEO（AAS），
∴AO=DO；
（3）
解：∵△ABC≅△DEF，
∴BC=EF，
∴BF=CE，
又BF=5，
∴CE=BF=5，又FC=4，
∴BE=BF+FC+CE=14，
∵△ABO≅△DEO，
∴BO=EO，
1
∴EO= BE=7．
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定
与性质．
23．（9分）（2024·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）如图，射线OA∥射线CB，
∠C＝∠OAB＝100°，点D，E在线段BC上，且∠DOB＝∠BOA，OE平分∠DOC．
(1)∠BOE＝___________；
(2)试说明AB∥OC的理由；
(3)平移线段AB．
①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会请找出相应
的变化规律；
②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC＝∠OBA，试求此时∠OEC的度数．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)①不会变化，∠OBC：∠ODC＝1：2；②∠OEC＝60°
1
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝ ∠AOC，
2
计算即可得解；
（2）求出∠OAB＋∠AOC＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（3）①根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，进而可得∠DOB＝∠OBC，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ODC＝2∠OBC，从而得解；
②根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到∠COE＝∠EOD＝∠AOB＝
∠DOB，求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
（1）
解：∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°−∠C＝180°−100°＝80°，
∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠EOD，
∵∠DOB＝∠AOB，
1 1
∴∠EOB＝∠EOD＋∠DOB＝ ∠AOC＝ ×80°＝40°；
2 2
故答案为：40°；
（2）
由（1）可知∠AOC＝80°，
∵∠OAB＝100°，
∴∠OAB＋∠AOC＝180°，
∴AB∥OC；
（3）
①不会变化，∠OBC：∠ODC＝1：2；
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠OBC，
∴∠ODC＝∠DOB＋∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠ODC＝1：2，是定值；
②在 COE和 AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
△ △
∴∠COE＝∠AOB，
∴∠COE＝∠EOD＝∠AOB＝∠DOB，
1 1
∴∠COE＝ ∠AOC＝ ×80°＝20°，
4 4
∴∠OEC＝180°−∠C−∠COE＝180°−100°−20°＝60°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，
注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两
直线平行，同旁内角互补，反之亦然，此题是一道中档题目，难度适中．
24．（10分）（2024·广东惠州·八年级期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC
上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．(1)发现问题
如图①当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证：CE+CD＝BC；
(2)尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在
的数量关系是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
(3)拓展延伸
如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的
长．
【答案】(1)①BD＝CE，BD⊥CE；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为CE＝BC+CD，理由见解析
(3)8
【分析】（1）①根据条件AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，判
定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系；②根据全等三角形的性质，即
可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可
得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，进而得到CD=BC+BD=BC+CE，
最后根据BC=6，CE=2，即可求得线段CD的长．
（1）
①如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC
{∠BAD=∠CAE，
AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，即BD⊥CE；
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
②由①得△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）
不成立，存在的数量关系为CE＝BC+CD．
理由：如图2，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC
{∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
（3）
如图3，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC
{∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE，
∵BC＝6，CE＝2，
∴CD＝6+2＝8．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解决问题
的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形
的对应边相等．
25．（10分）（2024·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列
问题：
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点
E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到
△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点
F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S，△DCE的面积为
1
S，则有S S（填“＞、＝、＜”）
2 1 2
【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=
【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然
后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问
题；
（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作
CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得
∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明
△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．
【详解】解：（1）∵△ABC≌△DAE，∴AC=DE；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAH=90°，
∴∠BAF=∠ADH，∵BC⊥AF，
∴∠BFA=∠AHD=90°，
∵AB=DA，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴∠DHG=∠EQG=90°，
∵∠DGH=∠EGQ
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即点G是DE的中点；
（3）S =S ，理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交
1 2
OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M
∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴S =S ，OD=MC，
△AOD △DMC
同理可以证明△FOD≌△DNE，
∴S =S ，OD=NE，
△FOD △DNE
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴S =S ，
△ENP △CMP
∵S =S +S ,S =S -S +S +S ，
△ADF △AOD △FOD △DCE △DCM △CMP △DEN △ENP∴S =S +S =S +S ,
△DCE △DCM △DEN △AOD △FOD
∴S =S 即S =S ．
△DCE △ADF 1 2
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，
熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
