文档内容
重难点 04 五种平面向量数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知在 中， ， ，动点 位于线段 上，当
取得最小值时，向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得 ，再由向量数量积的定义表示 ，根据二次函数的性质求得其最值，再
由向量夹角公式可得选项.
【详解】因为在 中， ， ，所以 ，所以
，当且仅当 时取等号，因此在 中，
所以向量 与 的夹角的余弦值为 ，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据已知向量建立关于向量的模 的二次函数，利用二次函数确定取得最值时，的值.
2．（2020·陕西省洛南中学高三阶段练习（文））已知向量 ，向量 且 ，则 的坐标
为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 的坐标为 ，由向量垂直的坐标表示和向量的模的计算求得选项.
【详解】设 的坐标为 ，又向量 ，向量 且 ，所以 ，解得
或 ，故选：C.
【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示和向量的模的坐标运算，属于基础题.
3．（2020·广东珠海·高三阶段练习）已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则
的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设 则可用坐标表
示 ，由于 是两个相互独立的变量，即可将代数式中含 和 的部分分别作为独立函
数求最大值，它们的和即为 的最大值
【详解】构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD边长为1，知： ，
若令 ，即 ， ；
∴ ，而 ， ，
则 在 上 或 有最大值为0，
在 上 有最大值为1；
∴ 的最大值为1
故选：C
【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据
数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值
4．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形 中， ， ，对角线 与
相交于点 ，点 是线段 上一点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 的中点为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的直角
坐标系，求出直线 的方程为 ，设点 ， ，求出 的解析
式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.
【详解】如图所示，以 的中点为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 ，
所以直线 的方程为 ，
设点 ， ，所以 ，
所以 ，
当 时， 取到最小值 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.
5．（2020·全国·高三（文））已知向量 ，且 ，则 等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．
【详解】因为 ，且 ，
，
则 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
二、多选题6．（2020·广东·高三专题练习）已知不共线的两个单位向量 ，若向量 与 的夹角为锐角，
则符合上述条件的 值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】向量夹角为锐角时，数量积应大于0，从而求得参数.
【详解】因为向量 与 的夹角为锐角，所以 且
，
所以 且 ，即 或 ，
观察各选项可知符合条件的 值可以是 ， .
故选：AB．
三、双空题
7．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量 、 的夹角为 ，且 ， ，
则 _______， 在 方向上的投影等于_______.
【答案】 1
【解析】根据条件可求得 ,进行数量积的运算,便可由 得出
,解该方程即可求得 的值; 根据投影的计算公式即可得出 在 方向上的投影.
【详解】根据条件, ;
;
; 解得 或 (舍去);(2) 在 上的投影为 ，
故答案为： ；1.
【点睛】本题考查向量的数量积运算，关键在于准确地运用相应的公式，理解向量数量积的含义，属于基
础题.
8．（2019·浙江杭州·高三阶段练习）若向量 ， 满足 ，则 的最小值为
________，最大值为________．
【答案】 12
【分析】设 ， 的夹角为 ，根据向量的运算，得到所以 ，结合三角函
数的性质，即可求解．
【详解】由题意，设 ， ， 的夹角为 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 的最小值为12，最大值为 ．
故答案为： ，
【点睛】本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查
逻辑推理、数学运算能力．
四、填空题
9．（2022·浙江·高三专题练习） 中， ，且对于 ， 最小值为，则 _____.
【答案】
【解析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简 ，可得到
，化简 ，并利用二次函数求最值，求出 的最小值，且使最小值等于
，可得 ，进而得出 ，最后利用余弦定理即可得解.
【详解】设 ， ， ，
， ， ，
的最小值为 ，
，解得 ， ，，
， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解
能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简
，得出三角形三边的关系是解题的关键.
10．（2020·浙江·高三专题练习）如图，已知正方形 ，点E，F分别为线段 ， 上的动点，且
，设 （x， ），则 的最大值为______.
【答案】
【解析】设边长为1， ，建立直角坐标系，求得 的坐标，根据题设用 表示出 ，
再利用函数的性质，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1， ，
则 ，可得 ，
由 ，
可得 ，解得 其中 ，
所以 ，令 ，则 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
所以 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其
中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理
与运算能力．
11．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，
，点 在线段 上，且 ，若 ，则 的值为_______.
【答案】
【解析】根据题意要求 的值，则要求出 中 的值，故考虑以点 为原点，建立直角
坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.
【详解】解:如图建立直角坐标系：设 ，
则 ， ，
点 在线段 上，且 ，所以 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
由题知 ，是等腰三角形.
所以 ，
所以 ，
，
， ， ，
若 ，
则 ，
，解得 ， ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查向量的线性运算，当直接运用向量的三角形法则与平行四边形法则较困难时，可借助坐
标，转化成两向量相等，则对应坐标相等，进而通过方程思想来求解.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·四川眉山·三模（理））下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简
易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直
于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 ，
， ， .根据物理学知识得 ，则 （ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
【答案】D
【分析】由 ，得 ，则可得 ，可求得 ， ， 分别为 的
中点，则由已知可得 为 的中点，再结合已知的数据可求得结果
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
设 ， 分别为 的中点，
因为 ，所以 ，
所以 为 的中点，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
故选：D
2．（2021·河南省杞县高中高三阶段练习（理））若点 是 所在平面内一点，且满足
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在平面内取点D，使得 ，进而得到 及 间的关系，进而求得各三角形
面积的比例.
【详解】在平面内取点D，使得 ，则由
.如图所示：设 ，所以 ，由 ，则
，再由 可得 ，所以 .于是
.
故选：A.
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为
“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形 .其中黑色阴
影区域在 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（ ）
A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 ；
B．当 时，直线 与白色部分有公共点；
C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点 ，则 的最大值为 ；
D．若点 ， 为圆 过点 的直径，线段 是圆 所有过点 的弦中最短的弦，则 的值为 .
【答案】ACD
【分析】根据几何概型的概率公式可判断A的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断B的正
误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断C的正误；求出点 、 、 、 的坐标，利用平面
向量数量积的坐标运算可判断D的正误.
【详解】对于A，设黑色部分区域的面积为 ，整个圆的面积为 ，由对称性可知， ，
所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为 ，故A正确；
对于B，当 时，直线的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
下方白色小圆的方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，如下图所示：
由图可知，直线 与与白色部分无公共点，故B错误；
对于C，黑色阴影部分小圆的方程为 ，设 ，如下图所示：当直线 与圆 相切时， 取得最大值，
且圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，可得 ，解得 ，
由图可知， ，故 ，故C正确；
对于D，由于 是圆 中过点 的直径，则 、 为圆 与 轴的两个交点，可
设 、 ，
当 轴时， 取最小值，则直线 的方程为 ，可设点 、 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
4．（2021·河北·石家庄一中高三阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平
面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中 ，则下列结论正确的有（ ）A．
B．
C．
D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得
出答案.
【详解】解：图2中的正八边形 ，其中 ，
对于A ，故A正确；
对于B ，故B正确；
对于C：因为 ， ， ， ，则
，
，所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以向量 在向量 上的投影向量即为 在 向量上的投影向量，故D正确．
故选：ABD．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 和四边形 为正方形 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】如图建立平面直角坐标系，用坐标表示出点和向量，求出两个正方形的边长，再利用向量的坐标
计算即可
【详解】如图建立平面直角坐标系，
因为 ，所以 ，
设 （ ），则 ，
因为 ，所以 ，
对于A， ，所以A正确，
对于B， ，所以B错误，对于C， ，所以C正确，
对于D， ，所以D正确，
故选：ACD
6．（2022·山东·高三开学考试）在△ 中，内角 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 ，且 ，则△ 为等边三角形
【答案】ACD
【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令 可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角
和的性质有 ，由正弦定理即可证；D若 ， ，
根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ 的形状.
【详解】A：由 ，根据等比的性质有 ，正确；
B：当 时，有 ，错误；
C： ，而 ，即 ，由正弦定理易得
，正确；
D：如下图， 是单位向量，则 ，即 、
，则 且 平分 ， 的夹角为 ， 易知△ 为等边三角形，正确.故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何
意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
三、填空题
7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知单位向量 ，向量 满足方程 ，且
，则 的最小值为___________.
【答案】2
【分析】首先需要将向量用坐标表示，通过题中的已知条件，可以得出向量 的运动轨迹，根据已知条
件 可以推断出 三点共线，作出图像，结合图像进行求解.
【详解】设 ，
因为向量 满足方程 ，
∴ ，∴ ，
整理得 ，同理可得， .
故 得运动轨迹为 ，
如图所示： ， .又 ，故 三点共线，
据图可以看出，当且仅当 时， ， 的值最小为 .
故答案为：2.
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量 （互不相等）， 与 的夹角为 ， ，
，若 ，则 __________．
【答案】5
【分析】构图，设 ，根据题设条件 可以判定 三点共线，
又 ，所以 ，则点 ， 在以 为直径的圆E上，运
用数量积的几何意义即可求解
【详解】
如图，设 ，则 ，由 得， 共线，即 三点共线；
且 ，
即 ；
又 ，
得 ，
即点 ， 在以 为直径的圆E上．
所以 ，所以 ，从而 ，
不妨设 ，则 ，
过E作 于H，所以 ，
所以 ，
，∴ ．
故答案为： ．
9．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知平面向量 满足 ，若 ，
且 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据题意作出图形，设 ， ， ， ， ， ，则
，再根据题意得点 是直线 与 的角平分线的交点，得到，进而得到 ，求解计算即可.
【详解】如下图所示，设 ， ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
因此点 在直线 上，又由于 ，因此 是 的角平分线，
因此点 是直线 与 的角平分线的交点.根据角平分线的性质可 .
过点 作 的平行线交 于点 ，则 .
因此点 在以 为圆心，半径为2的圆上运动由于 ，由此当直线
相切于 时，
有最大值， 有最小值.设此时切点为 ，则 ， ，
故 .综合上述， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】与平面向量有关的最值问题，常见处理方法有两种：
第一种：利用坐标进行转化；
第二种：利用点的几何意义转化成轨迹问题求解.10．（2022·湖南·长郡中学一模）在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD
于E，F两点，点P是 上一点，则 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，设出各个点以及点 的坐标，根据向量的坐标表示，再利用三角函数求值域的
方法得出 的取值范围.
【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知 ， ， ， ．
设点 ，
．
又 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 ，故答案为： ．
11．（2022·四川达州·二模（理））如图，在梯形 中， ， ， ， ，
，则 ___________.
【答案】
【分析】作 ， ，在 和 中，利用勾股定理可构造方程求得 和 的长；
以 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可计算得到结果.
【详解】作 ， ，垂足分别为 ，
设 ， ，则 ，
在 和 中，由勾股定理得： ，解得： ；
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， .故答案为： .
12．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））在 中， ，若O为 外接圆的圆心，
则 的值为__________．
【答案】10
【分析】作出边 垂线，利用向量的运算将 用 表示，得有向量的数量积的几何意义将向
量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案
【详解】过 作 ，垂足分别为 ，
因为O为 外接圆的圆心，
所以 分别为 的中点，
所以
,
故答案为：10
13．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知平面向量 满足 ，若
，则 的取值范围为_________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，可知C在以 为圆心，1为半径的圆上，D在以 为圆心3为半径的圆内（含边界），利用向量的模长公式及三角不等式，数形结合可求解.
【详解】 ，
如图建立平面直角坐标系，且 ，
设 ，则 ， ，
即 ,知C在以 为圆心，1为半径的圆上，
设 ，则 ，
即 ,知D在以 为圆心3为半径的圆内（含边界）
作出图像，如图所示：
当点 取 时，点 取 时， 与 是相反向量，此时 ；
当且仅当 与 同向时等号成立，
又 ，即
由图像可知 与 可以同向，此时
∴ 的取值范围为
故答案为：【点睛】方法点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，
运算法则是：平行四边形法则和三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最
值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，分 和 两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：由向量 ， ，
得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
综上 的最大值为1.
故选：D.
2．（2020·全国·高三专题练习（文））正项等比数列 ， ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【分析】先判断是否是充分条件，可令 ，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是
否是必要条件，不妨假设 最大，则 最小，且 ，设 公比为 再得到
，对 分 ， ， 讨论，可证得 ，从而
得到 ，得到答案.
【详解】解：设正项等比数列 的公比为 ，因为 ，
当 时，令 ，不等式成立，但是 不成立；
故“ ”是“ ”的不充分条件；
当 时，显然 互不相等，设 公比为
等价于 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
不妨假设 最大，所以 最小，所以 ，
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ；
当 时， ， ，∴ ；
综上知，当 时，有 ，
故“ ”是“ ”的必要条件.
即“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的
分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.3．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 中， ， ， ，点
在四边形 上运动，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意分析可知四线性 关于直线 对称，且 ，只需考虑点 在边 上的运
动情况即可，然后分类讨论求出 的最小值.
【详解】
如图所示，因为 ，且 ，所以 垂直且平分 ，则△ 为等腰三角形，又
，所以△ 为等边三角形.
则四边形 关于直线 对称，故点 在四边形 上运动时，只需考虑点 在边 上的运动
情况即可，
因为 ，易知 ，即 ，则 ，
①当点 在边 上运动时，设 ，则 ，
∴ ，当 时， 的最小值为 ；
②当点 在边 上运动时，设 ，则 ，
∴ ，当 时， 的最小值为 ；
综上， 的最小值为 ；
故选：C .
【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，
难度稍大.
4．（2022·全国·高三专题练习）在直角梯形 中， ， ， ， ， ，为线段 （含端点）上的一个动点.设 ， ，对于函数 ，下列描述正确的
是（ ）
A． 的最大值和 无关 B． 的最小值和 无关
C． 的值域和 无关 D． 在其定义域上的单调性和 无关
【答案】A
【解析】建立合适的直角坐标,根据向量的坐标表示和平面向量数量积的坐标表示建立 的函数关系式,利
用二次函数的性质，分 和 两种情况通过判断单调性求 时函数 最值即可
【详解】
建立直角坐标系如图所示:
由题意知, ，
因为 , ,所以 ,
设点 则 ,解得 ,即点 为 ,
所以 , ,
由平面向量数量积的坐标表示可得,
, ，
即 ,所以此函数的对称轴为 ,因为 ,
当 时, ,所以函数 在区间 上单调递减,
所以当 时,函数 有最小值为 ,当 时,函数 有最大值为 ;
当 时, ,由二次函数的单调性知,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
所以当 时,函数 有最小值为 ,
因为 ,所以函数 的最大值为 ;
综上可知,无论 为何值,函数 的最大值均为 .
故选:A
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算性质、二次函数的单调性和最值；考查分类讨论思想、逻辑推理
能力和运算求解能力;属于综合型、难度较大型试题.
二、解答题
5．（2021·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 为等腰直角三角形的充要条件.
【答案】 或 ，或 ，或 ，或 .
【分析】通过讨论直角顶点即得.
【详解】①当 ， 时， 为等腰直角三角形，
此时 且 ，
解得 .②当 ， 时， 为等腰直角三角形，
此时， 且 ，
，
，
解得 ，或 .
③当 ， 时， 为等腰直角三角形.
此时 且 ，
，
，
解得 ，或 .
综上所述， 为等腰直角三角形的充要条件是 或 ，或 ，或 ，或 .
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·广西·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系 中， 是直线 与曲线
在第一象限的交点， 是直线 上的一点，且满足 . 为曲线 上动点，当
取最小值时， 的横坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，
所以 ，设 ， ，
得到 ，再根据题意判断临界状态求解即可.
【详解】
设 ，则 .
又 ，设 ， ，
则 在直线 上.又 ，故当直线 与曲线 相切时， 最小.
此时 ，解得 .
故选：B.
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知 为单位向量，向量 满足：
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可设 ， ，根据 ，可得 的关系式，并得出 的范围，
，将 用 表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】解：可设 ， ，
则 ，即 ，则 ， ，
，
当 时， 取得最大值为6，
即 的最大值为6.
故选：C
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）点 在△ 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过△ 的垂心；
B．若 ，则点 为△ 的内心；
C．若 ，则点 为△ 的外心；
D．若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过△ 的重心.
【答案】BC
【分析】A由正弦定理知 ，且 ，代入已知等式得 ，
即知 的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设 为△ 的内心、外心，利用向量的几何图形中的关
系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由 ，根据数量积的运算律及向量数
量积的几何意义求 的值，即知 的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】A：由正弦定理知 ，而 ，所以 ，即动点
的轨迹一定经过△ 的重心，故错误.B：若 为△ 的内心，如下图示： ，同理 ， ，
，
∴ ， ，
故正确；
C：若 为△ 的外心， 分别为 的中点，则 ，而 ，同理
，又 ，故 ，正确；D：由 ，故 ，即 ，动点
的轨迹一定经过△ 的垂心，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，
或假设 为△ 的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量
积的运算律，判断条件是否成立.
4．（2020·河北武强中学高三阶段练习）在 中， ， ，若 是直角三角形，
则k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意，若 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，
根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】若 为直角，则 即
解得
若 为直角，则 即
解得若 为直角，则 ，即
解得
综合可得， 的值可能为
故选：
【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
三、填空题
5．（2022·全国·高三专题练习）若向量 ， ， ，且 ，则
的最小值为_________．
【答案】
【分析】应用向量的坐标运算及垂直的坐标表示可得 ，再由向量模的坐标表示可得
，将问题转化为求定点 到直线 的距离即可.
【详解】由题设， ， ，又 ，
∴ ，则 ，
又 ，则 ，
∴要求 的最小值，即求定点 到直线 的距离，
∴ .
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集 ，当 ， 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的最小值为______.
【答案】 .
【分析】由 ，可得 ， ， 共线，再由向量的数量积的几何意义可得 为
的平分线，由角平分线的性质定理可得 ，可得 的轨迹为圆，求得圆的直径与 的
关系，即可得到所求最值．
【详解】解：由 ，
可得 ， ， 共线，
由 ，
可得 ，
即有 ，
则 为 的平分线，
由角平分线的性质定理可得 ，
即 的轨迹为圆心在 上的圆，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
可得 ，
由函数 在 上递增，可得 ，
即有 ，
即 ，由题意可得 ，故 的最小值为 ．
故答案为： ．
四、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）求函数 的最小值，以及y取最小值时的x的值.设
想，把原函数改为 ，能够形成怎样的问题？如何求解？
【分析】设向量 ， ，对函数进行变形，然后通过构造向量的模求解，即变形后构造为
向量模的和 ，从而根据向量模的性质求最值.
【详解】 可化为 .
设向量 ， ，
当且仅当 与 共线且同向时等号成立.
∴ ，解得 .
∴函数的最小值是 ，此时 .
把原函数改为 后，可求此函数的最大值.
，设 ， .则 .
当且仅当 与 共线且同向时等号成立，即 ，即 ，
所以函数的最大值为 ，此时 .
8．（2021·全国·高三专题练习）已知O是 内一点，且 ，求 与 的面积
的比值.
【答案】 .
【分析】联想三角形重心的向量线性关系，通过构造新的正三角形，利用特殊化法求解.
【详解】如图所示，若 ，
不妨设 是正三角形，O是 的重心，
不妨设 ，则 ，则 .
9．（2021·全国·高三专题练习）求函数 的最小值.
【答案】
【分析】根据解析式转化成向量的模的问题，进而可求解.
【详解】所给函数为根式的和，通过对根号内的二次三项式配方，使之转化为向量的模，即原函数可化为
，设 ， .， ，当且仅当 时，等号成立，
.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知
，记 ，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
【答案】A
【分析】设 ，以 为原点，以 、与 所在直线垂直的直线分别为 轴、 轴建立平面直角
坐标系，把 转化为关于 的表达式，可解决此题．
【详解】：设 ，如图：
以 为原点，以 、与 所在直线垂直的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，则 ，
， ， ，
， ，．
①若 ，取 ， ，则 ，
， ， ， ，
, ，此时 ， 、 两点重合，所以 正确；
取 ， ，则 ，
当 时取最小值，此时 、 两点重合，所以 点不唯一，故B错误；
②若 ，取 ，则
，
当 时， ，故C错误；
取 ， 时，则 ，
当 时，取最小值， 点不唯一，故D错误.
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参
数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是
常常需要用到的思想方法.
2．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量 ， 满足 ＝0， ，若 与 的夹角为 ，则m的值为（ ）
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意有向量 ， 的关系 ，而 与 的夹角为 ，由向量的数量积公式有
，化简并将 代入解方程可得m的值
【详解】∵ ＝0，即 ⊥
∴
∵
∴ ，即
故 ，又 与 的夹角为
∴ ，即
解得：m＝2或m＝－2(舍去)
故选：A
【点睛】本题考查了向量的数量积及其应用，利用向量的数量积列方程求参数
3．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知平面向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C【分析】由已知条件 ，有数量积的坐标公式可得 ，进而求得
【详解】
．
又
，即
故选：C
【点睛】本题考查了向量的数量积坐标公式，利用向量的垂直关系，并应用同角三角函数关系，求正切值
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形 中， 分别为线段 的中点，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得 、 、
、 ，即可判断选项的正误
【详解】 ，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示由其性质有
∴ ，即C错误
同理
，即
∴ ，即D错误
故选：AB
【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为
1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
三、填空题
5．（2021·河南·一模（文））已知单位向量 ， 的夹角是 ，向量 ，若 ，则实数
________.
【答案】
【分析】根据题设知 ，又单位向量 ， 的夹角是 ，即可得方程求 值
【详解】由向量 ， ，知：
∴ ，而单位向量 ， 的夹角是
∴ ，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了利用向量垂直及向量数量积公式求参数值，注意单位向量的模为1，属于简单题
