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期中难点特训（一）全等三角形与等腰（边）相结合的压轴题
1．如图，点 是等边 内一点， ， ．以 为一边作等边三角形
，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)当 是等腰三角形时，求 的度数．
2．在 中， ，点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合），以 为一边在
的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 在线段 上，且 时，那么 ______度．
（2）设 ， ．
①如图2，当点 在线段 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的
结论；
②如图3，当点 在线段 的延长线上， 时，请直接写出此时 与 之间的量关系
（不需证明）．
3．如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P
从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，
Q运动的过程中．(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；
(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？
4．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段
AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，
将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短
5．等边△ABC在平面直角坐标系中如图1所示，点B，C在x轴上，点A在y轴正半轴上．
（1）如图1，若P为AB的中点，连接PC交y轴于点D，问线段AD与PD有何数量关系，并说明
理由；
（2）将图1中的△ADC绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180°），点A的对应点为点E，P为EB的中
点．
①若将△ADC旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，
请说明理由．
②若点C坐标为（2，0），请求出在将△ADC旋转过程中，DP取最小值时点E的坐标．6．如图①，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（m，2），B（0，n），其中m、n满足n＝
+4．
（1）试判断△OAB的形状，并说明理由；
（2）若点D为线段OB上一动点．
①如图②，以AD为边向右作等腰Rt ADG，且DA＝DG，设点G的坐标为（x，y），试用关于x
的代数式表示y； △
②如图③，过B点作BF⊥AD于E，交OA于F，且∠AFB＝45°+∠FAE，试问代数式 的
值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，点 A 在 x轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，∠ ABC= 90°
， BC=AB ．（1）如图 1， A （﹣5，0）， B （0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出 C 的坐标；
（2）如图 1， B （0，﹣2）， BF⊥y 轴，D在y轴上， BD = AO，连接CD 并延长交BF
于点 E ，请求出 BE 的长度；
（3）如图2，A （﹣n， 0），H在AC 延长线上，过H （m，n ）作HG ⊥ x 轴于G，探究线
段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知 、 分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足 ，以B为直角顶点， 为直角边在第一象限内作等
腰直角 ，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若 ，点D是 的延长线上一点，以D为直角顶点， 为直角边在第一象限
作等腰直角 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，设 ， 的平分线过点 ，直接写出 的值．
9．平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值；
（3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，
且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值．
10．如图，在等边 中， 是直线 上一点， 是边 上一动点，以 为边作等边
，连接 ．（提示：含 的直角三角形三边之比为 ）
（1）如图1，若点 在边 上，求证： ；
（2）如图2，若点 在 的延长线上，请探究线段 ， 与 之间存在怎样的数量关系？
并说明理由；
（3）图2中，若 ，点 从 运动到 停止，求出此过程中点 运动的路径长．
11．如图，点 ， ，且a、b满足 ．
（1）如图1，求 的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动， ，且 ，猜想线段
AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋
转 至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段
长为定值，并求出该定值．
12．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段
AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝
∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段BC上，以AD为边作
等腰直角三角形DAE，AD＝AE，∠DAE＝90°，过点E作EF⊥AC．
（1）求证：△AEF≌△DAC；
（2）如图2，连接BE，BE交AC点G，若BD＝2CD，求 的值；
（3）如图3，过点D作DP⊥AD交AB于点P，过点E作AE的垂线交AC的延长线于点H．连接
PH，当点D在线段BC上运动时（不与点B，C重合），式子 的值是否发生变化？若不
变，求出该值；若变化，请说明理由．
