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期末真题必刷常考 60 题（30 个考点专练）
一．正数和负数（共2小题）
1．（2022秋•市中区期末）如图，一只甲虫在 5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格
线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向
下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1，4}，从B到A记为：B→A{﹣1，﹣4}，
其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C{ 3 ， 4 }，C→B{ ﹣ 2 ， 0 }；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程．
（3）若图中另有两个格点 M、N，且M→A{1﹣a，b﹣3}，M→N{6﹣a，b﹣2}，则
A→N应记为什么？直接写出你的答案．
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可；
（2）分别根据各点的坐标计算总长即可；
（3）将M→A，M→N对应的横纵坐标相减即可得出答案．
【解答】解：（1）图中A→C{ 3，4}，C→B{﹣2，0}
故答案为：3，4；﹣2，0．
（2）由已知可得：A→B表示为{1，4}，B→C记为{2，0}，C→D记为{1，﹣2}，
则该甲虫走过的路程为：1+4+2+1+2＝10．
（3）由M→A{1﹣a，b﹣3}，M→N{6﹣a，b﹣2}，
可知：6﹣a﹣（1﹣a）＝5，b﹣2﹣（b﹣3）＝1，
∴点A向右走5个格点，向上走1个格点到点N，
∴A→N应记为{5，1}．
【点评】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是
解题的关键．
2．（2022秋•黄埔区校级期末）“十一”黄金周期间，某风景区在8天假期中每天旅游的
人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
人数变化 1.2 ﹣0.2 0.8 ﹣0.4 0.6 0.2 ■ ﹣1.2
（单位：
万人）
（1）10月1日至5日这五天中每天到该风景区游客人数最多的是10月 5 日；
（2）若9月30日的游客人数为2万人，求10月1日至6日这六天的游客总人数是多少？
（3）若9月30日的游客人数为2万人，10月8日到该风景区的游客人数与9月30日的
游客人数持平，那么表中“■”表示的数应该是多少？
【分析】（1）根据9月30日的游客人数为2万人，分别求出10月1日至10月5日这
五天内每天的游客人数，比较后即可得出结论；
（2）将10月1日至5日这五天中游客人数相加即可得出结论；
（3）根据10月8日到该风景区游客人数与9月30日的游客一样多，10月6号的人数以
及8号的游客人数比前一天减少了1.2万人即可得出结论．
【解答】解：（1）设9月30日人数为万人，
1日：x+1.2（万人）；2日：x+1.2﹣0.2＝x+1（万人）；3日：x+1+0.8＝x+1.8（万人）；
4日：x+1.8＝x+1.4（万人）；5日：x+1.4+0.6＝x+2（万人）．
∵x+2＞x+1.8＞x+1.4＞x+1.2＞x+1，
∴人数最多的是10月5日．
故答案为：5；
（2）10月6日：4+0.2＝4.2（万人），
3.2+3+3.8+3.4+4+4.2＝21.6（万人），
答：10月1日至6日这五天的游客总人数是21.6万人；
（3）∵9月30号的游客人数为2万人，
∴10月8号的游客人数也为2万人，
而10月8号的游客人数比前一天减少了1.2万人，
∴10月7号的游客人数为3.2万人，
又∵到10月6号的游客人数为2+1.2﹣0.2+0.8﹣0.4+0.6+0.2＝4.2万人，
∴上表中“■”表示的数应是﹣1．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么
是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一
个就用负表示．
二．数轴（共3小题）3．（2022秋•广州期末）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC
＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣a+2 B．﹣a﹣2 C．a+2 D．a﹣2
【分析】先根据图形得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果．
【解答】解：∵AC＝2，点C所表示的数为a，
∴A点表示的数为：a﹣2，
∵OA＝OB，
∴点B所表示的数为：2﹣a，
故答案为：A．
【点评】本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键．
4．（2023春•杨浦区期末）在数轴上，如果点A所表示的数是﹣1，那么到点A距离等于4
个单位的点所表示的数是 ﹣ 5 和 3 ．
【分析】画出数轴，确定出表示A的点，即可确定出到点A距离等于4个单位的点所表
示的数．
【解答】解：在数轴上，如果点A所表示的数是﹣1，那么到点A距离等于4个单位的
点所表示的数是﹣5和3，
故答案为：﹣5和3
【点评】此题考查了数轴，画出相应的数轴是解本题的关键．
5．（2022秋•清苑区期末）有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，若b﹣a＝3，且|a|＝
2|b|，则a的值是 ﹣ 2 或﹣ 6 ．
【分析】根据|a|＝2|b|得到a＝±2b，再分别把b＝3+a代入求值即可．
【解答】解：∵b﹣a＝3，
∴b＝3+a，
∵|a|＝2|b|，
∴a＝±2b，
当a＝2b时，a＝2（3+a），解得：a＝﹣6；
当a＝﹣2b时，a＝﹣2（3+a），
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2或﹣6．
【点评】本题考查数轴和绝对值，关键是绝对值意义的应用．
三．绝对值（共2小题）
6．（2022秋•桐柏县校级期末）如果 ，那么|1﹣m|﹣|m﹣2|＝ ﹣ 1 ．
【分析】由于 ，得到|m﹣1|＝1﹣m，根据绝对值的意义有1﹣m＞0，即m＜
1，然后去绝对值得到|1﹣m|﹣|m﹣2|＝1﹣m+m﹣2，再合并即可．
【解答】解：∵ ，
∴|m﹣1|＝1﹣m，
∴1﹣m＞0，即m＜1，
∴|1﹣m|﹣|m﹣2|＝1﹣m+m﹣2＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝
﹣a．
7．（2022秋•丰泽区校级期末）若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图：
（1）判断下列各式的符号：a+b ＜ 0；c﹣b ＜ 0；c﹣a ＞ 0
（2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a|
【分析】根据数轴比较a、b、c的大小后即可求出答案．
【解答】解：（1）a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0．
故答案为：＜，＜，＞；
（2）|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a|
＝﹣（a+b）+（c﹣b）﹣（c﹣a）
＝﹣a﹣b+c﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【点评】本题考查数轴，涉及绝对值的性质，整式加减，数的大小比较等知识．掌握绝
对值的意义，整式加减法的运算法则，有理数大小的比较是解题的关键．四．有理数大小比较（共1小题）
8．（2022秋•邹城市校级期末）比较大小：﹣ ＜ ﹣（﹣ ）．
【分析】先化简，再根据正数都大于负数比较即可．
【解答】解：∵﹣|﹣ |＝﹣ ，﹣（﹣ ）＝ ，
∴﹣ ＜ ，
即﹣|﹣ |＜﹣（﹣ ），
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数的大小比较和符合的化简的应用，主要考查学生的计算能力
和比较能力．
五．有理数的加减混合运算（共1小题）
9．（2022秋•昌图县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确
的是（ ）
A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5
【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉
括号，括号内加号变减号，减号变加号．
【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5．
故答案为：A．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便
可解决问题．
六．有理数的乘法（共1小题）
10．（2022秋•黔西南州期末）绝对值小于3的所有整数的积是 0 ．
【分析】根据绝对值的性质和任何数乘以0都等于0解答．
【解答】解：由题意得，（﹣2）×（﹣1）×0×1×2＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，含有因数0是解题的关键．
七．有理数的乘方（共1小题）
11．（2022秋•金华期末）下列对于式子（﹣3）2的说法，错误的是（ ）
A．指数是2 B．底数是﹣3
C．幂为﹣9 D．表示2个﹣3相乘【分析】根据有理数乘方的定义判断．
【解答】解：（﹣3）2，指数为2，底数为﹣3，表示2个﹣3相乘，幂为9，
∴C选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．
八．有理数的混合运算（共2小题）
12．（2022秋•滕州市校级期末）如图所示的程序图，当输入﹣1时，输出的结果是 7
．
【分析】利用程序图中的程序图操作运算即可．
【解答】解：当输入﹣1时，
[（﹣1）+4]×（﹣2）+（﹣3）＝3×（﹣2）+（﹣3）＝﹣6+（﹣3）＝﹣9＜3
重新输入﹣9时，
[（﹣9）+4]×（﹣2）+（﹣3）＝（﹣5）×（﹣2）+（﹣3）＝10+（﹣3）＝7＞3，
∴输出的结果是7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是操作型题目，利用程序图中的程序
图操作运算是解题的关键．
13．（2023秋•萧县期中） ．
【分析】根据乘方的意义，﹣14表示四个1积的相反数，（﹣3）2表示两个﹣3的乘积
对乘法计算后，利用减法法则算出3﹣9的差，与括号外边的系数约分后，与第一项的
结果相加，根据互为相反数的两数和为0，可得出最后结果．
【解答】解：原式＝﹣1﹣ ×（3﹣9）
＝﹣1﹣ ×（﹣6）
＝﹣1+1
＝0．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行，然后利用
各种运算法则进行计算．有时可利用运算律来简化运算，同时注意﹣14与（﹣1）4的区
别，前者表示1四次幂的相反数，后者表示四个﹣1的积．
九．列代数式（共6小题）
14．（2022秋•岳阳期末）菜场上西红柿每千克a元，白菜每千克b元，学校食堂买20kg
西红柿，30kg白菜共需 （ 2 0 a +3 0 b ） 元．
【分析】根据题意可知：西红柿每千克a元，则20kg西红柿需要20a元，白菜每千克b
元，则30kg白菜需要30b元，两者相加就是总共花费的钱．
【解答】解：根据题意可知：20kg西红柿需要20a元，30kg白菜需要50b元，
则学校食堂买20kg西红柿，30kg白菜共需（20a+30b）元．
故答案为：（20a+30b）．
【点评】本题考查了代列数式，解决问题的关键是读懂题意，列出代数式．
15．（2022秋•阳曲县期末）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第 1个这样的“小屋
子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋
子”需要 （ 6 n ﹣ 1 ） 枚棋子．
【分析】通过观察已知图形可以将“小屋子”分为屋顶和屋身两部分，屋顶的点的个数
分别是1、3、5、7、…，即第n个小屋子的屋顶点的个数是2n﹣1；屋身的点的个数分
别是4、8、12、…、即第n个图形的屋身是4n个；所以第n个小屋子共有6n﹣1，即可
求出答案．
【解答】解：摆第1个“小屋子”需要1+4×1＝5枚棋子，
摆第2个“小屋子”需要3+4×2＝11枚棋子，
摆第3个“小屋子”需5+4×3＝17枚棋子，
按这种方式摆下去，摆第n个这样的“小屋子”需要2n﹣1+4n＝6n﹣1枚棋子．
故答案为：6n﹣1．
【点评】本题考查了列代数式——图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其
中的规律．注意由特殊到一般的分析方法．16．（2022秋•惠安县期末）x表示一个两位数，y表示一个三位数，把x放在y的左边组
成一个五位数，则这个五位数表示为 100 0 x + y ．
【分析】根据各个数位所表示的意义，x表示一个两位数，y表示一个三位数，把x放在
y的左边组成一个五位数，则x扩大了1000倍，y不变，以此即可列出代数式．
【解答】解：根据题意可知，
x扩大了1000倍，y不变，
则这个五位数表示为1000x+y．
故答案为：1000x+y．
【点评】本题主要考查列代数式，熟练掌握五位数的表示方法是解题关键．
17．（2022秋•方城县期末）如图，有一种塑料杯子的高度是 10cm，两个以及三个这种杯
子叠放时高度如图所示，第n个这种杯子叠放在一起的高度是 （ 3 n +7 ） cm（用含
n的式子表示）．
【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加 3cm，从而可以得到n个
杯子叠在一起的高度．
【解答】解：由图可得，
每增加一个杯子，高度增加3cm，
则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+3（n﹣1）＝（3n+7）cm，
故答案为：（3n+7）．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
18．（2022 秋•东城区期末）如图（图中长度单位：m），阴影部分的面积是
（ 3 x 2 + 9 x + 6 ） m2．
【分析】阴影部分的面积可看作是最大的长方形的面积﹣空白部分长方形的面积，据此求解即可．
【解答】解：由题意得：
S阴影部分 ＝（2+3x）（x+3）﹣2x
＝2x+6+3x2+9x﹣2x
＝（3x2+9x+6）（m2）．
故答案为：（3x2+9x+6）．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
19．（2022秋•连山区期末）国庆前夕，我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，同
学们倍受鼓舞，开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中
间是长方形，上面是三角形．
（1）用a、b的代数式表示该截面的面积S；
（2）当a＝2.2cm，b＝2.8cm时，求这个截面的面积．
【分析】（1）将图形截面分解为三部分，三角形、矩形、梯形分别求出即可；
（2）利用a＝2.2cm，b＝2.8cm，代入（1）中求出即可．
【解答】解：（1）截面面积：
S＝ ab+2a•a+ （a+2a）b，
＝2ab+2a2，
（2）当a＝2.2cm．b＝2.8cm时，
S＝2a（a+b）＝2×2.2×（2.2+2.8），
＝22（cm2），
答：这个截面的面积为22cm2．【点评】此题主要考查了列代数式以及代数式求值，根据已知将图形截面分割为三部分
是解题关键．
一十．代数式求值（共2小题）
20．（2022秋•泰山区期末）按图中程序运算，如果输入﹣1，则输出的结果是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】把x＝﹣1代入程序中计算，判断结果大于2，输出即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入得：﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝﹣1+4+3﹣5＝1＜2，
把x＝1代入得：1+4﹣（﹣3）﹣5＝1+4+3﹣5＝3＞2，
则输出的结果是3，
故选：B．
【点评】此题考查了代数式求值和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
21．（2022秋•肃州区期末）|x﹣1|+|y+3|＝0，则x+y＝ ﹣ 2 ．
【分析】根据绝对值的非负性可求解x，y值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵|x﹣1|+|y+3|＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
解得x＝1，y＝﹣3，
∴x+y＝1﹣3＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题主要考查绝对值的非负性，代数式求值，根据绝对值的非负性可求解 x，y
值是解题的关键．
一十一．同类项（共2小题）
22．（2022秋•南昌期末）若am﹣2bn+7与﹣3a4b4是同类项，则m﹣n的值为 9 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出 n，m的值，
再代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得： ，解得： ，
则m﹣n＝6+3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，
是易混点，因此成了中考的常考点．
23．（2022秋•东洲区期末）若﹣x6y2m与xn+2y4是同类项，那么n+m的值为 6 ．
【分析】直接利用同类项的定义分析得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵﹣x6y2m与xn+2y4是同类项，
∴n+2＝6，2m＝4，
解得：m＝2，n＝4，
∴m+n＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项
叫同类项，正确得出m，n的值是解题关键．
一十二．合并同类项（共2小题）
24．（2022秋•海港区校级期末）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a+a2＝a3
C．3a+2b＝5ab D．7ab﹣6ba＝ab
【分析】利用合并同类项的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、a与a2不能合并，故B不符合题意；
C、3a与2b不能合并，故C不符合题意；
D、7ab﹣6ba＝ab，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
25．（2022秋•凤凰县期末）下列计算正确的是（ ）
A．7x+x＝7x2 B．5y﹣3y＝2
C．4x+3y＝7xy D．3x2y﹣2x2y＝x2y
【分析】根据合并同类项法则判断即可．
【解答】解：A．7x+x＝8x，故本选项不合题意；
B．5y﹣3y＝2y，故本选项不合题意；C．4x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．3x2y﹣2x2y＝x2y，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
一十三．去括号与添括号（共1小题）
26．（2022秋•温州期末）﹣（a﹣b）去括号得（ ）
A．a﹣b B．﹣a﹣b C．﹣a+b D．a+b
【分析】根据去括号的法则解答即可．
【解答】解：﹣（a﹣b）＝﹣a+b．
故选：C．
【点评】本题考查了去括号．解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，运用乘法的
分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括
号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
一十四．整式的加减（共3小题）
27．（2022秋•甘肃期末）教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则 A和B分
别代表的是（ ）
A．整式，合并同类项 B．单项式，合并同类项
C．系数，次数 D．多项式，合并同类项
【分析】根据整式的定义，整式的加减，可得答案．
【解答】解：单项式和多项式统称作整式，整式的加减就是去括号，合并同类项，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的相关概念，解题的关键是掌握单项式和多项式统称作整式，
整式的加减就是去括号，合并同类项．
28．（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上
2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2+a﹣4 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：设原多项式为A，则A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，
故A＝a2+a﹣4﹣（2a2+3a﹣5）
＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5
＝﹣a2﹣2a+1，
则﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）
＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5
＝﹣3a2﹣5a+6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
29．（2022秋•新抚区期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+b＝3ab B．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a4
C．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b D．﹣2（x﹣4）＝﹣2x﹣8
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝﹣5a2，不符合题意；
C、原式＝﹣a2b，符合题意；
D、原式＝﹣2x+8，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一十五．整式的加减—化简求值（共2小题）
30．（2022 秋•邻水县期末）先化简，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+
（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．
【分析】去括号，合并同类项，将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣2xy+3x2﹣4xy+x2+5xy
＝5x2﹣xy﹣y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝5×（﹣1）2﹣（﹣1）×2﹣22
＝5+2﹣4
＝3．
【点评】本题主要考查了整式的加减与求值，正确利用去括号的法则运算是解题的关键．
31．（2022秋•南昌期末）如果关于x、y的代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，试化简代数式 ，再求值．
【分析】对关于x、y的代数式去括号，合并同类项，化简后根据其值与字母x所取的值
无关列式求出a，b的值，然后对所求代数式去括号，合并同类项，化简后把a、b的值
代入计算即可．
【解答】解：（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，
∵代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，
∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得：b＝1，a＝﹣3，
＝
＝ ；
当b＝1，a＝﹣3时，原式＝ ．
【点评】此题主要考查了整式的加减﹣﹣化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项
法则是解题的关键．
一十六．等式的性质（共4小题）
32．（2022秋•开福区期末）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b
B．若 ，则a＝b
C．若a＝b，则
D．若ac＝bc，则a＝b
【分析】根据等式的基本性质判断即可．
【解答】解：A选项，等式两边都加3，故该选项不符合题意；
B选项，∵c≠0，
∴等式两边都乘c，故该选项不符合题意；C选项，∵c2+1＞0，
∴等式两边都除以（c2+1），故该选项不符合题意；
D选项，题中没有说c≠0，等式两边不能都除以c，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：等式两边加
（或减去）同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零
的数，结果仍得等式．
33．（2022秋•嘉陵区校级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（
）
A．若a＝b，则 ＝
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
【分析】根据等式的性质2对A选项、B选项和C选项进行判断；根据等式的性质1对
D选项进行判断．
【解答】解：A．若a＝b，c≠0，则 ＝ ，所以A选项符合题意；
B．若a＝b，则ac＝bc，所以B选项不符合题意；
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b，所以C选项不符合题意；
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3，所以D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等
式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
34．（2022秋•榕城区期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若 ，则a＝b
B．若 ，则3x+4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝c
D．若4x＝a，则x＝4a【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可．
【解答】解：A．若 ，而c≠0，两边都乘以c可得a＝b，因此选项A符合题意；
B．若 ，两边都乘以12可得3x+4x＝12，因此选项B不符合题意；
C．当b＝0时，就不成立，因此选项C不符合题意；
D．若4x＝a，则x＝ ，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是正确解答的前提．
35．（2022秋•定陶区期末）下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b
B．由ac＝bc，得到a＝b
C．由 ，得到a＝b
D．由a＝b，得到
【分析】根据等式的性质即可判断．
【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2再加上1，等式仍成立，即1﹣2a＝1
﹣2b，故本选项不符合题意；
B、当c＝0时，ac＝bc＝0，但a不一定等于b，故本选项符合题意；
C、在等式 的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意；
D、在等式a＝b的两边同时除以不为0的式子（c2+1），等式仍成立，即 ，
故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质
1、等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2、等式的
两边都乘同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于 0的数或式子，
等式仍成立．
一十七．一元一次方程的定义（共1小题）36．（2022秋•越秀区校级期末）下列方程中，一元一次方程共有（ ）
① ；② ；③x﹣22＝﹣3；④x＝0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析①②③④，即可得到答案．
【解答】解：①属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，
②符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
③符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
一元一次方程有②③④，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
一十八．一元一次方程的解（共4小题）
37．（2022秋•垫江县期末）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3a＝7a﹣8的解
互为相反数，则a的值为（ ）
A．﹣2.5 B．2.5 C．1 D．﹣1.2
【分析】用含a的代数式表示出两个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得关于 a
的方程，求解即可．
【解答】解：方程3x﹣7＝2x+a的解为x＝7+a，
方程4x+3a＝7a﹣8的解为x＝a﹣2．
因为两个方程的解互为相反数，
所以7+a+a﹣2＝0
解得a＝﹣2.5．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义、一元一次方程的解法．理解题意用含a的代数式表
示出两个方程的解是解决本题的关键．
38．（2022秋•阳春市期末）若x＝1是方程ax+2x＝1的解，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣
【分析】将x＝1代入原方程即可计算出a的值．
【解答】解：将x＝1代入ax+2x＝1得：
a+2＝1，解得a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的相关知识是解题
的关键．
39．（2022秋•孝南区期末）关于x的一元一次方程mx+1＝2的解为x＝﹣1，则m＝ ﹣ 1
．
【分析】将x＝﹣1代入方程mx+1＝2，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出
m的值．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程mx+1＝2的解为x＝﹣1，
∴﹣m+1＝2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数
的值叫做一元一次方程的解．
40．（2023春•衡南县期末）已知x＝﹣1是方程2x+m＝1的解，则m的值为 3 ．
【分析】将x＝﹣1代入方程2x+m＝1，求出m的值即可．
【解答】解：∵x＝﹣1是方程2x+m＝1的解，
∴2×（﹣1）+m＝1，
解得m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系
是解题的关键．
一十九．解一元一次方程（共2小题）
41．（2022秋•利川市期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（ ）
A．方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1
B．方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2+2
C．方程 去分母得2x+1﹣1＝3x
D．方程 分母化为整数得
【分析】将各项中的方程变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1，正确，该选项符合题意；B、方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2﹣2，原过程错误，该选项不符合题意；
C、方程 去分母得2x+1﹣3＝3x，原过程错误，该选项不符合题意；
D、方程 分母化为整数得 ，原过程错误，该选
项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．（2022秋•滕州市校级期末）已知代数式6x﹣12与4+2x的值互为相反数，那么x的值
等于 1 ．
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：6x﹣12+4+2x＝0，
移项合并得：8x＝8，
解得：x＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的
关键．
二十．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）
43．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，
如果每人分3个，则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，
下列方程正确的是（ ）
A．3x+20＝4x﹣25 B．3x﹣25＝4x+20
C．4x﹣3x＝25﹣20 D．3x﹣20＝4x+25
【分析】设值班人员有x人，等量关系为口罩的数量是定值，据此列方程．
【解答】解：由题意得3x+20＝4x﹣25．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
44．（2022秋•榆次区校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文
如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问
共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． ＝ D．
【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x人，
由题意，得8x﹣3＝7x+4．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定
相等关系，并据此列出方程．
二十一．一元一次方程的应用（共2小题）
45．（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对
应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度
为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，
当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 1 或
．
【分析】由题意得：点C表示的数是2+4t，点D表示的数是﹣12+6t，根据题意分：O
是CD中点；D是OC中点；C是OD中点；列出方程即可求出答案．
【解答】解：由题意得：点C表示的数是2+4t，点D表示的数是﹣12+6t，
O是CD中点，依题意有：
2+4t﹣12+6t＝2×0，
解得t＝1；
D是OC中点，依题意有：
2+4t+0＝2×（﹣12+6t），
解得t＝ ；
C是OD中点，依题意有：
﹣12+6t+0＝2×（2+4t），
解得t＝﹣8（舍去）．
故t的值为1或 ．故答案为：1或 ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是正确找出题意中的等量
关系，注意分类思想的应用．
46．（2022秋•五常市期末）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻
方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ﹣ 2 ．
【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为﹣6，则﹣
7+a+3＝﹣6，即可得．
【解答】解：∵0+（﹣1）+（﹣5）＝﹣6，
∴﹣7+a+3＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法
则．
二十二．认识立体图形（共1小题）
47．（2022秋•沈河区校级期末）若一个棱柱有12个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则
每条侧棱长为 5 cm．
【分析】根据棱柱的概念和定义，可知12个顶点的棱柱是六棱柱．
【解答】解：根据以上分析一个棱柱有12个顶点，
所以它是六棱柱，即有6条侧棱，
又因为所有侧棱长的和是30cm，
所以每条侧棱长是30÷6＝5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了棱柱的知识，掌握棱柱是几棱柱，它就有几个侧面，并且就有几条
侧棱是关键．
二十三．点、线、面、体（共1小题）
48．（2022秋•陈仓区期末）数学老师可以用粉笔在黑板上画出图形，这个现象说明 点
动成线 ．【分析】根据点动成线即可求解．
【解答】解：数学老师可以用粉笔在黑板上画出图形，这个现象说明点动成线，
故答案为：点动成线．
【点评】本题考查了点与线之间的关系，理解题意是解题的关键．
二十四．展开图折叠成几何体（共1小题）
49．（2022秋•清苑区期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的
正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形．其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，
把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）阿中总共剪开了几条棱？
（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还
原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种
即可）；
（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积．
【分析】（1）根据总共12条棱，其中有4条未剪开，即可得到阿中总共剪开了8条棱．
（2）依据展开图的特征，即可得到4种粘贴方法（答案不唯一）；
（3）设高为xcm，则宽为（4﹣x）cm，长为[7﹣（4﹣x）]＝（3+x）cm，依据等量关系
列方程求解即可得到x的值，进而得出长方体的体积．
【解答】解：（1）总共12条棱，其中有4条未剪开，故阿中总共剪开了8条棱．
（2）答：有4种粘贴方法．
如图，四种情况：（3）设高为xcm，则宽为（4﹣x）cm，长为[7﹣（4﹣x）]＝（3+x）cm，
∴4+（3+x）＝8，
解得：x＝1，
∴体积为：（3+1）×（4﹣1）×1＝12（cm3），
答：这个长方体纸盒的体积为12cm3．
【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征．
二十五．专题：正方体相对两个面上的文字（共2小题）
50．（2022秋•达川区校级期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数
1，2，3，﹣3，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则A＝ ﹣ 2 ．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进判断相对的面，再根据相对面上的两个数相等，
求出A、B所表示的数即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“1”与“B”是相对的面，
“3”与“﹣3”是相对的面，
“2”与“A”是相对的面，
又因为相对面上的两个数互为相反数，所以A＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方
体展开图中“相对的面”是正确解答的关键．
51．（2022秋•新会区期末）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从
三个不同方向看到的情形如图所示．
（1）A的对面是 F ，B的对面是 D ，C的对面是 E ；（直接用字母表
示）
（2）若A＝m+n，B＝|m﹣1|，D＝（3+n）2，且小正方体各对面上的两个数都互为相反
数，请求出F所表示的数．
【分析】（1）观察三个正方体，与A相邻的字母有D、C、B、E，从而确定出A对面
的字母是F，与B相邻的字母有A、E、C、F，从而确定与B对面的字母是D，最后确
定出C的对面是E；
（2）根据B和D表示的数是互为相反数求出m和n的值，然后求出A表示的数，进而
可求出F所表示的数．
【解答】解：（1）由图可知，A相邻的字母有D、C、B、E，
所以A的对面是F，
与B相邻的字母有A、E、C、F，
所以B的对面是D，
所以C的对面是E；
故答案为：F，D，E；
（2）∵B＝|m﹣1|，D＝（3+n）2，B和D表示的数是互为相反数，
∴|m﹣1|+（3+n）2＝0，
∴m＝1，n＝﹣3，
∴A＝m+n＝1﹣3＝﹣2，
∵字母A与字母F表示的数互为相反数，∴F所表示的数2．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面的情况确定出相邻的四个
字母是确定对面上的字母的关键，也考查了相反数的定义，非负数的性质．
二十六．直线、射线、线段（共2小题）
52．（2022秋•罗湖区期末）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（
）
A． B．
C． D．
【分析】依据图形中的直线、射线或线段有无交点，即可得到结论．
【解答】解：A选项中，线段AB与射线CD无交点，不符合题意；
B选项中，直线AB与射线CD有交点，符合题意；
C选项中，射线AB与直线CD无交点，不符合题意；
D选项中，直线AB与线段CD无有交点，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线、射线或线段，掌握直线以及射线的延伸性是解决问题的
关键．
53．（2022秋•兴山县期末）如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：
（1）画线段AB；
（2）画∠CDB；
（3）找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上．
【分析】（1）连接A、B即可；
（2）以D为顶点，画射线BD、DC；
（3）画直线AD、BC，两线的交点就是P的位置．【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握直线是向两方无限延伸的，射
线是向一方无限延伸的，线段不能向任何一方无限延伸．
二十七．两点间的距离（共4小题）
54．（2022秋•罗湖区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知线段
CD＝3cm，则线段AB＝cm 1 2 ．
【分析】根据线段中点的定义得出AC＝2DC，AB＝2AC，推出AB＝4DC，代入求出即
可．
【解答】解：∵C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，
∴AC＝2DC，AB＝2AC，
∴AB＝4DC，
∵DC＝3cm，
∴AB＝12cm，
故答案为：12．
【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性
质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
55．（2022秋•禹城市期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，
D、E分别是AC、AB的中点．求：
（1）求AD的长度；
（2）求DE的长度；
（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．
【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案；
（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长；
（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．【解答】解：（1）由线段中点的性质，AD＝ AC＝6（cm）；
（2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），
由线段中点的性质，得AE＝ ＝10（cm），
由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；
（3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），
当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），
∴AM的长度为26cm或14cm．
【点评】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用
线段的和差倍分是解本题的关键．
56．（2022秋•清苑区期末）课上，老师提出问题：如图，点O是线段AB上一点，C，D
分别是线段AO，BO的中点，当AB＝10时，求线段CD的长度．
（1）下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程；
思路方法 解答过程 知识要素
未知线段 因为C，D分别是线段AO，BO的中 线段中点的定义
点，
线段的和、差
已知线段 等式的性质
所以CO＝ AO，DO＝ BO ．
… …
因为AB＝10，
所以CD＝CO+DO
＝ AO+ BO
＝ AB
＝ 5 ．
（2）小明进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段AB的延长线上，CD的
长度是否会发生变化？请你帮助小明作出判断并说明理由．
【分析】（1）由C，D分别是线段AO，BO的中点，可得DO＝ BO，再根据CD＝
CO+DO，即可得出答案；
（2）根据题意画出图，解法同（1），即可得出答案．【解答】解：（1）因为C，D分别是线段AO，BO的中点，
所以CO＝ AO，DO＝ BO，
因为AB＝10，
所以CD＝CO+DO
＝ AO+ BO
＝ AB
＝5．
故答案为：BO，BO，AB，5；
（2）不会发生变化，理由如下，如图，
因为因为C，D分别是线段AO，BO的中点，
所以CO＝ AO，DO＝ BO，
因为AB＝10，
所以CD＝CO﹣DO＝ AO﹣ BO＝ AB＝5．
【点评】本题主要考查了两点之间的距离，熟练掌握两点间距离的计算方法进行计算是
解决本题的关键．
57．（2022秋•甘肃期末）阅读感悟：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，线
段BD＝2.5cm，请你补全图形，并求CD的长度．
以下是小华的解答过程：
解：如图2，
因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，
所以BC＝ AB＝ 4 cm．因为BD＝2.5cm，
所以CD＝BC﹣BD＝ 1. 5 cm．
小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段AB上，事实上，点
D还可以在线段AB的延长线上．
完成以下问题：
（1）请填空：将小华的解答过程补充完整；
（2）根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时 CD
的长度．
【分析】（1）根据线段中点的性质，线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，即可算
出BC的长，再根据CD＝BC﹣BD即可得出答案；
（2）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，由BC＝ AB＝4cm．可得BD＝2.5cm，
再由CD＝BC+BD进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）如图2，
因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，
所以BC＝ AB＝4cm．
因为BD＝2.5cm，
所以CD＝BC﹣BD＝1.5cm．
故答案为： ．
（2）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，
因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，
所以BC＝ AB＝4cm．
又BD＝2.5cm，
所以CD＝BC+BD＝6.5cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是解
决本题的关键．
二十八．度分秒的换算（共1小题）58．（2022秋•秦都区校级期末）角度换算：26.8°＝ 2 6 ° 4 8 ′．
【分析】利用度，分，秒的换算关系，进行计算即可．
【解答】解：26.8°＝26°+0.8×60'＝26°48'．
故答案为：26，48．
【点评】本题考查度分秒的换算．熟练掌握度，分，秒之间的换算关系：1°＝60'，1'＝
60''，是解题的关键．
二十九．角的计算（共1小题）
59．（2022秋•大足区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且
∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝ ∠AOB，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×120°＝40°；
（2）∵∠AOD＝ ∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关
键．
三十．作图—基本作图（共1小题）60．（2022秋•鄄城县期末）已知线段a，b，点A，P位置如图所示．
（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不
写作法）
（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的
位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．
【分析】（1）利用作一线段等于已知线段的尺规作图求解即可；
（2）先由AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，知MB＝ AB＝2，BN＝
BC＝1，再结合MN＝MB+BN可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，线段AB、BC即为所求．
（2）∵a＝4，b＝2，即AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB＝ AB＝2，BN＝ BC＝1，
∴MN＝MB+BN＝2+1＝3．
【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺
规作图及线段中点的性质．
