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第四课时——点与圆、直线与圆的位置关系（2）（答案
卷）
知识点一：切线长定理：
1. 圆的切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之
间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，
则PA与PB的长度是切线长。
2. 切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作 2 条，它们
的切线长 相等 。圆心和这一点的连线 平分 两条切线的夹角。
即PA ＝ PB，∠APO ＝ ∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：
⌒ ⌒
①△APO ≌ △BPO ∠AOP ＝ ∠BOP AM ＝ AM AB ⊥ OP。
特别提示：切线与切线长是两个不同的概念，切线是线，切线长是切线的长度。
【类型一：利用切线长定理求线段长度】
1．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据切线长定理直接求得PB＝PA＝3．
【解答】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
2．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于
10cm，则PA＝ cm．
【分析】由于DA、DC、BC都是 O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的
长，然后再进行求解．
⊙
【解答】解：如图，设DC与 O的切点为E；
⊙
∵PA、PB分别是 O的切线，且切点为A、B；
⊙
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
3．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若 O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D
点，则DF的长为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据切线长定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等边三角形ADF，推出DF＝AE＝
AF，根据BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．
【解答】解：∵ O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
⊙
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝ ×4＝2，故选：A．
4．如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么
BC的长为 ．
⊙
【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求
出CE＝4，即CF的长，求和即可．
【解答】解：∵AB、AC、BC都是 O的切线，
⊙
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【类型二：利用切线长定理求周长】
5．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．5 B．7 C．8 D．10
【分析】由切线长定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
6．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若
△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在
Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．
7．如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 ．
⊙
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的外切四边形，
⊙
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．
8．如图，PA、PB切 O于点A、B，PA＝10，CD切 O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的
周长是（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．18 C．20 D．22
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝
PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切 O于点A、B，CD切 O于点E，
⊙ ⊙
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10＝20．故选：C．
知识点一：三角形的内切圆与内心：
1. 三角形的内切圆：
如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。
三角形叫做圆的 外切三角形 。
2. 内心
三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角
角平分线 的交点。所以圆心到三角形三边的距离 相等 。
特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3. 直角三角形内切圆半径：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。则这个直角三角形的内切圆
半径为 或 。
4. 三角形的面积与内切圆半径的关系：
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：
。
【类型一：利用内切圆与内心求角度】
9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）A．120° B．125° C．135° D．140°
【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的
关系．
【解答】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝ ∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝ ∠CAB，∠IBA＝ ∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣ （∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣ （180°﹣∠C）
＝90°+ ∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+ ∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ）
A．119° B．120° C．121° D．122°
【分析】根据三角形的三个内角的平分线相交的点为内心，可知∠BAO＝ ∠CAB，∠ABO＝
∠CBA，由∠C的度数和三角形内角和为180°，可求出∠CAB+∠CBA＝122°，进而可求出∠AOB的度
数．
【解答】解：∵点O为△ABC的内心，
∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠BAO＝ ∠CAB，∠ABO＝ ∠CBA，
∴∠AOB＝180°﹣ （∠CAB+∠CBA），
∵∠C＝58°，
∴∠CAB+∠CBA＝122°，
∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC的内切圆 O与边AB、BC、CA分别相切于点
D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
⊙
【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝90°，再利用三角形内角和以及四边形
内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．
【解答】解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°
∴∠A＝20°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝160°，
∴∠DEF的度数为80°．
【类型二：利用内切圆与内心求长度】
12．如图，已知等边△ABC的内切圆 O半径为3，则AB的长为（ ）
⊙
A．3 B．3 C．6 D．6
【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可．
【解答】解：过O点作OD⊥BC，则OD＝3；
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBD＝30°；
Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝3，
∴OB＝6，
∴BD＝3 ，∴AB＝BC＝2BD＝6 ．
故选：C．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为
（ ）
⊙
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据勾股定理可得AB的长，然后根据三角形面积可以求出 O的半径，再根据切线的性质可
得AD的长．
⊙
【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝ ＝ ＝13，
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC ＝S△AOB +S△BOC +S△AOC ，
∴13r+12r+5r＝12×5，
解得r＝2，
∵ O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
⊙
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，∵ O的半径为2，BC＝5，
⊙
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．
故选：B．
⌒ ⌒
14．如图，在 O中，AB＝AC，BC＝6．AC＝3 ，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
⊙
A．1 B． ﹣3 C．5﹣ D．
【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵ ＝ ，
∴AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝ ＝ ＝9，设OA＝OB＝x，
在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，
∵S△ABC ＝ •BC•AH＝ •（AB+AC+BC）•IH，
∴IH＝ ＝ ﹣1，
∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（ ﹣1）＝5﹣ ，
故选：C．
15．如图， O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交 O于
点D，则DE＝ ．
⊙ ⊙
【分析】如图，连接BD，CD，EC．只要证明DE＝DC，△DCB是等腰直角三角形即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECD，∵∠DCB＝∠DAB，∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴ ＝ ，
∴BD＝DC，
∵BC＝4，
∴DC＝DB＝2 ，
∴DE＝2 ，
故答案为2 ．
【类型三：求内切圆半径】
16．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，
切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为 R，则OE＝OF＝OD＝R，根据
S△ACB ＝S△AOC +S△AOB +S△BOC 代入即可求出答案．
【解答】解：
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝c2，
∴∠ACB＝90°，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的
半径为R，则OE＝OF＝OD＝R，
∵S△ACB ＝S△AOC +S△AOB +S△BOC ，
∴ ×AC×BC＝ ×AC×0E+ ×AB×OF+ ×BC×OD，
∴3×4＝4R+5R+3R，
解得：R＝1．
故答案为：1．
17．两条边是6和8的直角三角形，其内切圆的半径是 ．
【分析】分两种情况：分8是直角边的长和8是斜边的长两种情况分别求解．先用勾股定理求出第三边，
再利用直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半，可求得其内切圆的半径．
【解答】解：（1）当斜边长为8，则另一直角边＝ ＝ ，
则此三角形内切圆的半径＝ ＝ ﹣1．
（2）当两直角边长分别为6，8时，斜边等于10，
则此三角形内切圆的半径＝ ＝2．
故填 ﹣1或2．
18．已知一个三角形的三边长分别是6、7、8，则其内切圆直径为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝6﹣x．由AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，求出x，根据勾
股定理求出AD，根据 •BC•AD＝ （AB+BC+AC）•r计算即可．
【解答】解：AB＝7，BC＝6，AC＝8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即72﹣x2＝82﹣（6﹣x）2，
解得，x＝ ，
则AD＝ ＝ ，
×AD×BC＝ ×AB×r+ ×AC×r+ ×CB×r，
解得，r＝ ，
∴其内切圆直径为 ，
故选：C．
19．已知：如图， O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求 O的半径r；若
AC＝b，BC＝a，AB＝c，求 O的半径r．
⊙ ⊙
⊙
【分析】首先设AC、AB、BC与 O的切点分别为D、E、F；易证得四
⊙
边形 OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：CD＝CF＝
（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．
【解答】解：如图；
在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm；
根据勾股定理AB＝ ＝15cm；
四边形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°；
则四边形OFCD是正方形；
由切线长定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF；
则CD＝CF＝ （AC+BC﹣AB）；即：r＝ （12+9﹣15）＝3．
当AC＝b，BC＝a，AB＝c，
由以上可得：
CD＝CF＝ （AC+BC﹣AB）；
即：r＝ （a+b﹣c）．
则 O的半径r为： （a+b﹣c）．
⊙
知识点一：弦切角定理：
1. 弦切角的定义：
如图，像∠ACP这样顶点在 圆上 ，一边与圆 相交 ，
一边与圆 相切 的角叫弦切角。
2. 弦切角定理：
弦切角的度数与它所夹的弧的圆周角度数 相等 。等于它所夹弧的圆心角度数的
一半 。
即∠PCA＝∠PBC。
【类型一：利用弦切角定理求角度】
⌒
20．如图，CD是 O的切线，T为切点，A是TB上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（ ）
⊙A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】设点E是优弧TB上一点，连接TE、BE，根据圆内接四边形的对角互补知，∠E＝180°﹣∠A
＝80°，再根据弦切角定理知，∠DTB＝∠E＝80°．
【解答】解：∵四边形ABET是圆内接四边形，
∴∠E＝180°﹣∠A＝80°，
又CD是 O的切线，T为切点，
⊙
∴∠BTD＝∠E＝80°．
故选：D．
21．如图，A、B是 O上的两点，AC是 O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于 ．
⊙ ⊙
【分析】OA＝OB可知∠BAO＝∠B＝70°，得知∠O＝40°，由弦切角等于所对应的圆周角知∠O＝
2∠BAC．
【解答】解：根据题意知，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝70°，
∴在△AOB中，∠O＝40°；∵AC为切线，
∴∠O＝2∠BAC，
∴∠BAC＝20°．
22．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】由于弦切角∠DAC所夹弧的圆周角正好是∠B，因此可直接利用弦切角定理求解．
【解答】解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，
∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）
故选：B．
23．如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理
求得∠D的度数．
【解答】
解：连接BC，∵DB、DE分别切 O于点B、C，
⊙
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
24．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，
则利用互余计算出∠A＝25°，根据弦切角定理得到∠BOC＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠D的
度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BCD＝∠A＝25°，∵∠OBC＝∠BCD+∠D
∴∠D＝65°﹣25°＝40°．
故选：C．
25．如图，已知半径为1的 M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标
为（ ，0）， M的切⊙线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 度．
⊙
【分析】在Rt△AOB中，已知了直径AB和OA的长，即可求得∠OAB、∠OBA的度数；而由弦切角定
理知∠OAB＝∠BOC，进而可由三角形的外角性质求出∠ACO的度数．
【解答】解：∵AB＝2，OA＝ ，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；
∵OC是 M的切线，
⊙
∴∠BOC＝∠BAO＝30°，
∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．
故答案为：30．一．选择题（共10小题）
1．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接利用切线长定理求解．
【解答】解：∵PA，PB均为 O切线，
⊙
∴PB＝PA＝5，
故选：D．
2．如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）A．50° B．52° C．54° D．56°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IBC+∠ICB＝64°，根据内心的概念得到∠ABC+∠ACB＝128°，
根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝ ∠CAB，∠ICB＝ ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选：B．
3．如图， O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
⊙
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．
【解答】解：∵ O内切于四边形ABCD，
⊙
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11．故选：D．
4．如图，PA，PB分别切 O与点A，B，MN切 O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，
则△PMN的周长是（ ）
⊙ ⊙
A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
【分析】根据切线长定理得MA＝MC，NC＝NB，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【解答】解：∵直线PA、PB、MN分别与 O相切于点A、B、C，
⊙
∴MA＝MC，NC＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．
5．如图，△ABC的内切圆 O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则
AD的长是（ ）
⊙
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】设AD＝x，根据切线长定理得出AF＝AD，CE＝CF，BD＝BD，求出BD＝BE＝14﹣x，CF＝
CE＝9﹣x，根据CE+BE＝BC，代入求出x即可．
【解答】解：设AD＝x，
∵△ABC的内切圆 O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
⊙
∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BD，
∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，
∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，∵CE+BE＝BC＝13，
∴9﹣x+14﹣x＝13，
∴x＝5，
∴AD＝5．
故选：D．
6．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在
O的右侧沿着与 O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是 O的切点，
⊙
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm， O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC
＝5cm，
⊙
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
7．如图，△ABC内接于 O，BD切 O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（ ）
⊙ ⊙A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】由弦切角定理可以得到∠DBC的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出
∠ABC．
【解答】解：∵BD切 O于点B，
⊙
∴∠DBC＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
故选：D．
8．如图，四边形ABCD内接于 O，AB＝BC．AT是 O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
⊙ ⊙
A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，又AB＝BC得到∠ACB＝∠CAB＝55°，求出
∠B，再由圆内接四边形的性质就可以求出∠D．
【解答】解：如图，连接AC，
由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，
∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，
∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．
故选：A．
9．点P是 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，∠P＝70°，点C是 O上的点（不与点A、B重
合），则∠ACB等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
【分析】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质
求得∠ACB．
【解答】解：如图，
∵PA、PB分别切 O于点A、B，
⊙
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列
结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝
90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性
质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对
④进行判断．
【解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∵点G为BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
⊙
【分析】根据切线长定理得到 AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，
根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的外切四边形，
⊙
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48．
12．如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则 O的半径等于 ．
⊙ ⊙
【分析】根据切线的性质求得∠APO＝30°，∠PAO＝90°，再由直角三角形的性质得AO＝1．
【解答】解：∵PA、PB是 O的两条切线，
⊙
∴∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，∠PAO＝90°
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵PO＝2，∴AO＝1．故答案为：1．
13．如图PA切 O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度．
⊙
【分析】根据弦切角定理和圆周角定理求解．
【解答】解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．
14．如图四边形ABCD内接于 O，AB为直径，PD切 O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝
130°，则∠ADP＝ ．
⊙ ⊙
【分析】连接BD，由圆内接四边形的性质，求得∠BAD，再由弦切角定理得∠ADP＝∠ABD，从而得
出答案．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于 O，∠BCD＝130°，
⊙
∴∠BAD＝50°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠40°
∵PD切 O于D，
⊙
∴∠ADP＝∠ABD＝40°，
故答案为：40°．15．在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2 ，则△ABC的内切圆半径长为 ．
【分析】设△ABC的内切圆半径为 r，过点 C作CD⊥AB，垂足为 D，根据 S△ABC ＝ AB•CD＝
（AB+AC+BC）•r．即可解决问题．
【解答】解：设△ABC的内切圆半径为r，
过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵AC＝BC＝2，AB＝2 ，
∴AD＝BC＝ ．
在Rt△ABD中，CD＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABC ＝ AB•CD＝ （AB+AC+BC）•r．
∴2 × ＝（2 +2+2）•r，
∴r＝2﹣ ．
∴△ABC的内切圆半径为2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
16．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，则OI＝ ．
【分析】设BC边的中点为D，连接AD，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，得到
内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到AD＝5，设△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则IO＝DI+OD，根据勾股定理列方程得到R＝16.9，求得OD＝11.9，根据三角形的面积公式得到
r＝2.4，于是得到结论．
【解答】解：设BC边的中点为D，连接AD，
∵AB＝AC＝13，
∴AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，
∵点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，
∴内心I和外心O都在直线AD上，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BD＝CD＝12，
∴AD＝ ＝5，
设△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则IO＝DI+OD，
连接OB，在Rt△ODB中，OD＝R﹣5，OB＝R，DB＝12，
由勾股定理得（R﹣5）2+122＝R2，
∴R＝16.9，
∴OD＝AO﹣AD＝16.9﹣5＝11.9，
∵S△ABC ＝ BC•AD＝ （AB+BC+AC）•r，
∴r＝ ＝ ＝ ＝2.4，
∴r＝DI＝2.4，
∴IO＝DI+OD＝2.4+11.9＝14.3．故答案为：14.3．
三．解答题（共4小题）
17．如图，AB为 O直径，PA、PC分别与 O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
⊙ ⊙
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
【分析】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四
边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与 O相切于点A，C，
⊙
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是 O的切线，
⊙
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝ ＝4 ，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4 ．
18．如图，PA、PB、DE切 O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
⊙
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
【分析】（1）于PA、PB、DE都是 O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE
的周长；
⊙
（2）连接 OA、OC、0B，利用切线长定理即可得到∠O＝ ∠AOB，根据四边形的内角和可得
∠AOB+∠P＝180°，进而求出∠O的度数．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切 O于A、B、C，
⊙∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE ＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴△PDE的周长为20；
（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO＝∠EBO＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°
∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝ ∠AOB＝ ×130°＝65°．
19．已知：如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是 O的切线，A为切点，割线
PBD过圆心，交 O于另一点D，连接CD．
⊙ ⊙
⊙
（1）求证：PA∥BC；
（2）求 O的半径及CD的长．
⊙
【分析】（1）如图；由AB＝AC，可以得到∠1＝∠2，然后利用弦切角
定理就可以证得PA与BC的内错角相等，由此得证；
（2）本题需构建直角三角形求解，连接OA，交BC于G，由垂径定理知：OA垂直平分BC，
在Rt△ABG中，已知了AB、BG的长，根据勾股定理可求出AG的长，
在Rt△OBG中，用圆的半径表示出OG的长，然后根据勾股定理，求出圆的半径长，进而可求出OG的
长，
△BCD中，易证得OG是△BCD的中位线，由此可求出CD的长．
【解答】（1）证明：∵PA是 O的切线，
⊙
∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∴∠PAB＝∠1．
∴PA∥BC．
（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；
由（1）可知，PA∥BC，
∴OA⊥BC．
∴G为BC的中点，
∵BC＝24，
∴BG＝12．
又∵AB＝13，
∴AG＝5．
设 O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，
⊙
在Rt△BOG中，
∵OB2＝BG2+OG2，
∴R2＝122+（R﹣5）2，
∴R＝16.9，OG＝11.9；
∵BD是 O的直径，
⊙
∴DC⊥BC．
又∵OG⊥BC，
∴OG∥DC．
∵点O是BD的中点，
∴DC＝2OG＝23.8．
20．已知：在△ABC中，∠C＝90°， I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
⊙（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
【分析】（1）根据 I是Rt△ABC的内切圆，证明四边形IECF是矩形，由IE
＝IF，可得结论；
⊙
（2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长．
【解答】解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵ I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是 I的切线，
⊙ ⊙
∴∠IEC＝∠IFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，
由切线长定理可知：
AE＝AD，BD＝BF，CE＝CF，
设半径IE的长为x，则CE＝CF＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，BD＝BF＝6﹣x，
∴（8﹣x）+（6﹣x）＝10，
解得x＝2，
∴IE的长为2．
21．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆 O 相交于点 D，过 D 作直线
DG∥BC．
⊙（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是 O的切线．
⊙
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形
的内心的性质可得∠AEB＝130°；
（2）由三角形的内心的性质可得 AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝
∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；
（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．
【解答】（1）解：如图，连接OD，
∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADB＝80°，
∴∠ABC+∠BAC＝100°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠AEB＝130°，
故答案为：80°，130°；（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴ ＝ ，
∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
（3）证明：∵ ＝ ，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是 O的切线．
⊙
