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第20讲 乘法公式的变形及应用（原卷版）
第一部分典例剖析+针对训练
类型一 平方差公式的变形及应用
典例1（2022春•泗洪县期中）若m2﹣n2＝3，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
典例2（2022•石城县模拟）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
针对训练1
1．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
类型二 平方差公式的几何背景
典例2（2021秋•川汇区期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余
下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 x，a
的恒等式是（ ）
A．x2﹣a2＝（x﹣a）（x+a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） D．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）
典例3（2021秋•通榆县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将
剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
针对训练22．（2022春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式 a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春•晋中期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．将图1中的阴影部
分拼成了一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证平方差公式（a+b）
（a﹣b）＝a2﹣b2，这种验证方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．方程思想
C．统计思想 D．分类思想
4．（2022春•肥东县期末）我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部
分面积说明的等式是（ ）
A．a（a+9）＝a2+9a B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36 D．（a+3）2＝a2+6a+9
5．（2021秋•宜宾期末）如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一
个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为 b的长方形，根据图二中阴影部分的面
积计算方法可以验证的公式为（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
6．（2021秋•长春期末）如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣
b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
三．完全平方公式
典例4（2022春•沙坪坝区校级月考）若（2a+b）2＝11，ab＝1，则（2a﹣b）2的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．11
典例5（2022春•滨江区期末）若x满足（x﹣2021）（2022﹣x）＝0.25，则（x﹣2021）2+（2022﹣x）2＝
（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．﹣0.25
针对训练3
7．（2022春•通道县期末）已知x+y＝4，xy＝2，则x2+y2的值为 ．
8．（2022春•黑山县期中）计算（a+2b﹣3）2的结果正确的是（ ）
A．a2+4b2+4ab+6a+12b+9 B．a2+4b2+4ab+6a+12b﹣9
C．a2+4b2﹣4ab+6a+12b+9 D．a2+4b2+4ab﹣6a﹣12b+9
9．（2021秋•江津区期末）已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2021秋•丰台区期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成
就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着
（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开
式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么（a﹣
）9的展开式中a7的系数是（ ）
A．9 B．﹣9 C．36 D．﹣36
四．完全平方公式的几何背景
典例6（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法
可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即
为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
典例7（2021秋•石狮市期末）用4个长为a，宽为b的长方形拼成如图所示的大正方形，则用这个图形可
以验证的恒等式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab针对训练4
11．（2021秋•西城区）有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新
的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
12．（2021秋•越秀区期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所
示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
13．（2022春•毕节市月考）如图，两个正方形的边长分别为 a，b（a＞b），如果a+b＝10，ab＝16，则
阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．13 C．26 D．30
14．（2022春•南山区）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为
（ ）A．25 B．12.5 C．13 D．9.5
五．完全平方式
典例8（2022春•恭城县期末）已知x2+6x+m是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．12
典例9（2022春•锦江区校级期中）一个多项式的平方是x2+（m﹣2）x+36，则m＝（ ）
A．﹣10或14 B．﹣14或14 C．12 D．6
针对训练5
15．（2022春•零陵区期末）如果4x2﹣mx+16是一个完全平方式，则实数m的值是（ ）
A．16 B．﹣16 C．±8 D．±16
16．（2022春•滨海县期中）如果x2﹣6x+k（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
17．（2022春•达川区校级期中）如果x2﹣（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．7 B．﹣4 C．7或﹣5 D．7或﹣4
六．配方法的应用
典例10（2022春•江北区期末）下列配方中，变形正确的是（ ）
A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1
C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1
针对训练6
18．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
七．代数式求值
典例11（2022•松阳县二模）数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
题目：已知p+q+2r＝1，p2+q2﹣8r2+6r﹣5＝0，求代数式pq﹣qr﹣rp的值．
通过你的运算，代数式pq﹣qr﹣rp的值为 ．针对训练7
19．（2021秋•茂南区期末）已知（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
第二部分专题提优训练
1．（2022春•岱岳区期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（2+x） B．（x+y）（﹣x﹣y）
C．（2x+y）（y﹣2x） D．（2x﹣y）（x+2y）
2．（2022春•新田县期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（﹣m+n）（m﹣n）
C．（x2﹣y）（x+y2） D．（2x﹣y）（y+2x）
3．（2022春•仪征市期中）将正方形的南北方向增加 3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形面积与原
来相比（ ）
A．减少9m2 B．增加9m2 C．保持不变 D．无法确定
4．（2021秋•济源期末）如图1，将长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形沿虚线剪去一个宽为2的小长方
形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等
式（ ）
A．（x﹣2）2＝x2﹣2x+1 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣2）＝x2﹣2x D．（x+2）2＝x2+2x+1
5．（2021秋•卧龙区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中沿虚线剪去一个边长为（a+1）cm
的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，并拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长
边的长为（ ）A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
6．（2021秋•綦江区期末）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
7．（2021秋•鼓楼区期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新
的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 3和42，则正方形 A，B的面积之和为
（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
8．（2021秋•台州期末）如图一，在边长为a的正方形纸片中，剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的
部分沿虚线剪开，再将得到的两部分拼成一个长方形（如图二）．根据这两个图形中阴影部分的面积关
系，可以验证一个等式，这个等式是（ ）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
9．（2021秋•方城县期末）观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
10．（2022春•茌平区期末）若x+y＝2，x2﹣y2＝4，则2x﹣2y的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2021秋•咸丰县期末）已知m﹣n＝3，mn＝1，则m2+n2的值为（ ）
A．9 B．11 C．7 D．不能确定
12．（2021秋•岳麓区校级期末）若（a+b）2＝25，a2+b2＝13，则ab的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
13．（2021秋•内江期末）已知（m﹣2022）（m﹣2020）＝25，则（m﹣2020）2+（m﹣2022）2的值为（
）
A．54 B．46 C．2021 D．2022
14．（2022春•碑林区校级期中）已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，则ab的值为（ ）
A．42 B．16 C．8 D．4
15．（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
16．（2022春•济南期中）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a+b＝8，ab＝12，则阴影部分的面
积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
17．（2022春•鄞州区校级期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后
构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和52，则正方形A，B的面积之和为
（ ）
A．48 B．56 C．64 D．72
18．（2022春•合肥期末）将4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为
（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（ ）
A．a＝3b B．a＝4b C．a＝5b D．a＝6b
19．（2022•许昌一模）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无
重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片4张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2022春•临渭区期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，则b的值为（ ）
A．3或﹣1 B．﹣3或1 C．±3 D．±1
21．（2022•重庆模拟）已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；
②B﹣A≥2；
③若A+B＝2 ，A•B＝﹣6，则A﹣B＝±8；
④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；
⑤代数式5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①④⑤
22．（2022春•东至县期末）如图，长方形ABCD的周长为6，面积为1，分别以BC，CD为边作正方形，
则图中阴影部分的面积为 ．
23．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜
6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S +S +S ＝ ．
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