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第 27 讲 分式方程的应用专题
目录
第一部分 典例剖析+针对训练....................................................................................................................................1
类型一 工程问题................................................................................................................................................1
类型二 行程问题................................................................................................................................................3
类型三 利润问题..............................................................................................................................................5
类型四 工作量问题............................................................................................................................................8
第二部分 专题提优训练............................................................................................................................................10
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 工程问题
典例1（2022•牟平区校级开学）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，
经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天．若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队
合做，36天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90
天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队
全程共同完成省钱？说明理由．
思路点拨：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．
若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，结合（1）的结果列出一元一次方程，解方程，即可解
决问题．
解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．
1 1 1
由题意得： ×20+（ + ）×36＝1，
x 120 x
解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙两队全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
1 1
由题意得：（ + ）y＝1，
120 80
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙两队全程共同完成更省钱．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
针对训练
1．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用
了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按 30
天算）
思路点拨：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．由题意：现
在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）由每天的施工费用×天数，列式计算即可．
解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．
2400 2400
根据题意，得： − =3，
x x+180
整理，得：x2+180x﹣144000＝0．
解得：x ＝﹣480，x ＝300．
1 2
经检验：x ＝﹣480，x ＝300都是原方程的解，但x ＝﹣480不符合题意，舍去．
1 2 1
答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．
2400
（2） ×2.5×30＝375（万元）．
300+180答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．
总结升华：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型二 行程问题
典例2（2022•环翠区一模）科学研究表明，核酸检测时采集的“咽试子”样本必须在4小时内送达检测中
心，超过时间，样本就会失效．A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30千米、45千米．A、B两
个采样点的送检车有如下信息：
信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的1.5倍；
信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为1.5小时．
若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则B采样点采集的样本会不会失效？
思路点拨：设B采样点送检车行驶的时间为x小时，则A采样点送检车行驶的时间为（1.5﹣x）小时，
利用速度＝路程÷时间，结合B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的1.5倍，即可得出关于x的
分式方程，解之经检验后即可得出x的值，将其代入（3.2+x）可求出B采样点从开始采集样本到送达检
测中心所需时间，再将其与4小时比较后即可得出结论．
解：设B采样点送检车行驶的时间为x小时，则A采样点送检车行驶的时间为（1.5﹣x）小时，
45 30
依题意得： =1.5× ，
x 1.5−x
解得：x＝0.75，
经检验，x＝0.75是原方程的解，且符合题意，
∴3.2+x＝3.2+0.75＝3.95，
又∵3.95＜4，
∴B采样点采集的样本不会失效．
总结升华：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
针对训练
1．（2021秋•南宁期末）2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之
增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队．某村种植合作社共需
要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘．已知志愿者服务队采摘的速度是
村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
思路点拨：（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，由题意：从村民开始
采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出原计划村民需要的天数和志愿队工作的天数，再求出实际花费的费用，即可解决问题．
解：（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，
40 240−40
依题意得： + =15，
x x+1.5x
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×8＝12，
答：村民每天采摘柑橘8吨．
240
（2）原计划村民需 =30（天）才能完成，则需花费2000×30＝60000（元）．
8
240−40 40
志愿队工作了 =10（天），村民工作了 +10＝15（天），
8+12 8
∴实际花费为：2000×15+500×10＝35000（元），
共节省了：60000﹣35000＝15000（元），
答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省15000元．
总结升华：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022春•昭平县期末）核酸检测时采集的样本必须在4小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失
效．A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km，A、B两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的1.2倍；
信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时．
若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，则B采样点采集的样本会不会失效？
思路点拨：设A采样点送检车的平均速度是xkm/h，则B采样点送检车的平均速度为1.2xkm/h，利用时
间＝路程÷速度，结合A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时，即可得出x的值，进而可得出
B采样点送检车的平均速度，利用时间＝路程÷速度，可求出B采样点送检车的行驶时间，再结合B采
样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，即可得出结论．
解：设A采样点送检车的平均速度是xkm/h，则B采样点送检车的平均速度为1.2xkm/h，
30 36
依题意得： + =2，
x 1.2x
解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×30＝36，
∴B采样点送检车的行驶时间为36÷36＝1（h），
∵2.6+1＝3.6（h）＜4（h），
∴B采样点采集的样本不会失效．
总结升华：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型三 利润问题
典例3（2022•兴庆区校级三模）某零售商店第一次用1000元购进一批雪绒绒挂件若干个，第二次用1800
3
购进冰墩墩挂件是购进雪绒绒挂件数量的 ，而冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多1元．
2
（1）求该商店购进的雪绒绒和冰墩墩数量各多少个？
（2）该商店两种挂件的零售价都是10元/个，雪绒绒挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，
则冰墩墩挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
3
思路点拨：（1）设该商店购进雪绒绒挂件x个，则购进冰墩墩挂件 x个，利用单价＝总价÷数量，结
2
合冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多 1元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后
3
即可求出该商店购进雪绒绒挂件的数量，再将其代入 x中即可求出购进冰墩墩挂件的数量；
2
（2）设冰墩墩挂件售出m个，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合总利润不低于2020
元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
3
解：（1）设该商店购进雪绒绒挂件x个，则购进冰墩墩挂件 x个，
2
1800 1000
− =
依题意得： 3 x 1，
x
2
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
3 3
∴ x= ×200＝300．
2 2
答：该商店购进雪绒绒挂件200个，冰墩墩挂件300个．（2）设冰墩墩挂件售出m个，
依题意得：10×（200﹣10）+10m﹣1000﹣1800≥2020，
解得：m≥292，
∴m的最小值为292．
答：冰墩墩挂件要至少售出292个，才能使这两次的总利润不低于2020元．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
针对训练
1．（2022春•普陀区期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价
相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩
平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
（1）求7、8月各购进口罩多少盒？
（2）已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；
乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b＞0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲
店相同．
①若a+b＝30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口
罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
思路点拨：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，利用单价＝总价÷数量，结合7，
8月进价相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①用含a（或b）的代数式表示出原价部分总利润及优惠部分总利润，结合两店的销售利润相同以
及a+b＝30，即可得出结论；
②利用总利润＝每件的销售利润×销售数量﹣进价×赠送数量，得出关于a，n的二元一次方程，再由至
少捐赠50盒口罩，得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，结合a，b，n均为自然
数，且n≠0，即可得出结论．
解：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，
2000 5000
依题意得： = ，
x 2x+50
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x+50＝2×100+50＝250．答：7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩．
（2）①口罩的进价为2000÷100＝20（元），
7月份两店分到的口罩100÷2＝50（盒）．
依题意得：乙店原价部分的利润为（30﹣20）a＝10a（元），甲店优惠部分的总利润为（30×0.8﹣20）
（50﹣a）＝4（50﹣a）元，
乙店优惠部分的总利润为（30×0.9﹣20）b+（30×0.7﹣20）（50﹣a﹣b）＝（50+6b﹣a）（元）．
∵两店的利润相同，
∴4（50﹣a）＝50+6b﹣a，
整理得：a+2b＝50，
又∵a+b＝30，
∴a＝10，b＝20；
②8月乙店分到口罩250÷2＝125（盒）．
依题意得：10a+4（50﹣a）+（30﹣20）n﹣20（125﹣n）＝100，
a
∴n＝80− ，
5
∵125﹣n≥50，
∴n≤75．
又∵a，b，n均为自然数，且n≠0，
∴a为10的整数倍，
{a=30 {a=40
∴ b=10或 b=5 ，
n=74 n=72
答：n的值为74或72．
总结升华：本题考查了分式方程的应用、列代数式、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含 a
（b）的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
针对训练
2．（2022•前进区校级开学）二十中学开学初在久昌体育购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费
了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已
知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）二十中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B两种品牌足球共50个．恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第
一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么二十
中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
思路点拨：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，利用
数量＝总价÷单价，结合用2000元购买A品牌足球数量是用2500元购买B品牌足球数量的2倍，即可
得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出购买一个A品牌的足球所需费用，再将其代入（x+30）
中即可求出购买一个B品牌的足球所需费用；
（2）设二十中学此次购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，利用总价＝单价×数量，
结合总价不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中
的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
2500 2000
依题意得： =2× ，
x x+30
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设二十中学此次购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3260，
280
解得：m≤ ，
9
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：二十中学此次最多可购买31个B品牌足球．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
类型四 工作量问题
典例4（2022春•府谷县期末）为支援新冠肺炎疫情防控工作，提高防护服生产的效率，某工厂将使用A、
B两种型号机器生产防护服，已知A型机器比B型机器每小时多生产10件，且A型机器生产600件所用时间与B型机器生产500件所用时间相等，求这两种机器每小时分别生产多少件防护服？
思路点拨：设A种型号机器每小时生产x件防护服，则B种型号机器每小时生产（x﹣10）件防护服，
根据“A型机器生产600件所用时间与B型机器生产500件所用时间相等”列出分式方程，解方程即可．
解：设A种型号机器每小时生产x件防护服，则B种型号机器每小时生产（x﹣10）件防护服，
600 500
根据题意得： = ．
x x−10
解得x＝60．
经检验x＝60是原方程的解．
则x﹣10＝50．
答：A种型号机器每小时生产60件防护服，B种型号机器每小时生产50件防护服．
总结升华：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
针对训练
1．（2022春•本溪期末）某工厂安排A，B两种型号的机器加工同一种零件．已知一台A型机器比一台B
型机器每天多加工10个这种零件，一台A型机器加工150个这种零件所用的时间与一台B型机器加工
120个这种零件所用的时间相等．
（1）求A，B两种型号的机器每天各加工多少个这种零件？
（2）该工厂安排A，B两种型号的机器共20台同时加工这种零件，为确保每天完成不少于860个这种
零件的加工任务，至少安排多少台A型号的机器？
思路点拨：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+10）个零件，
根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台A型机器加工150个零件与一台B型机器加工120个零件
所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，根据每小时加工零件的总量＝8×A型机器
的数量+6×B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件，即可得出关于m的一元一次不等式组，
解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各安排方案．
解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+10）个零件，
150 120
依题意，得： = ，
x+10 x
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝50．
答：每台A型机器每小时加工50个零件，每台B型机器每小时加工40个零件；（2）设需要安排m台A型机器，则安排（20﹣m）台B型机器，
依题意得：50m+40（20﹣m）≥860，
解得：m≥60．
答：至少需要安排60台A型机器．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
第二部分 专题提优训练
1．（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离
上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑
自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
思路点拨：（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较
即可．
解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
1800 1800
根据题意，得 +4.5= ，
1.6x x
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根，
答：小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：
由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），
骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），
∵在家取作业本和取自行车共用了3分，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．
又∵22.5＞20，∴小刚不能在上课前赶回学校．
总结升华：本题考查分式方程的应用，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．
2．（2022春•温江区期末）王鹏家住成都，今年暑假，他们全家计划到贵州旅游，第一站到遵义参观遵义
会议遗址．王鹏在做旅游攻略时发现成都火车东站距离遵义火车站530km，乘坐高铁列车从成都火车东
站到遵义火车站比乘坐特快列车少用3小时，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8倍．请你帮王
鹏计算一下从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间．
思路点拨：设特快列车的平均行驶速度是xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度是2.8xkm/h，根据乘坐高
铁列车从成都火车东站到遵义火车站比乘坐特快列车少用3小时列出方程，解方程即可．
解：设特快列车的平均行驶速度是xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度是2.8xkm/h，
530 530
根据题意得： = −3，
2.8x x
795
解得：x= ．
7
795
经检验，x= 是原方程的解．
7
795 5
则530÷（2.8× ）= （小时）．
7 3
5
答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间为 小时．
3
总结升华：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3．（2022春•镇江期末）句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红
色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的
九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从
景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约
实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人
同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶
宫）．求小红爬山的速度．思路点拨：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时．由题意：小明选择
了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，结果小红比小明早40分钟到达九
霄万福宫（顶宫）．列出分式方程，解方程即可．
解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时．
6 40 3
根据题意得： − = ，
1.2x 60 x
解得：x＝3，
经检验，x＝3是分式方程的解，且符合题意，
答：小红爬山的速度为3千米/小时．
总结升华：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2021•威海）六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件
的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的进价为多少元？
（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
思路点拨：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式
方程，即可求解；
（2）根据总利润＝总售价﹣总成本，列出算式，即可求解．
解：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
3000 3000
根据题意得： − =10，
x (1+20%)x
解得：x＝50，经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
3000 3000
（2）70×（ + ）﹣3000×2＝1700（元），
50 50×1.2
答：两次的总利润为1700元．
总结升华：本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
5．（2022春•方城县期中）某水果商从批发市场用8000元购进了甲、乙两种时令水果各200千克，甲种
水果的进价比乙种水果的进价每千克多20元，甲种水果的售价为每千克40元，乙种水果的售价为每千
克16元．
（1）甲种水果和乙种水果的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了甲、乙两种水果各200千克，但在运输过程中乙
种水果损耗了20%．若乙种水果的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，甲种水
果的售价最少应为多少？
思路点拨：（1）设乙种水果的进价是x元/千克，则甲种水果的进价是（x+20）元/千克，利用进货总价
＝进货单价×进货数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙种水果的进价，将其代入
（x+20）中即可求出甲种水果的进价，再利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（进货数量），即
可求出结论；
（2）设甲种水果的售价为y元/千克，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合第二次赚的
钱不少于第一次所赚钱的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设乙种水果的进价是x元/千克，则甲种水果的进价是（x+20）元/千克，
依题意得：200x+200（x+20）＝8000，
解得：x＝10，
∴x+20＝10+20＝30，
∴销售完后，该水果商共赚了（40﹣30）×200+（16﹣10）×200＝3200（元）．
答：甲种水果的进价是30元/千克，乙种水果的进价是10元/千克，销售完后，该水果商共赚了3200元
钱．
（2）设甲种水果的售价为y元/千克，
依题意得：200y+16×200×（1﹣20%）﹣8000≥3200×90%，
解得：y≥41.6，
∴y的最小值为41.6．
答：甲种水果的售价最少应为41.6元．总结升华：本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
6．（2022春•灞桥区校级期末）某水果经营商两次去水果批发市场批发同一种水果，第一次用3000元购
进一批水果后很快销售完，第二次由于疫情导致批发市场水果无法运进，水果数量减少，价格每千克比
第一次提高了40%．结果用4900元购进的水果比第一次多100千克，求第一次该种水果的进价．
4900 3000
思路点拨：设第一次该种水果的进价是x元/千克，可得： −100= ，解方程并检验可得
(1+40%)x x
第一次该种水果的进价是5元/千克．
解：设第一次该种水果的进价是x元/千克，则第二次购进水果的进价是（1+40%）x元/千克，
4900 3000
根据题意得： −100= ，
(1+40%)x x
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，也符合题意，
∴x＝5，
答：第一次该种水果的进价是5元/千克．
总结升华：本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，注意解分式方程必须检验．
7．（2020秋•硚口区期末）甲、乙两工程队承包某道路改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完
成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元．若要求尽快完
成整个工程，但总施工费用不超过66万元，求乙工程队最多施工多少天？
1
思路点拨：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工
x
1 1
作效率为（ − ），根据“甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成改造
20 x
工程”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工（60﹣2m）天，根据总施工费用不超过66万元，即可得
出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
1
解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工作效率
x
1 1
为（ − ），
20 x40 1 1
依题意得： +10（ − ）＝1，
x 20 x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
1 1
∴1÷（ − ）＝30．
20 x
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
m
1−
30
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工 =（60﹣2m）天，
1
60
依题意得：60﹣2m+2.5m≤66，
解得：m≤12．
答：乙工程队最多施工12天．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8．（2022春•振兴区校级期末）某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、
乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各
自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22
万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
思路点拨：（1）设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，利用工作时
间＝工作总量÷工作效率，结合“两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8
天”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
1600−60a
（2）设应安排乙工程队改造a天，则安排甲工程队改造 天，根据社区要使这次改造的总费
180
用不超过22万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，
720 720
依题意得： − =8，
x 3x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴3x＝180．
答：甲工程队每天能完成60m2的改造，乙工程队每天能完成180m2的改造．
1600−60a
（2）设应安排乙工程队改造a天，则安排甲工程队改造 天，
180
1600−60a
依题意得：2.7× +0.8×a≤22，
180
解得：a≥20．
答：至少应安排乙工程队改造20天．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2021•梧州）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，
要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的 1.4倍，一共用8天刚好完成任
务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器
械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可
以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有
符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
思路点拨：（1）设原来每天生产健身器械x台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，利用工
作时间＝工作总量÷工作效率，结合一共用8天刚好完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论；
（2）设使用m辆大货车，使用n辆小货车，根据同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，
5
可得出50m+20n≥500，化简后可得出n≥25− m，结合“运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用
2
不多于16000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整
5
数即可得出m的值，由m的值结合n≥25− m可得出n的最小值，进而可得出各运输方案，利用总运费
2
＝每辆车的运动×派车数量，即可分别求出两个运输方案所需运费，比较后即可得出结论．
解：（1）设原来每天生产健身器械x台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，
150 500−150
依题意得： + =8，
x 1.4x解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产健身器械50台．
（2）设使用m辆大货车，使用n辆小货车，
∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，
∴50m+20n≥500，
5
∴n≥25− m．
2
又∵运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，
{ m＜10
{ m＜10
∴ ，即 5 ，
1500m+800n≤16000 1500m+800(25− m)≤16000
2
解得：8≤m＜10．
又∵m为整数，
∴m可以为8，9．
5 5
当m＝8时，n≥25− m＝25− ×8＝5；
2 2
5 5 5
当m＝9时，n≥25− m＝25− ×9= ，
2 2 2
又∵n为整数，
∴n的最小值为3．
∴共有2种运输方案，
方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；
方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．
方案1所需费用为1500×8+800×5＝16000（元），
方案2所需费用为1500×9+800×3＝15900（元）．
∵16000＞15900，
∴运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．
总结升华：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
