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第十九章 一次函数
01 思维导图
02 知识速记
知识点01 变量与函数
1.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3.函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
知识点02 一次函数的定义
1.正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
知识点03 一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y=
kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
2.一次函数的图象与性质：
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
概念
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
性质
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
直线y=kx+b （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（k≠0）的位置与（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系. （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数
一次函数表达式的y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
确定
知识点04 一次函数的图象与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程：
x为何值时函数y= ax+b的值为0．
从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，
从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
2.一次函数与二元一次方程：
1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
3.一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．
03 题型归纳
题型一 函数的概念
例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
B．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
C．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
4
D．在 中， 是常量， ， 是自变量， 是 的函数
3
2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中， 不是 函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示 是 的函数的是（ ）A． B． C． D．
题型二 函数的三种表示方法
例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，
校园附近有一家印刷社，收费 （元）与印刷数量 （张）之间的关系如表：
印刷数量 （张）
收费 （元）
(1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是
(2)从上表可知：收费 （元）随印刷数量 （张）的增加而
(3)若要印制1000张宣传单，收费 元
巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为 的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙(墙
长 ，另外三边是篱笆，其中 不超过 设垂直于墙的两边 的长均为 ，长方形花圃的面积
为 ．
(1)判断 是否符合题意，并说明理由
(2)求 与 之间的关系式
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出 随 变化的一个特征： ．
2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 随所挂物体的质量 变化关系的图象如下：
(1)上图反映哪两个变量之间的关系？
(2)根据上图，补全表格：
0 1 2 5 7
12 16
(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？
3.（22-23六年级下·山东烟台·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，
测得的弹簧长度 随所挂物体的质量 变化关系的图象如下：
(1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)根据以上图象补全表格：
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 8 10 12 14
(3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？(4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y．
题型三 一次函数的识别
例题：（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列函数：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列函数：① ；② ；③ ；④ ，其中一次函
数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型四 正比例函数的图象和性质
例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条线段 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小
巩固训练
1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数 ，下列说法正确的是( )
A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点
C． 随 增大而增大 D．点 在函数的图象上
2.（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大
C．图象是一条射线 D．图象经过第二、三、四象限
3.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数 （k是常数， ）的图象，下列说法不正确的是
（ ）
A．是一条直线 B．过点
C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限
题型五 一次函数的图象和性质
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）对于一次函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象与y轴的交点坐标是
B．函数的图象不经过第一象限
C．函数的图象向上平移3个单位长度得 的图象
D．点 、 在函数图象上，若 ，则
巩固训练
1.（23-24八年级下·云南大理·期末）关于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 随 的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．当 时， 时， D．图象必经过点
2.（23-24八年级下·全国·期末）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大 B．它的图象经过点
C．它的图象与x轴的交点坐标是 D．它的图象不经过第一象限
3.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数 （k、b为常数，且 ）的x与y的部分对应值如
下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（ ）x … 0 1 2 …
y … 4 1 …
A．y随x的增大而增大 B．当 时，y的值为6
C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上
题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限
例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过第
象限．
1．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，直线 不经过第 象限．
2．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线 过第一，三，四象限，则直线 不经过第
象限．
3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线 经过第二、三、四象限，则直线 的图象
不经过的象限是 ．
题型七 已知一次函数经过的象限求参数的范围
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：一次函数 中，该函数的图象不过第四象限，
则 的范围是 ．
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数 的图像不经过第一象限，则a的取值范围
是 ．
2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）直线 不经过第一象限，则 的取值范围是
．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一次函数 的图象不经过第一象限，则 的取值范围
是 ．
4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数 （k为常数， ）的图象经过点 ，但不经
过第三象限，则k的值为 ．题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题
例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知关于 的一次函数 与 ．
（1）当 时，这两个函数图象的交点坐标是 ；
（2）若这两个函数图象与 轴围成的三角形的面积是 ，则 ．
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）直线 在y轴上的截距是
2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
3．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线 与x轴、y轴
分别交于点A，B，则 的周长为 ．
4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，设一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点
A，点B．若在x轴上找一点P，使得 为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
题型九 利用一次函数的增减性比较函数值的大小
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点 ， 都在直线 上，则 、 大小关系
是 ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点 ， 都在直线 上，则
（填“ ”、“ ”或“ ”）．
2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过 三点， 则
的大小关系是 ．
3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数 （ ）的图象经过第二、四象限，不同的两点 均在一次函数 （k、b为常数）的图象上，且 ，则
0．（填“ ”“ ”或“ ”）
题型十 根据一次函数的增减性求参数
例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）已知一次函数 ， 随着 的增大而增大，则 的值可以
是 ．（请写出一个符合题意的 的值）
1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点 、点 在一次函数 的图象上，
且 ，则 的值可以是 ．（写出一个即可）
2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数 的图象上两点 ，
，当 时，有 ，那么 的取值范围是 ．
3．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数 的图象经过点 和点 ，
当 时， ，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ．
4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数 （m为常数），当 时，y有最大值6，
则m的值为
题型十一 画一次函数的图象
例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的
方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格：
… 1 2 …
… 4 3 3 0 …(1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象；
(3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行．
巩固训练
1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 的图象不经过第四象限．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的情况下，当 时，根据图象求出 的取值范围．
2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题：(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ；
(3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
3.（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数y=kx+b(k≠0)与 轴交点纵坐标为 ，与 轴交点的横坐
标为 ．
(1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数y=kx+b(k≠0)的图象；
(2)结合图象解答下列问题：
①当 时， 的取值范围是______；
②当 时， 的取值范围是______；
(3)若点 在这个函数的图象上，求出 的值，写出点 的坐标；(4)这个函数的图象上有两个点： ， ，请比较 和 的大小，并说明理由．
题型十二 一次函数的平移问题
例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）将直线 向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析
式为 ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线 的图象不动，将坐标系向上平移
2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ．
2.（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系 中，将直线 向下平移1个单位长
度，得到直线 ，则 ．
3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数 的图象向上平移 个单位后，与 轴、 轴分别
相交于 两点，则 的面积等于 ．
题型十三 求一次函数的表达式
例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数图象过点 ， 两点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)判断点 是否在该函数图象上．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知一次函数的图象经过点 和点 ．
(1)求该一次函数表达式；
(2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
2.（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知正比例函数 的图象与一次函数 的图象交与点
．
(1)求 ， 的值；(2)如果一次函数 与 轴交于点A，求点A的坐标．
3.（23-24八年级下·全国·期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为 （单位：
元）， 与销售数量 x（单位：件）的函数关系如图，请根据图象解决下列问题：
(1)分别求出 与x之间的函数关系式；
(2)现厂家分配该商品1 500 件给甲商场，800 件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品，厂家可获得总利
润是多少元？
题型十四 一次函数与方程、不等式的关系
例题：（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知一次函数 与 的图象交于点
．
(1)求a，k的值；
(2)根据图象，关于x的不等式 的解集为______；
(3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组 的解集．
巩固训练1.（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知 与x成正比，且当 时， ．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当 时，直接写出x的取值范围为_______．
(3)当 时，求y的取值范围．
2.（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图直线： 经过点 ， ．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线 与直线AB相交于点M，求点M的坐标；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集．
3.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数 和 的图象如图所示，它们的交点是
B，一次函数 的图象分别与 轴交于点A，与x轴交于点C，且 ，C(−2,0)
(1)根据图象可得，不等式 的解集是__________；
(2)若不等式 的解集是 ．
①求点B的坐标；
②直接写出不等式组 的解集是__________.
