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第十二章 全等三角形（压轴题专练）
【题型一 四边形中构造全等三角形】
例题：如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上，
， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练】
1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上
一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
【题型二 一线三等角模型】
例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上，
分别是 、 的外角．若 ， ，求证： ．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F在
线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．【变式训练】
1．（1）问题发现：如图1，射线 在 的内部，点B、C分别在 的边 、 上，且
，若 ，求证： ；
（2）类比探究：如图 2， ，且 ． （1）中的结论是否仍然成立，请说明
理由；
（3）拓展延伸：如图3，在 中， ， ．点E在 边上， ，点D、F在线
段 上， ．若 的面积为 ， ，求 与 的面积之比．
2．在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有 ，且满足
．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之和．
【题型三 三垂直模型】
例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，
AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请
写出这个等量关系，并说明理由．
【变式训练】
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【题型四 倍长中线模型】
例题：阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围．我们可以延长 到点 ，使
，连接 ，易证 ，所以 ．接下来，在 中利用三角形的三边关
系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形 中， ，点 是 的中点．若 是 的平分线，试判断 ， ，
之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点 ，点 是 的中点，若 是
的平分线，试探究 ， ， 之间的数量关系，请直接写出你的结论．【变式训练】
1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在
中， 是 边上的中线，延长 到M，使 ，连接 ．
【探究发现】
（1）图1中 与 的数量关系是______，位置关系是______．
【初步应用】
（2）如图2，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
【探究提升】
（3）如图3， 是 的中线，过点A分别向外作 、 ，使得 ，延长
交 于点P，判断线段 与 的数量关系和位置关系，请说明理由．【题型五 旋转模型】
例题：【尝试探究】如图1，已知在正方形 中（四边相等，四个内角均为90°），点 、 分别在边
、 上运动，当 时，探究 、 和 的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形 沿斜边翻折得到 ，且 ，点 、 分别在边
、 上运动，且 ，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知 是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°）， ，
， ，以 为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边 、 于点 、
，连接 ，直接写出 的周长．
【变式训练】
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE△重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．2．在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且
，在探究图1中线段 ， ， 之间的数量关系过程中．
(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）
(2)小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，即可得出 ， ， 之间的数量关系是 ．
(3)如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立？并证明；
(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东
的 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前
进，舰艇乙沿北偏东 的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分
别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
