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预测卷 03
（满分：70分 建议用时： 65 分钟）
一、解答题
17 （10分）．如图，在 中，D为边BC上一点， ， ， ， .
(1)求 的大小；
(2)求 的面积.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）在 中， ，
又 ，所以 ；
（2）在 中， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
，
在 中，因为 ，所以 ，
则 ，故 .
18 （12分）．在三棱锥 中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，
， 于F.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)当 ， ，二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为 ，所以 都是等腰三角形，
因为 于F，所以F为DE的中点，
则 ， ，又因为 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）因为 ， ，所以 ， ， ，所以 ， ，由（1）知 为二面角 的平面角
所以 ， 以点 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图
所示，易得 ， ，知 ，
因为 ， ，
可得 ，所以
设平面 的法向量 ， ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，又 ，
设直线 与平面 所成角为θ， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19（12分）．已知 是公比为2的等比数列， 为正项数列， ，当 时，
．
(1)求数列 的通项公式；(2)记 ．求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；(2)
【详解】（1）因为数列 为等比数列，公比为2，首项为 ，
所以 ，
所以
由 ，推得 ，
所以 ， ， ， ， ，
故 ，又 ，
所以当 时， ，又 ，
所以 ．
（2）由题可得 ，
令 ， 的前n项和为 ．
所以 ，
，
相减得 ，
所以 ，所以 ．
令 ， 的前n项和为 ，则 ，
综上， ．20（12分）．2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法
国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛
圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规
时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结
束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：
前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合
计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双
方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，
一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
淘汰赛 比赛结果 淘汰赛 比赛结果
荷兰 美国 克罗地亚 巴西
阿根廷 澳大利亚 荷兰 阿根廷
1/4决赛
法国 波兰 摩洛哥 葡萄牙
英格兰 塞内加尔 英格兰 法国
1/8决赛
日本 克罗地亚 阿根廷 克罗地亚
半决赛
巴西 韩国 法国 摩洛哥
摩洛哥 西班牙 季军赛 克罗地亚 摩洛哥
葡萄牙 瑞士 决赛 阿根廷 法国
注：“阿根廷 法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为 ，在点球大战中阿根廷
战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支
决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
欧洲球队 其他球队 合计闯入8强
未闯入8强
合计
(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢
进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为 ，求在点球大战中，两队前2轮比分为 的条件
下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) (2)分布列见解析，不能(3)
【详解】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率 ；
（2）下面为 列联表：
欧洲球队 其他球队 合计
进入8强 5 3 8
未进入8强 8 16 24
合计 13 19 32
零假设 支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．．
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为 的条件下，甲在第一阶段获
得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分， ．
当后3轮比分为 时，甲乙两队均需踢满5轮， ．
当后3轮比分为 时，有如下3种情况：
3 4 5 3 4 5 3 4 5
甲 √ √ 甲 √ × √ 甲 × √ √
乙 × × 乙 × × 乙 × ×
则 ．
当后3轮比分为 时，有如下6种情况：
3 4 5 3 4 5 3 4 5
甲 √ √ × 甲 √ √ × 甲 √ × √
乙 √ × × 乙 × √ × 乙 √ × ×
3 4 5 3 4 5 3 4 5
甲 √ × √ 甲 × √ √ 甲 × √ √
乙 × √ × 乙 √ × × 乙 × √ ×则 ．
当后3轮比分为 时，有如下2种情况：
3 4 5 3 4 5
甲 √ √ √ 甲 √ √ √
乙 √ × 乙 × √
则
当后3轮比分为 时，有如下1种情况：
3 4 5
甲 √ √ √
乙 √ √ ×
则 ．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为 的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率
.
21（12分）．设双曲线 的右焦点为 ，F到其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 于点M，
（i）求 的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： .【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为 ，又点 到它的距离为2，
所以 ，又 ，得 ，又因为 ，所以 ，
所以双曲线C的方程为 .
（2）（2）设AB直线方程为 ，则 ，
代入双曲线方程整理得： ，
设 ，则 ， ，
（i）
而
，
所以 ，，则 ，所以 ；
（ii）过M平行于OA的直线方程为 ，
直线OB方程为 与 联立，
得 ，即 ，
则 ，所以 ，由 ， 两式相除得，
，则 ，所以 ，因为 ，所以 ，故P为线段MQ的中点，所以 .
22（12分）．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性，
(2)若 有两个极值点 ，且 ． 恒成立．
①求a的取值范围；
②证明：
【答案】(1)答案见解析(2)① ；②证明见解析
【详解】（1）令 ，即 ．
若 ，即当 时， ， 在 上为增函数．
若 ，即当 时， ．
①若 ，当 时， ；
当 时， ；
即 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数．
②若 ，当 时， ；
当 时， ；
则 在 上为减函数， 上为增函数．
（2）①由（1）知 有两个极值点，则 ，由已知得 ，
则
．令 ，则 ， 在 内单调递减．
， 的取值范围是 ．
②证明 恒成立等价于 成立，即 成立．
令 ，则 ，令 ，则 ，
显然在 上， ，即 在 上为增函数．
当 时， ．
使得 ，即 ，
则 为减函数， 为增函数．
． ．
令 ，则 在 上， ， 在 上单调递增．
，即 ， ，
，则 恒成立．
而已求得 ，即证得 恒成立.
