文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C C D B C A D A C B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14．6 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.【详解】（1）解：根据频率分布直方图得：
；.......2分
估计该校学生每周平均使用手机上网时间为 小时；..................................................................4分
（2）根据题意填写 列联表如下，
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
.................................................................................................................................................................9分
由表中数据，计算 ， 11分
所以 ，
所以本次调查的人数至少有50．........................................................................................................12分18.【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，解得 ；.......1分
当 时， ，
两式相减得 ，即 ．.........................................................................3分
所以当 时， ，
即当 时， ，且 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，..............................................................................5分
所以 ．..........................................................................................................................6分
（2）由（1）知 ，
则 ，.............................................................8分
所以
．........................................10分
因为 ，所以 ．........................................................................................................12分
19.【详解】（1）因为 ，所以 ，故 ．............................1分
连接 ， ，如图．.......................................................................................................................2分
因为 为 的中点，所以 ．
又因为 ，易得 ．由 ， 为 的中点，得 ， ．
所以 ， ．.........................................................................................................4分
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．......................................5分
因为 平面 ，所以平面 平面 ．.......................................................................6分
（2）因为 ， ，所以 ， ．
由 ， ，
得 ，所以 ．
易知 ．..........................................................................................................7分
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ．同理可得 ...................................................................................................9分
则 ，连接 ，则 ．
所以 ．
所以 ．
设点 到平面 的距离为 ，则由 ，................................................................10分
得 ，解得 ．
所以点 到平面 的距离为 ．............................................................................................12分
20.【详解】（1） ，当 时， ，..............................................................1分
由 得 或 ，...................................................................................2分
所以函数 的单调递增区间为 和 ．.....................................................................4分
（2） ．
当 时，令 ，得 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以函数 仅有唯一的极小值点 ，
此时 ，显然符合题意．.....................................................................................6分
当 时，令 ，得 或 ，
若 ，即 ，则 ，
此时 单调递增，无极值点，不符合题意；..............................................................................7分
若 ，即 ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的极小值点 ，
由 得 ，所以 ；..........................................................................9分
若 ，即 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以函数 的极小值点 ，
由 得 ．..........................................11分
综上所述， 的取值范围为 ．.........................................................................12分
21.【详解】（1）因为椭圆 的长轴长为4，所以 ，得 ，.........................................1分
所以椭圆 的方程为 ，
将 代入上式，得 ，得 ，..............................................................................3分
故椭圆 的标准方程为 ．..................................................................................................4分
（2）
设 ，
因为 四点共线，
所以要证 ，即证 ，
即证 ．................................6分
设直线 的方程为 ，即 ，
易知 ，由 ，可得 ．..................................................................................................................................7分
由 ，可得 ，
此时 ，即 ，
从而 ，...............................................................................9分
因此
．.......................................................................................................................................................11分
所以 ．................................................................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.【详解】（1）将 代入 得 ，
所以 ，所以射线l的极坐标方程为 ,.................................................................2分
将 代入 得 ,
所以曲线C的极坐标方程为 ;....................................................................................4分（2）由题可知，可以设 ， ，..............................................................................5分
则 ， ，...............................................................................7分
所以 ,.............................................................................................................................8分
所以 ................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23.【详解】（1）由题知，当 时，原不等式即 ，
当 时，不等式为 ，解得 ；.............................................................1分
当 时，不等式为 ，恒成立；...................................................................2分
当 时，不等式为 ，解得 ，.......................................................................3分
综上，不等式 的解集为 ；..................................................................................5分
（2）因为 ，...........................................................................7分
当且仅当 时不等式取等号，即 ，
所以 ，解得 ，..........................................................................................9分
所以 的取值范围是 .........................................................................................10分
