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期中 B 卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 图中，∠2的度数是（ ）
A. 110° B. 70° C. 60° D. 40°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝60°+20°＝80°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故答案为：D.
【分析】根据外角的性质先求出∠1，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠2.
2. ( 3分 ) 在平面直角坐标系中，若点P(3，a)和点Q(b，－4)关于x轴对称，则a+b的值为( )
A. －7 B. 7 C. 1 D. －1
【答案】 B
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点P(3,a)和点Q(b,−4)关于x轴对称，
∴b=3，a=4，
∴a+b=4+3=7，
故答案为：B.
【分析】由于两点关于x轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答．
3. ( 3分 ) 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
1C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴有一条，符合题意．
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
4. ( 3分 ) 等腰三角形两边长分别是3和8，则它的周长是（ ）
A. 14 B. 19 C. 11 D. 14或19
【答案】 B
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是8，但是3+3＜8，故不构成三角形，舍去．
②若3是底，则腰是8，8．
3+8＞8，符合条件．成立．
故周长为：3+8+8=19．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
5. ( 3分 ) 如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折
到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A. （3，1） B. （﹣3，﹣1）
C. （1，﹣3） D. （3，﹣1）
【答案】 A
【考点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】由A点坐标，得C（﹣3，1）．由翻折，得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．故选：
A．
2【分析】根据A点坐标，可得C点坐标，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得
答案．
6. ( 3分 ) 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1
等于（ ）
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
【答案】 C
【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．
故答案为：C．
【分析】由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．
7. ( 3分 ) 如图所示，在 Rt△ABC 中， ∠C=90°,∠B=45°,AD 是 ∠CAB 的平分线， DE⊥AB
于点 E ， AB=a,CD=m ．给出下列结论：① △ADE 是等腰三角形；② △BDE 是等腰三角形；③
CD=BE ；④ AC=a−m ．其中正确的是（ ）
A. ②③④ B. ①②③④ C. ②③ D. ③
【答案】 A
【考点】角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°,∠B=45° ，
∴∠BAC=45°=∠B，
∴AC=BC，
3∵AD是 ∠CAB 的平分线，∴∠CAD=∠EAD，
∵∠C=∠AED=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DC=DE，
∵BC＞CD，
∴AE＞DE，∴△ADE不是等腰三角形，故结论①不符合题意；
∵ DE⊥AB ，∠B=45°，
∴∠BDE=45°=∠B，
∴△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE=CD，故结论②、③符合题意；
∵ AB=a,CD=m ，∴BE=DE=CD=m，
∴AC=AE=AB－BE=a－m，故结论④符合题意；
综上，结论正确的是②③④．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的判定可得AC=BC，进而可根据AAS证明
△ACD≌△AED，于是可得AE=AC，DC=DE，由BC>CD可得AE>DE，于是可判断①；易得△BDE是等腰
直角三角形，所以BE=DE=CD，从而可判断②，③；由AC=AE=AB-BE可判断④，进而可得答案。
8. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的
周长为20，则△CDE的周长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】 A
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
41
∴DE= AB，
2
1
∴ △CDE的周长 =DC++DE+EC= (BC+AB+AC)=10.
2
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的三线合一定理得出D是BC的中点，于是可知DE是△ABC的中位线，结合
△ABC的周长即可求出△ABC的周长.
9. ( 3分 ) 如图，在正方形 ABCD 中， AB=3 ，点 E ， F 分别在 CD 、 AD 上， CE=DF ，
BE ， CF 相交于点 G ，若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2:3 ，则 ΔBCG 的
周长为（ ）
A. 7 B. 3+√13 C. 8 D. 3+√15
【答案】 D
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【解析】【解答】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
2
∴阴影部分的面积为 ×9＝6，
3
∴空白部分的面积为9−6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
可得△BCE≌△CDF，
1 3
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，∠CBE＝∠DCF，
2 2
∵∠DCF＋∠BCG＝90°，
∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
1 3
设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ ，
2 2
又∵a2＋b2＝32 ，
∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，
即（a＋b）2＝15，
5∴a＋b＝ √15 ，即BG＋CG＝ √15 ，
∴△BCG的周长＝ √15 ＋3，
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的
面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长.
10. ( 3分 ) 如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、
√6
BC、FD上．若BF= ，则小正方形的周长为（ ）
2
5√6 5√6 5√6 10√6
A. B. C. D.
8 6 2 3
【答案】 C
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC=CD=2 √6 ，∠B=∠C=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
EF BF
∴ = ，
DF DC
√6
∵BF= ，
2
3√6
∴CF=
2
65√6
∴DF= √CD2+CF2 = ，
2
√6
EF 2
∴ = ，
5√6 2√6
2
5√6 5√6 5√6
∴EF= ，∴正方形EFGH的周长为 × 4 = ．
8 8 2
故选C．
EF BF
【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得 = 求出EF即可解决问题．本题考查
DF DC
正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的
性质解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11. ( 4分 ) 在△ABC中，AB=AC， ∠A=80° ，则∠C=________°.
【答案】 50
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，
1 1
∴∠C=∠B＝ （180°−∠A）＝ （180°−80°）＝50°.
2 2
故答案为：50.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，再结合三角形的内角和列式求解即可.
12. ( 4分 ) 叙述点在角平分线上的判定是________．
【答案】 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：点在角平分线上的判定是到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
故答案为：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
7【分析】根据角平分线的判定定理解答即可．
2
13. ( 4分 ) 如图，Rt△OAB中，∠B=90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，直线OD：y= x平
3
分∠AOB，交AB于点C，AD⊥x轴，AD=2，则点C的坐标为________。
15 10
【答案】 ( , )
13 13
【考点】一次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
2
∵直线 y= x平分∠AOB，
3
∴∠BOC=∠COA，
∵AD⊥x轴，
∴∠B=∠DAO=∠CEA=90°，
∴∠D+∠COA=90°，∠BOC+∠1=90°，
∴∠D=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠D=∠2，
8∴CA=AD=2；
2
设点C（a， a）
3
2
∴CE= a ， OE=a，
3
∴AE=3-a
在Rt△ACE中
AE2+CE2=AC2,
∴(3−a) 2+
(2a) 2
=22
3
整理得：13a2-54a+45=0
（13a-15）（a-3）=0
15
解之：a = ，a =3
1 13 2
∵3-a＞0，即a＜3
15
∴a= ；
13
2 15 10
则CE= × = ；
3 13 13
15 10
∴点C（ ， ）
13 13
15 10
故答案为：（ ， ）
13 13
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，利用角平分线的定义可得 ∠BOC=∠COA，利用余角的性质可证
2
∠D=∠2，再利用等角对等边，可求出AC的长，利用函数解析式设点C（a， a），就可用含a对的代数
3
式表示出AE，CE的长，然后利用勾股定理建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点C的坐标。
14. ( 4分 ) 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD
沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
9①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2 √5 ．
以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）
【答案】 ①③④
【考点】勾股定理，菱形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2 ，
即42+x2=（8﹣x）2 ，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
10则ME=（8﹣3）﹣3=2，
由勾股定理得，
EF= √M F2+M E2 = √42+22 =2 √5 ，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故答案为①③④．
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平
行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判
断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点
G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确。
15. ( 4分 ) 如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=20°,∠C=30°,求∠DAE的度数________.
【答案】 5°
【考点】三角形内角和定理，角平分线的定义
【解析】【解答】解： ∵ 在△ABC中，∠B=20°,∠C=30°
∴ ∠BAC=180°-20°-30°=130°
又 ∵ AE平分∠BAC
1 1
∴ ∠EAC= ∠BAC= × 130°=65°
2 2
又 ∵ AD⊥BC
∴ △ADC为直角三角形，∠ADC=90°
∴ 在△ADC中: ∠DAC=180°-∠ADC -∠C =180°-90°-30°=60°
∴ ∠DAE=∠EAC-∠DAC=65°-60°=5°
1
【分析】利用三角形的内角和求出∠BAC=130°，由角平分线的定义可得∠EAC= ∠BAC=65°，在
2
Rt△ADC中，利用三角形的内角和求出∠DAC=60°，由∠DAE=∠EAC-∠DAC即可求出结论.
1116. ( 4分 ) 如图.在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，则∠BAD=________.
【答案】 40°
【考点】三角形全等及其性质，直角三角形全等的判定（HL），等腰三角形的性质，三角形全等的判定
（AAS），角平分线的定义
【解析】【解答】∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵∠B=∠C=50°
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴ED=FD；
又∵∠AED=∠AFD=90°，AD为公共边，
∴△AED≌△AFD（HL），
∴∠EAD=∠FAD，即AD为∠BAC的角平分线，
1 1
∴∠BAD= (180°−∠B−∠C)= ×(180°−50°−50°)=40°.
2 2
故答案填：40°.
【分析】据AAS易证得△BDE≌△CDF，可得ED=FD，据三角形全等的判定HL易证得△AED≌△AFD，即
可得∠EAD=∠FAD，即AD为∠BAC的角平分线，即可得∠BAD的度数．
8
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数 y=− （x<0） 交于点A，与反
x
k
比例函数 y= (x>0) 交于点B，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两直线交于点C，若
x
ΔABC 的面积为9，则k的值为________.
12【答案】 -2
【考点】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质
−8 k
【解析】【解答】解：设A(a， )，B(b， )，AC交x轴于点D，BC交y轴于点E，
a b
由题意得：k＜0，a＜0，b＞0，
k k −8 k
∴ S =4 ， S =| |=− ，AD= ，OE= − ，
△AOD △BOE 2 2 a b
∵AD∥OE，OD∥BE，
∴∠DAO=∠EOB，∠AOD=∠OBE，
∴∆DAO~∆ EOB，
−8 2
S AD 2 4 a
∴ △AOD=( ) ，即： =( ) ，化简得： a2k=−8b2 ，
S OE k k
△BOE − −
2 b
−8b2
∴ k= ，
a2
∵ ΔABC 的面积为 9 ，
13−8 k
∴（b-a）（ - ）=18，化简： a2k−8b2=10ab+kab ，
a b
∴ −16b2=10ab+kab ，即： −16b=10a+ka ，
b 2 b b 1 b 5
∴ 4( ) -8 -5=0 ，解得： =− 或 = （不合题意，舍去），
a a a 2 a 2
−8b2
∴ k= =-2.
a2
故答案是：-2.
−8 k
【分析】设A(a， )，B(b， )，AC交x轴于点D，BC交y轴于点E，易得∆DAO~∆ EOB，从而得
a b
S AD 2 −8b2 b
△AOD=( ) ，进而得 k= ，由 ΔABC 的面积为9，得 −16b=10a+ka ，进而得到关于
S OE a2 a
△BOE
的方程，即可求解.
18. ( 4分 ) 如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接
C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直
平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)
【答案】 ①②④
【考点】三角形的外角性质，角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A C' =AC，DC=D C' ，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都符合题意；
∵B C' ＝D C' ， DC=D C' ，
14∴B C' ＝D C' = DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC C' ；
∴③不符合题意；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠A C' D=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴∠6+∠5=∠3,
∴ ∴∠DCE=∠3,
∴D C' ∥EC
∴④符合题意；
故答案为：①②④.
【分析】根据角平分线的性质和三角形的外角对每个结论一一判断求解即可。
三、解答题
19. ( 5分 ) 如图，AC=AE，BC=DE，AB=AD．求证：∠1=∠2．
【答案】 证明：在△ABC和△ADE中，
AB=AD，BC=DE，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC
即∠1=∠2．
15【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用边边边证明△ABC≌△ADE，从而可得∠BAC=∠DAE，再减去一个∠DAC即可得
∠1=∠2．
20. ( 5分 ) 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∠ADE=∠CBF
∵ {∠EDA=∠FCB=90° ，
AE=CF
∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【解析】【分析】由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，
根据平行四边形的判定判断即可．本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判
定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
21. ( 12分 ) 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO
到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG•FD.
16【答案】 证明：连结BF、BG.
∵在△AEO和△BFO中，
EO=FO
{∠AOE=∠BOF ，
AO=BO
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE＝BF.
又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，
∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴∠FBD＝90°，
又∵BG⊥FD，
∴△FGB∽△FBD，
BF FG AE FG
∴ ＝ ，即 ＝ ，
DF FB FD AE
∴AE2＝FG•FD.
【考点】全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和
平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论.
四、作图题
22. ( 5分 ) 已知：如图，已知△ABC，
17（1）画出与△ABC关于 轴对称的图形△AB C .
1 1 1
（2）求△ABC的面积.
【答案】 （1）如图所示：
1 1 1
（2）△ABC的面积 =4×3− ×2×2− ×2×3− ×4×1=12−2−3−2=5
2 2 2
【考点】作图﹣轴对称，几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A,B,C三点关于x轴的对称点
A,B ,C ， 顺次连接即可；
1 1 1
（2）把△AB C 放在一个长为4、宽为3的长方形内，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可
1 1 1
得到结果.
1823. ( 10分 ) 如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)
（2）在 (1) 所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.
【答案】 （1）解：如图所示：
（2）解：连接OD，设圆的半径为r 在△ABE和△DCE中，∠BAE=∠CDE ∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
1
在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30° ∴AB= AC=r
2
∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC=45° ∴∠DOC=2∠DBC=2×45°=90°
∵OD=OC=r ∴△ODC为等腰直角三角形 ∴CD= √OD2+OC2 = √2 r
S AB 2 r 1
∴ △ABE =( ) =( )2=
S DC √2r 2
△CDE
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作图-角的平分线
【解析】【分析】根据角平分线的做法作出图形；连接OD，首先设圆的半径为r，根据∠BAE=∠CDE，
∠AEB=∠DEC得出△ABE和△DCE相似，根据Rt△ABC中∠ACB=30°得出AB=r，根据角平分线得出
∠DBC=45°，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出∠DOC=90°，结合OD=OC得出△ODC为等腰直
角三角形，则CD= √2 r，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出答案.
五、综合题
24. ( 6分 ) 如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、
19AC上，已知EP=FP=4，EF=4√3 ， ∠BAD=60°，且AB＞4√3 ．
（1）求∠EPF的大小。
（2）若AP=6，求AE+AF的值。
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小
值
1
2
【答案】 （1）解：如图1， 过点P作PG⊥EF于G，∵PE=PF，∴FG=EG=
1
EF=2√3 ， ∠FPG=∠EPG= ∠EPF，
2
FG 2√3 √3
在△FPG中，sin∠FPG= = = ，
PF 4 2
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°
（2）解：如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是菱形，
20∴AD=AB，DC=BC，
{AD=AB
)
在△ABC与△ADC中， CD=BC
AC=AC
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴PM=PN，
{PM=PN)
在R△PME于R△PNF中，
t t PE=PF
∴R△PME≌R△PNF，
t t
1
∴FN=EM，在R△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM= ∠DAB=30°，∴AM=AP•cos30°=3√3 ， 同理AN=3
t 2
√3 ，
∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6√3；
（3）解：如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP
有最小值， 设AC与EF交于点O，∵PE=PF，
1
∴OF= EF=2√3 ，
2
∵∠FPA=60°，∴OP=2，∵∠BAD=60°，∴∠FAO=30°，∴AO=6，∴AP=AO+PO=8，同理AP′=AO﹣
OP=4，
∴AP的最大值是8，最小值是4．
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【解答】（1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，R△PME≌R△PNF，问题即可
t t
得证；
（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最
小值解直角三角形即可解决问题．
21【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定性质，另外还考查到了解直角三角形和三角形全等以及最值
等问题。
25. ( 15分 ) 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到
△C OD ， 旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 、BD ， AC 与BD 交于点P．
1 1 1 1 1 1
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．请直接写出AC 与BD 的数量关系和位置关系．
1 1
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC 与BD 的数量关系和位置关系，并给出证
1 1
明；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD ， 设AC =kBD ， 请直接写
1 1 1
出k的值和AC 2+（kDD ）2的值．
1 1
【答案】 （1）解：AC =BD ， AC ⊥BD ；
1 1 1 1
理由：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C OD ，
1 1
∴OC =OC，OD =OD，∠COC =∠DOD ，
1 1 1 1
∴OC =OD ， ∠AOC =∠BOD =90°+∠AOD ，
1 1 1 1 1
22AO=OB
在△AOC 和△BOD 中 {∠AOC1=∠BOD1 ，
1 1
OC1=OD1
∴△AOC ≌△BOD（SAS）；
1 1
∴AC =BD ，
1 1
∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD =90°，
1
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC =90°，∴∠APB=90°，则AC ⊥BD ；
1 1 1
故AC 与BD 的数量关系是：AC =BD ；AC 与BD 的位置关系是：AC ⊥BD
1 1 1 1 1 1 1 1
3
（2）解：AC = BD ， AC ⊥BD ．
1 4 1 1 1
理由：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD．
2 2
∵△C OD 由△COD绕点O旋转得到，
1 1
∴O C =OC，O D=OD，∠CO C =∠DO D ．
1 1 1 1
∴O C =OA，O D=OB，∠AO C =∠BO D ，
1 1 1 1
OC OD
∴ 1 = 1 ．
OA OB
OC OA
∴ 1 = ．
OD OB
1
∴△AO C ∽△BOD ．
1 1
∴∠O AC =∠OB D ．
1 1
又∵∠AOB=90°，
∴∠O AB+∠ABP+∠OB D =90°．
1
∴∠O AB+∠ABP+∠O AC =90°．
1
23∴∠APB=90°．
∴AC ⊥BD ．
1 1
∵△AO C ∽△BOD ，
1 1
1
AC
AC OA 2 AC 6 3
∴ 1 = = = = = ．
BD OB 1 BD 8 4
1 BD
2
3
即AC = BD ， AC ⊥BD
1 4 1 1 1
（3）解：如图3，与（2）一样可证明△AOC ∽△BOD ，
1 1
AC OA AC 1
∴ 1 = = = ，
BD OB BD 2
1
1
∴k= ；
2
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C OD ，
1 1
∴OD =OD，
1
而OD=OB，
∴OD =OB=OD，
1
∴△BDD 为直角三角形，
1
在Rt△BDD 中，
1
BD2+DD2=BD2=144，
1 1
∴（2AC ）2+DD2=144，
1 1
∴AC 2+（kDD ）2=36．
1 1
【考点】相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质得出对应边相等，各点旋转角相等可推出全等，再
根据全等的性质可得出结论；（2）类比（1）的思路方法，可得相似，由对应边成比例，对应角相等可得
24结论；（3）类比（2），一样可证明△AOC ∽△BOD ， 再由旋转的性质可推出△BDD 为直角三角形，
1 1 1
再等量代换可得结论.
25
