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第三章 图形的平移与旋转
3.1 图形的平移
第3课时 坐标系中的点沿x轴、y轴的两次平移
【素养目标】
1.能准确描述点在平面直角坐标系中经过两次平移后，坐标的变化规律．
2.能正反推导两次平移的方向和距离，培养“正向计算”与“逆向推理”的双向运算能
力．
3.在探究规律的过程中，感受数学的严谨性与规律性，激发对坐标几何的兴趣．
重点：掌握点两次平移后坐标的变化规律．
难点：理解平移顺序不影响最终结果，突破“正向计算易、逆向推理难”的思维转
换．
【复习导入】
在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
1. (x，y) → (x，y＋4)
2. (x，y) → (x，y－2)
3. (x，y) → (x－1，y)
4. (x，y) → (x＋3，y)
思考：(x，y) → (x－3，y＋4)
A ( x，y ) 向左平移 3 个单位 ___________ 向上平移 4 个单位 ___________
A 经过两次平移到 C，能否经过一次平移到 C 呢？
【合作探究】
探究点：坐标系中图形的两次平移
[合作探究]
问1：A 点先向下平移 2 个单位长度，再向右平移
3 个单位长度得到 A′ ，你能找到 A′ 的位置吗？
第 1 页问2：(1)你还能想到其他的平移方式吗？
(2) A 点能否通过一次平移到达 A′ 点的位置？若能，请指出平移方向和距离？
问3：观察 A 点和 A' 点的坐标，有何变化？
[合作探究]
先将图中的“鱼”F 向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到新
“鱼”F'.
(1) 在图所示的平面直角坐标系中画出“鱼”F'.
(2) 能否将“鱼”F' 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的？
如果能，请指出平移的方向和平移的距离，并与同伴交流.
(3) 在“鱼”F 和“鱼”F' 中，对应点的坐标之间有什么关系？
[尝试·思考]
先将图中的“鱼”F 的每个“顶点”的横坐标分别加 2，纵坐标不变，得到
“鱼”G；再将“鱼”G 的每个“顶点”的纵坐标分别加 3，横坐标不变，得到
“鱼”H. “鱼”H 与原来的“鱼”F 相比有什么变化？
“鱼”F 各
“顶点”坐 (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (4,-2)
标
“鱼”G 各
“顶点”坐
标
“鱼”H 各
“顶点”坐
标
问题：能否将
“鱼”H 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的？与同伴交流.
第 2 页[归纳总结]
一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么
变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度
向右平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度
向左平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度
向左平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度
一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过
一次平移得到的.
[典例精析]
例1 四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A (－3,5) ，B (－4,3)，C (－1,1)，D (－
1,4)，将四边形ABCD 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，得到
四边形 A′B′C′D′.
(1) 四边形 A′B′C′D′ 与四边形ABCD 对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别
写出点 A′，B′，C′，D′ 的坐标.
(2) 如果四边形 A′B′C′D′ 看成是由四边形 ABCD 经过一次平移得到的，请指出这一
平移的平移方向和平移距离.
[练一练]
1. 将点 A(3，2) 向上平移 2 个单位长度，向左平移 4 个单位长度得到 A ，则 A
1 1
的坐标为 .
第 3 页2. 在平面直角坐标系中，将点 A(1，－2) 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个
单位长度，得到点 A′，则点 A′ 的坐标是 ( )
A. (－1，1) B. (－1，－2) C. (－1，2) D. (1，2)
3. 如图，A，B 的坐标为 (2，0)，(0，1)，若将线段 AB 平移至 A B ，则 a＋b 的值
1 1
为 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
当堂反馈
1.点P是由点Q(－3，5)先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的，
则点P的坐标是( )
A.(2，2) B.(－2，8)
C.(－2，2) D.(－6，10)
2.点M(3，－1)经过平移得到点N，点N的坐标为(2，1)，
那么平移方式是 .
3.如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中A(－2，4)平移到D(2，2)，则B(a，b)平移
后的对应点E的坐标是 .
4.在平面直角坐标系中，点P(a＋4，b＋8)先向左平移3个单位长度，再向下平移6个
单位长度后落在第三象限，则点Q(a，b)在第 象限.
5.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.将△ABC向右平移6个单位长度得到
△A B C ，再将△A B C 向下平移4个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C 和
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1
△A B C ，并写出点C 的坐标.
2 2 2 2
第 4 页参考答案
【复习导入】
1.向上平移 4 个单位
2.向下平移 2 个单位
3.向左平移 1 个单位
4.向右平移 3 个单位
思考：B (x－3，y) C (x－3，y＋4)
【合作探究】
探究点：坐标系中图形的两次平移
[合作探究]
问3：A(2，1) A'(5，－1)
[合作探究]
(2) 平移方向是点 O(0，0) 到 点A(3，-2) 的方向，平移距离是 OA＝ √13 .
(3) 横坐标加 3，纵坐标减 2.
[尝试·思考]
问题：结论：1. 形状、大小相同，只是位置改变 ，先向右平移了 2 个单位长度，再
向上平移了 3 个单位长度.
2. 可以将“鱼”H 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的，平移方向是点 (0,0) 到点
(2,3) 的方向，平移距离是 √13.
[归纳总结](x＋a , y＋b) (x＋a , y－b) (x－a , y＋b) (x－a , y－b)
[典例精析]
例1 (1) 解：四边形 A′B′C′D′ 与四边形 ABCD 对应点的横坐标分别增加了 4，纵
坐标分别增加了 3，
A′ (1，8)，B′ (0，6)，C′ (3，4)，D′ (3，7).
(2) 解：平移方向是 A 到 A′，
如图所示；平移距离是 AA' 的长，由勾股定理得 AA' = 5.
第 5 页[练一练] 1.(－1，4) 2. A 3. A
当堂反馈
1. A
2.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度(或先向上平移2个单位长度，
再向左平移1个单位长度) .
3. ( a ＋ 4 ， b － 2 ) .
4. 三 .
5.解：如图所示，点C 的坐标为(1，－3).
2
第 6 页
