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第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·山东淄博·八年级期末）如果线段 ， ，且b是线段a和c的比例中项，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段比例中项的概念可得 ，再根据 ， ，可得 ，即可求出答案．
【详解】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，关键是根据比例中项的概念列出算式．注意线段不能是负数．
2．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校九年级阶段练习）若y﹣2x＝0，则x：y等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【分析】根据比例的基本性质解答即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质求解．3．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴设a=3k，b=5k，
∴ =4，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．x＝6，y＝7 B． C．y﹣x＝1 D．
【答案】B
【分析】利用设k法依次判断各个选项即可．
【详解】∵ ，
∴设x＝6k，y＝7k，
A、x＝6，y＝7，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、y﹣x＝7k﹣6k＝k，故C不符合题意；
D、
∴
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．注意 并不表示x=6，y=7．5．（2021·福建东盛集团股份有限公司九年级期中）下列各组线段中，不成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的
积，相等即成比例；不相等即不成比例．
【详解】A 、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;
B 、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;
C 、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;
D 、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.
故选 B．
【点睛】本题考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，若最长
和最短两条线段之积与另两条线段之积相等，则说明四条线段成比例．
6．（2021·安徽亳州·九年级阶段练习）若 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．
【详解】解： ，
∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．
二、填空题
7．（2021·福建·漳州三中九年级期中）若 ，则 =__．
【答案】0【分析】设 ＝t，则x＝2t，y＝7t，z＝5t，然后把x＝2t，y＝7t，z＝5t代入代数式中进行分式的
化简运算即可．
【详解】解：设 ＝t，则x＝2t，y＝7t，z＝5t，
所 ．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性
质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
8．（2021·山东济南·九年级期中）若 ，则 ____．
【答案】 ##
【分析】根据比例设 ， ，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解： ，
设 ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设 法”求解更简便．熟练掌握比的基本性质是解题的关键．
9．（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）已知a＝1，b＝4，则a，b的比例中项c的值为
________．
【答案】±2
【分析】根据比例中项的概念得到 ，再根据平方根的定义求得c即可．
【详解】解：∵c为a、b的比例中项，
∴ ，
∵a＝1，b＝4，
∴ ，
解得：c=±2，
故答案为：±2．【点睛】本题考查比例中项的概念、平方根的求法，熟练掌握比例中项的概念得到 是解答的关键，
注意正数的平方根有两个，且互为相反数．
10．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，
也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称
物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．
图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为 ，砝码的重量为 ，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为 ，砝码的重量为 ，依题意得，
，
解得 ，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如果 （b+d+f≠0），且a+c+e＝5
（b+d+f）．求k的值．
【答案】5
【分析】根据比例的性质求得 ，代入a+c+e＝5（b+d+f），即可求解．
【详解】解：∵ ，
，
a+c+e＝5（b+d+f）．
，
∴k＝5．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．12．（2022·全国·九年级专题练习）已知a：b＝3：2，求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据已知条件设a∶b=3：2=k（k≠0），得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可
得出答案；
（2）根据已知条件设a∶b=3：2=k（k≠0），得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案；
（1）
解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k（k≠0），
；
（2）
解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k（k≠0），
．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单．
13．（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两
外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【详解】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，
x＝ （负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3 ．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·湖南·岳阳市第十九中学九年级期末）若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据 可得 ，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得
结果．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．
2．（2022·江西景德镇·九年级期末）已知 ，且 ，则 ______．
【答案】8
【分析】设 ，则 ，代入 ，求出k的值即可得到a的值．【详解】解：设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．
3．若3是x和4的比例中项，则x的值为___________
【答案】
【分析】根据比例中项的定义，得到 ，解方程即可．
【详解】∵3是x和4的比例中项，
∴ ，
∴x= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例中项即若 ，则b是a，c的比例中项，一元一次方程的解法，正确理解比例
中项的定义，构造方程是解题的关键．
4．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数 ， ， 满足 ，设 的最大值
为 ，最小值为 ，则 的值为 __．
【答案】 +##0.6875
【分析】设 ，则 ， ， ，可得 ；利用a，b，c为非
负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，
．
， ， 为非负实数，，
解得： ．
当 时， 取最大值，当 时， 取最小值．
，
．
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设 是解题的关
键．
二、解答题
5．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ＝ ＝ ，求 的值．
【答案】－1
【分析】设 ＝ ＝ ＝k，则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，把三式相加得到a+b+c=6k，再
利用加减消元法可计算出a=2k，b=k，c=3k，然后把a=2k，b=k，c=3k代入 中进行分式的化简求值
即可．
【详解】解：设 ＝ ＝ ＝k，
则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，
三式相加得a+b+c=6k ①
用①式分别减去上述三个式子，可得出
解得a＝2k，b＝k，c＝3k，所以 ＝ ＝－1．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知 =k，求k2-3k-4的值．
【答案】- 或6．
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得 =k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可
计算出k的值．
【详解】∵ =k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得， =k，
k= = ；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k= =-2；
当k= 时， ；
当 时， ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
7．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28
（1）求a、b的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4 ．
【分析】（1）利用 ，可设 ， ，则 ，然后解出 的值即可得到 、 的值；
（2）根据比例中项的定义得到 ，即 ，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】解：（1）
设 ， ，
，，
，
， ；
（2） 是 的比例中项，
，
是线段， ，
．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段 、 、 、 ，如果其中两条线段的比
（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即 ，我们就说这四条线段是成比例线
段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
8．（2022·全国·九年级专题练习）（1）若 = ，求代数式 的值；
（2）已知 = = ≠0，求代数式 的值．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先把原式化为 ，进而可得出结论；
（2）直接利用已知得出 ，进而代入原式求解．
【详解】解：（1）∵ = ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 = = =k，则 ，
∴ = ．
【点睛】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k表示a、b、c．
