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期末冲刺卷（三）
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·江苏九年级一模）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、
其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（2020·安徽九年级二模）不等式3﹣x≤1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：3﹣x≤1，
移项得：﹣x≤1﹣3，
∴﹣x≤﹣2，
不等式的两边都除以﹣1得：x≥2，
即在数轴上表示不等式的解集是：
，
故选：C．
3．（2021·福建九年级一模）据报道，研究人员通过研究获得了纯化灭活新冠病毒疫苗，该疫苗在低温电
镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为 ，已经 ，则 用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：90纳米=90× 米=9× 米,
故选：C．
4．（2021·浙江杭州市·九年级一模）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示
的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长 B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长 D．三种图形的制作所用铁丝一样长
【答案】D
【详解】
解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
5．（2020·陕西西安市·交大附中分校八年级月考）如果多项式 的一个因式是
，那么另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：原式=
故选A
6．（2021·浙江湖州市·九年级一模）解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
解：
方程两边同乘以(x-3)得，
故选：A．
7．（2021·天津滨海新区·九年级一模）如图， 为 的中线，将 沿着 翻折得到
，点B的对应点为E， 与 相交于点F，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由翻折可知， ，
∵ 为 的中线，
∴D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故一定正确的选C．
8．（2020·浙江八年级期中）学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度
的三角板作 的角平分线，根据提供的条件，无法判断 是角平分线的是（ ）A． ，P为 中点 B． ，
C． ， D． ，P为 中点
【答案】D
【详解】
解：A、OC=OD，CP=DP，OP=OP，根据SSS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合
题意；
B、CD∥OB，可得∠CPO=∠POB，再由OC=CP，可得∠CPO=∠COP，可得∠POB=∠COP，故不符合题
意；
C、OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE，根据SAS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不
符合题意；
D、CD⊥OB，PC=PD，而PC和OA不垂直，不能判定∠POC=∠POD，故符合题意；
故选D．
9．（2021·安徽合肥市·合肥38中八年级期中）已知 ， 是线段 上的两点， ，
，以点 为圆心， 长为半径画弧；再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，则
一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】
解：如图所示，
AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故选：B．10．（2021·重庆江北区·九年级期中）某种商品的进价为500元，出售时标价为750元，由于换季，商店
准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【答案】C
【详解】
解：设该服装打x折销售，
依题意，得： ，
解得：x≥8．
故选：C．
11．（2021·淮阳第一高级中学七年级期中）若不等式组 的解集是 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
∵由①得，x＞4-2a；
由②得，x＜ ，
∵不等式组 的解是0＜x＜2，
∴此不等式组的解集为：4-2a＜x＜ ，
∴4-2a=0， =2，
解得a=2，b=-1，
∴a+b=1．
故选A．
12．（2021·浙江八年级月考）如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，
且 ，G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则
与 之间的等量关系是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S =S = S =s，
AOB BOC 平行四边形ABCD
△ △
∵EF= AB，3GH=BC，
∴S= s，S= s，
1 2
∴ ，
故选：B．
13．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）已知关于x的方程 ＝3的解是正数，那么m的取
值范围为（ ）
A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6且m≠2 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
【答案】C
【详解】
将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6
解得：x=m+6．
∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m＞-6．
∵分式的分母不能为0，
∴x-2≠0，
∴x≠2，即m+6≠2．∴m≠-4．
故m＞-6且m≠-4．
故选C．
14．（2020·浙江八年级期末）在面积为15的平行四边形 中，过点A作 垂直于直线 于点
E，作 垂直于直线 于点F，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
①如图：
由平行四边形面积公式得： ，
求出 ， ，
在 和 中，由勾股定理得： ，
把 ， 代入求出 ，
同理 ，即 在 的延长线上（如上图），
， ，
即 ，
②如图：， ，在 中，由勾股定理得： ，
同理 ，由①知： ， ，
．
故选： ．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·北京人大附中九年级开学考试）在命题“对于实数a，b，若 ▲ ，则a2 b2”的“▲”处填
上下面的条件之一，①a b；②|a| b，③ ，④a4 b4，所有能使这个命题成为真命题的条件为
_____（填序号）．
【答案】②③④．
【详解】
解：由a b；令
＞ 故①不符合题意，
＜
＜ 故②符合题意，
，
＞ ＞ 且 ＜
＜ 故③符合题意，
＜
＜
＜ 故④符合题意，
故答案为：②③④．
16．（2021·浙江九年级二模）分解因式： ________．【答案】
【详解】
解： ；
故答案为 ．
17．（2021·全国八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到
的位置，点B，O（分别落在点 ， 处，点 在x轴上，再将 绕点 顺时针旋转到
的位置，点 在x轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行
下去，…，若点A(3，0)，B(0，4)，AB=5，则点 的坐标为________．
【答案】(12128，0)
【详解】
解：由题意可得：A(3，0)， (3+5,0)， (3+5+4，0)，
，
即 ，
由上可知，从 ，纵坐标为0不变，
横坐标变为： ，
∵20=8+12× ，
∴ 的横坐标为 ，
故答案为（12128，0）．
18．（2021·全国八年级期末）如图，在 中， ，若将 平移6个单位长度得到
，点 、 分别是 、 的中点，则 的最大值是______．【答案】8
【详解】
如图，取 的中点M，连接PM，MQ，
根据题意可得：PM=6， ，．
∵点M是 的中点，点Q是 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
∴PQ的最大值为8．
故答案为：8．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·陕西西安市·八年级月考）分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【详解】
解：（1）原式 ．（2）原式 ．
（3）原式 ．
20．（2021·全国八年级期末）在如图的直角坐标系中，画出函数 的图象，并结合图象回答下
列问题：
（1） 的值随 值的增大而______（填“增大”或“减小”）；
（2）图象与 轴的交点坐标是______；图象与 轴的交点坐标是______；
（3）当 ______时， ．
【答案】（1）减小；（2） ， ；（3）
【详解】
解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴函数 过点 、 ，函数图象如图所示；
（1）由图象可得，
的值随 值的增大而减小，故答案为：减小；
（2）结合（1）与图象可得，
图象与 轴的交点坐标是 ，图象与 轴的交点坐标是 ，
故答案为： ， ；
（3）由图象可得，
当 时， ，
故答案为： ．
21．（2021·泗水县教育和体育局教学研究中心九年级一模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
点D、E分别为AB、AC上的点，将∠A沿直线DE翻折，使点A落在点C处．
（1）用尺规作图作出直线DE；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）若AD= ，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）解：如图，DE即为所求作的直线；
（2）解：如图，连接CD，由翻折的性质，得AD=CD，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠BCD=36°，
∴∠CDB=∠B=72°，
∴BC=CD，∴BC=AD，
∵AD= ，
∴ ．
22．（2019·浙江八年级期中）如图①，点 分别是等边 边 上的动点（端点除外），
点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续 交于点M．
（1）求证： ；
（2）点 分别在 边上运动时， 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的
度数．
（3）如图②，若点 在运动到终点后继续在射线 上运动，直线 交点为M，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120°
【详解】
解：（1）证明：如图1， 是等边三角形，
， ，
又 点 、 运动速度相同，
，
在 与 中，
，
；（2）点 、 在 、 边上运动的过程中， 不变．
理由： ，
，
是 的外角，
，
，
；
（3）如图，点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动时， 不变．
理由：同理可得， ，
，
是 的外角，
，
，
即若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动， 的度数为 ．
23．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以 千米/小时的速度到达中点，再以 千米/小时的速度到达B地．乙从A
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为
千米，乙距离终点为 千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探
索a，b应满足的条件．
【答案】（1） 小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是 ．
【详解】（1）由题意得： ，
，
（小时），
答：走完全程所用的时间为 小时；
（2）甲走完全程所用的时间为 ，
乙走完全程所用的时间为 ，
因为 ，
所以乙先到；
（3）设 ，则 ，
整理得： ，
∵分式 对一切有意义的 值都有相同的值，
∴k的值与x的取值无关，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故a，b应满足的条件是 ．
24．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民
依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售
到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二
次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月
份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；
12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量
的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到
2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
【答案】（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨后
的销售总金额为163500元．
【详解】
（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：
，
解得， ，
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得，
，
解得，m=8，
经检验，m=8是原分式方程的解，
故11月份购进的A商品数量为 （件），
12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），
（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
25．（2020·辽宁葫芦岛市·九年级一模）已知： 是等腰直角三角形，点 在斜边 所在的直线上，
连接 ，以 为腰作等腰直角三角形 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接
， ， ， ．
（1）如图①，当点 在线段 上时，求证： ；
（2）如图②，当点 在线段 延长线上时，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不
成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）当点 在线段 延长线上时，试判断四边形 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不成立；正确结论 ，理由见解析；（3）四边形
是平行四边形，理由见解析
【详解】
证明：（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）（1）中的结论不成立，正确结论为 ，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
（3）四边形 是平行四边形，理由如下：
如图，设 与 交于 点，
∵ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
且 ， ，
∴ ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
26．（2019·浙江杭州市·八年级期中）如图1，已知 ，将 绕 点顺时针旋转
得到 ， 与 相交于 ．（填一填）当 ， ，则 ________；
（证一证）求证： 平分 ．
（用一用）若 ，当 ________， 为等腰三角形．
（想一想）如图2， ， ，当 落在 上时，求 的长，并请说明理由．
【答案】[填一填]25°；[证一证]证明见解析；[用一用]α=40°或 20°；[想一想] ．
【详解】
解：[填一填]∵∠BAC=90°，ACB=30°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°，
根据旋转性质可知，
∠D=∠B=60°，∠BAD=α=25°，
∵∠B+∠BAD=∠D+∠BFD，
∴∠BFD=∠BAD=25°，
故答案为：25°；
[证一证]过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥BE于N，∴∠AMB=∠AND=90°，
由旋转性质可知，∠B=∠D，AB=AD，
在△AMB和△AND中，
∴△AMB≌△AND(AAS)，
∴AM=AN，
∵AM⊥BF，AN⊥BE，
∴AF 平分 ∠BFE；
[用一用]由[填一填]知 ∠BFD=α，
∴∠GFC=∠BFD=α，
∴∠AGF=∠GFC+∠ACB=α+30°，
∠BFE=180°-∠GFC=180°-α，
由[证一证]知AF平分∠BFE，
，
，
(1) AF=AG 时，
∠AFG=∠AGF，
解得 α=40°；
(2) FA=FG 时，
∠FAG=∠AGF，
,解得 α=20°；
(3) GA=GF时，
∠FAG=∠AFG，
，
α 无解，
综上，α=40°或 20°，
故答案为：α=40°或 20°；
[想一想] ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
△ ，
由旋转性质可知, ABC≌△ADE，
∴AB=AD=3，AC=AE=4，BC=DE=5，∠BAD=∠CAE=α，
△
，
，
，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，
过A作AH⊥BD于H，
∵AB=AD，
，，
，
，
，
，
．
