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第 02 讲 用关系式、图象表示变量间的关系
课程标准 学习目标
1.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对
应思想；
①关系式表示变量间的关系 2.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来；
②图形表示变量间的关系 3.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得
对图象反映变量之间关系的体验；
4.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化.
知识点01 用关系式表示变量之间的关系
表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．
注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；
（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；
（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．
（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求
出相应的因变量的值，反之亦然；
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高
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学科网（北京）股份有限公司度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小琛对某地距离
地面的高度 与温度 测量得到的表格．写出 随 变化的关系式 ．
距离地面的高度 0 1 2 3 4
2
温度 14 8 2
0
2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一支 长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉 ，用 表示燃烧后
蜡烛的长度， 表示燃烧的时间，那么y与 之间的关系式是 ．
知识点02 利用关系式求值
根据关系式求值实际上就是求代数式的值．
注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变
量的值实质是解方程．
特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
【即学即练2】
3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形 的四个顶点在互相平行的两条直线上，
，当点 ， 在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________；
(2)如果长方形的长 为 ，那请用含 的式子表示长方形 的面积 ；
(3)当长方形的长 从 变到 时，长方形的面积怎么变化？
4．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为 的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖
去一个小圆的半径 由小变大时，剩下的一个圆环面积 也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，因变量是 ．
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学科网（北京）股份有限公司(2)写出剩下的圆环面积 与小圆的半径 的关系式： ．
(3)当挖去圆的半径为 时，剩下的圆环面积为多少 ？ 结果保留
知识点03 用图象表示变量之间的关系
图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．
图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关
系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．
行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述
行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．
【即学即练3】
5．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容
器中水的高度与时间的关系（ ）
A． B． C． D．
E．
6．（2025·河南郑州·二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为 （m），所经
过的时间为 （min），下列选项中的图象，能近似刻画 与 之间的关系的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
知识点04 从图象中获取信息
（1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变
量取什么值；
（2）利用图象可以判断因变量的变化趋势；
（3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表
格或关系式．
特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可
以充当重要角色.
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
【即学即练4】
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（单位：
m）与旋转时间x（单位： ）之间的关系如图②所示．
根据图中的信息，回答下列问题：
(1)根据图②补全表格；
旋转时间 1
0 3 6 8 …
x/ 2
高度y/m 5 5 5 …
(2)根据图象，求出摩天轮的直径．
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学科网（北京）股份有限公司旋转时间x/ 0 3 6 8 12 …
高度y/m 5 70 5 54 5 …
8．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一
个问题情境
已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市 ，超市离图书馆 ．小明从家
出发，匀速步行到超市，在超市停留 分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了 ，然后骑行
返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离 与离家的时间 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)根据图中数据填写下表：
小明离家的时间
小明离家的距离
(2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度
题型01 用关系式表示变量之间的关系
例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不
紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升，则从计时开始，拧不紧的水龙头所滴的水 （毫升）与时间 （秒）之
间的关系式是 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油
0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式
为（写出自变量取值范围） ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）用总长为 的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单
位： ）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量；
（2）运动员在 一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度 （单位：
）之间的关系式，及当 时，t的值．
3．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，
出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗
油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代
数式表示Q）；
(2)当 （千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？
请说明理由．
题型02 利用关系式求值
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试） 背景资料：
“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．
低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下
列问题：
(1)若 表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为 ，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为
_____；
(2)在上述关系中，耗油量每增加 ，二氧化碳排放量就增加_____ ，当耗油量从 增加到 时，二氧
化碳排放量就从_____ 增加到_____ ；
(3)小明家本月家居用电约 ，天然气 ，自来水 ，开私家车耗油 ，请你计算一下小明家
这几项二氧化碳排放量的总和．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，
亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表．
每天看的页 1
15 20 30 …
数/页 2
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学科网（北京）股份有限公司2
需要的天数/天 20 15 10 …
5
(1)这本书共有多少页？
(2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？
(3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？
2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上
升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻
距离地面的高度 与温度 测量得到的表格．
距离地面高
度(千米)
温度(℃)
请回答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2) 与 之间的关系式是 ．
(3)你能估计温度为 时，距离地面的高度是多少吗?
3．（23-24七年级下·山东济南·期中）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放
在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度 与凳子数量 的几组对应
值．
凳子的数量 （个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度 （厘 5
47 57 62
米） 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
(2)写出叠放的凳子总高度 与凳子的数量 之间的关系式______；
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学科网（北京）股份有限公司(3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请
说明理由．
题型03 用图象表示变量之间的关系
例题：（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为 的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致
反映容器中水的深度 与注水量 关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广西防城港·期中）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间
的关系，用图像描述大致可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行
时间的关系，用图象描述大致可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大
于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度 与注水时间 关系的是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
题型04 从图象中获取信息
例题：（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和
耗油量的关系．
(1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗
油量达到6升时，汽车行驶 千米．
(2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？
【变式训练】
1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图．
(1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？
(2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？
(3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？
(4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登
梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步
行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去 ．小明步行的路程 与
游览时间 之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
(2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
(3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
(4)图2中点A表示 ．
3．（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西
会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一
条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题：
(1)其中自变量是__________，因变量是__________；
(2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________
① ② ③ ④
(3)图中B点表示的意义是__________；
(4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？
一、单选题
1．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）某种气体在 时的体积为 ，温度每升高 ，它的体积增加
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学科网（北京）股份有限公司，则该气体的体积 与温度 之间的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，
如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的
是（ ）
A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟
B．王老师吃早餐用10分钟
C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟
D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的值为
1，则输出的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的
一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程 与时间 的图象，观察
图象得到下列信息，其中正确的是（ ）
A．小王实际骑行时间为
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学科网（北京）股份有限公司B． 内，小王派送快递的平均速度是
C． 小王骑行的平均速度比 慢
D．点 表示小王出发 ，共骑行
5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形 中，动点 从点 出发，沿
的方向运动至点 处停止，设点 运动的路程为 ，三角形 的面积为 ，如果 关于
的图象如图②所示，则长方形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个长方形的一条边长为 ，另一条边长为 ，它的面积为
，则S与x之间的关系式为 ．
7．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，三角形 的高 ， ，点 在 边上，连接 ．
若 的长为 ，三角形 的面积为 ，则 与 之间的关系式为 ．
8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时
出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步
的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：
km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是
km．
9．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形 中， ， ．动点 从 点出发，
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学科网（北京）股份有限公司沿 匀速运动，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ， 与 之间关系的如图②所示．
梯形 的面积为 ．
10．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发
去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后
直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程 和小明所用时间 的关系图，则下
列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时 ；②小华到学校的平均速度是 ；③小明跑
步的平均速度是 ；④小华到学校的时间是7：05．
三、解答题
11．（23-24八年级下·吉林·期中）写出下列各问题中的函数关系式，并指出自自变量的取值范围．
(1)圆的周长C是半径r的函数；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）是所用时间t（小时）的函数．
12．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）某校准备在校园围墙一角用篱笆围一个长方形的小花园，已知长方
形的长为8米，宽为x米，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积y（平方米）也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)求长方形的面积y（平方米）与宽x（米）之间的关系式，并说明当长方形的宽每增加1米时，长方形的
面积如何变化？
(3)当长方形的宽由3米增加到6米时，长方形的面积增加了多少平方米？
13．（23-24七年级下·广东河源·期中）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气
费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米 元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米
元收费．设小丽家每月用气量为 立方米，应交煤气费为 元．
(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？
(2)试写出 与 间的表达式；
(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？
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学科网（北京）股份有限公司(4)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米 元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？
14．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点
出发，小林先骑 ，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，
结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（ ）与时间t（ ）之间的关系如图所示．根
据图象解答下列问题：
(1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ．
(2)爸爸骑行 与小林相遇．
(3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1 ？
15．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（ ）与所挂物体的
质量（ ）之间的关系如下表：
物体的质量（ ） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度（ ） 12 13 14
(1)上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？
(3)如果物体的质量为 ，弹簧的长度为 ，根据上表写出 与 的关系式；
(4)当物体的质量为 时，根据（3）的关系式，求弹簧的长度．
16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机
器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试
点乙距离甲处 ，测试点丙距离甲处 ．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测
试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留 后，从丙处匀速返回
甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离 随离开测试点甲的时间 变化关系
图象如下．请根据相关信息，解答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？
(2)该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？
(3)图中点A表示的意义是什么？
17．（23-24七年级下·福建三明·期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律
的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的
关系如下表：
气温 0 5 10 15 20
音速 33 34
331 337 343
4 0
(1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高 ，音速就提高 ；
(2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ；
(3)在 发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？
(光传播的时间可忽略不计)
18．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁
厚不计．容器A底面积为 ，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，
容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图．
(1)注水速度为 ，容器A高度为 ．
(2)请计算容器B的底面积是多少？
(3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？
(4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像．
19．（23-24七年级下·河南郑州·期末）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产
量与氮肥的施用量有如下关系：
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学科网（北京）股份有限公司氮肥
施用 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471
量/
土豆
14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20
产量/t
如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系
拟合成图象，见下图：
(1)上述问题中的两个变量，自变量是______；
(2)图中点A表示的实际意义是____________；
(3)当每公顷土地氮肥的施用量为 时，土豆的产量约为______ ；（保留两位小数）
(4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由．
20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1， 两地之间有一条笔直的道路， 地位于 两地
之间，甲从 地出发驾车驶往 地，乙从 地出发驾车驶向 地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘
客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达 地．图2中线段 和折线段 分别表示甲、
乙两人与 地的距离 与甲行驶的时间 的变化关系，其中 与 交于点 ．
(1)在图2中表示的变量是______，因变量是______；
(2)乙比甲晚出发______ ， 两地相距______ ；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4) ______， ______；
(5)在图2中点 表示的含义是______；
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学科网（北京）股份有限公司(6)请直接写出当 ______ 时，甲、乙相距 ．
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