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第一次月考难点特训（一）与勾股定理有关的压轴题
1．在 ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°
（1）△当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2 =AD2 +BE2
（2）当AB=4时，求点E到线段AC的最短距离
（3）当点D不与点A重合时，探究：DE2 =AD2+BE2是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由
2．如图， 为线段 上一动点，分别过点 作 ， ，连接 ．已知
，设 ．
(1)用含 的代数式表示 的值；
(2)探究：当点 满足什么条件时， 的值最小？最小值是多少？
(3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式 的最小值．
3．如图，学校位于高速路AB的一侧（AB成一条直线），点A，B为高速路上距学校直线距离最
近的2个隧道出入口，点C、D为学校的两栋教学楼，经测量∠ACB=90°，∠ADB＞90°，
AC=600m，AB=1000m，点D到高速路的最短直线距离DE=400m.
（1）求教学楼C到隧道口B的直线距离；
（2）比较AC2+BC2与AD2+BD2谁大谁小，试用计算说明.4．（1）如图1，在Rt ABC和Rt ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与
点B，C重合），连接△EC． △
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
②求证：BD2+CD2＝2AD2．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2．
5．如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方
形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积；
（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．
6．如图， 中， ， ， ，点 为斜边 上的动点， 于 ，
于 ．（1）当 为 的中点，且 ， __________；
（2）当 ， ，且四边形 为正方形时，求 ；
（3）判断 是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值（用 、 的式子表示），若不存在，
则说明理由．
7．如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，
且OC＝OB，连接CN．
（1）如图1，求证：CN＝BM；
（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF
的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说
明理由．
8．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直
角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA= ，则①线段PB= ，PC=
．②猜想： 三者之间的数量关系为 ．
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2
给出证明过程．
（3）若动点P满足 ，请直接写出 的值．（提示：请你利用备用图探究）9．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，连接DE．
（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．
（ⅰ）求证：CE＝AF；
（ⅱ）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．
（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，若DB＝5，DE＝3 ， ，求线段
CE的长．
10．如图：在 中， ，底边 上一点 ，以 为直角边作等腰直角
，其中 ．
（1）连结 ，证明： ．
（2）写出线段 三者之间的等量关系，并说明理由．
（3）请回答问题：
①若 ，求 的面积．②若 ，请直接写出 的值．（用含 的式子表示）
11．为了探索代数式 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D
作 ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 ，
则问题即转化成求AC+CE的最小值．
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 的
最小值等于 ，此时x= ；
(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
(3)请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 的最小值．
12．在等腰 中， 、 ．
（1）如图1， ， 是等腰 斜边 上两动点，且 ，将 绕点 逆时
针旋转90后，得到 ，连接 ．
①求证： ．
②当 ， 时，求 的长．
（2）如图2，点 是等腰 斜边 所在直线上的一动点，连接 ，以点 为直角顶点作等腰 （ 点在直线 的上方），当 ， 时，求 的长．
13．(1)如图(1),已知 ABC,以AB,AC为边向 ABC外作等边 ABD和等边 ACE,连接BE,CD．请你
完成图形,并证明:BE△=CD;(尺规作图,不写作法△,保留作图痕迹△) △
(2)如图(2),已知 ABC,以AB,AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有
什么数量关系?简△单说明理由;
(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识,完成下题:如图(3),要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已
经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.
14．如图， 是等腰直角三角形，P是直角边 上的一个动点， 于D，连接 ，
将线段 绕点D顺时针旋转90°至 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，若 ；
①当 时，求以 ， ， 的长为三边构成的三角形的面积S的大小．
②当点P从点B运动到点C时，求点 所经过的路程的值．15．在 中， ，点 是直线 上一点， ，垂足为点 于点 ，
点 为 的中点，连接 ．
（1）如图1，如果 ，且 在 边上，设 交 于点 ，且 为 的中点，若
_________．
（2）如图2，如果 ，且 在 边上，求证： ．
（3）如图3，如果 ，且 在 的延长线上， ，请探究线段 之间
的数量关系，并写出证明过程．
