文科数学答案_02高考数学_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_学科网2022年高三12月大联考（全国乙卷）数学_学科网2022年高三12月大联考（全国乙卷）数学

2022 年高三 12 月大联考（全国乙卷） 文科数学·全解全析及评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C C D A D C A B A D 1．A 【解析】由x2 2x30，得x1或x3，所以A{x|x1或x3}，又B{x|x1}，所以 A  B(1，)．故选A． 47i (47i)(23i) 2．B 【解析】由z(23i)47i，得z  12i，所以复数z在复平面内所对 23i (23i)(23i) 应的点的坐标为(1,2)，故选B． 3．C 【解析】圆锥底面半径长为24cm,高为 18cm，由勾股定理知母线长为30cm,所以圆锥侧面积为 S rl720cm2.故选C. sinx sin(x) sinx 4．C 【解析】由题意，知x0， f(x) ,又 f(x)  f(x),所以 f(x)为奇函数，排 |x| |x| |x|  除A，B．当0 x 时， f(x)0，排除D，故选C. 2  7(71) a 7a  d 16 5．D 【解析】方法一：设等差数列{a }的公差为d，由a S 16，a a ，得 4 1 2 , n 4 7 8 4  a a 0 8 4 a 3d 7a 21d 16 a 5 10(101)1 即 1 1 ，解得 1 ，所以S 10(5) 5,故选D. a 7d a 3d 0 d 1 10 2 1 1 7(a a ) 72a 方法二：设等差数列{a }的公差为d，因为a S a  1 7 a  4 8a 16，所以a 2. n 4 7 4 2 4 2 4 4 10(101)1 由a a 0可得a 0，由a 2, a 0，得a 5，d 1，所以S 10(5) 5,故 8 4 6 4 6 1 10 2 选D. 6．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C：y2 4x的焦点F的坐标为(1，0)，p2，又直线ykx1过 yx1 抛物线 C 的焦点F(1,0)，所以k10 ，解得k 1，所以直线的方程为 y x1，由 ，得 y2 4x x2 6x10，设A(x ,y ),B(x ,y ),所以x x 6，所以|AB| x x  p628．故选A． A A B B A B A B 方法二：由题意，知抛物线 C：y2 4x的焦点坐标为F(1，0)， p2，又直线ykx1过抛物线的焦点  2p F(1,0)，所以k10，解得k 1，所以直线ykx1的倾斜角 ，所以|AB| 8. 故选A． 4 sin2 文科数学 全解全析及评分标准 第1页（共12页）    k  7．D 【解析】由题意，得g(x)sin[2(x ) ]1sin(2x )1，令2x k,kZ，得x  ， 6 6 6 6 2 12   5 5 kZ，当k 1时，x   ，∴( ,1)为函数g(x)图象的一个对称中心，故选D. 2 12 12 12 8．C【解析】由题意，知 f(x)x32x2sinx， xR ， f(x)f(x) ，所以 f(x) 为奇函数，因为 f(x)3x2 22cosx0 ， 所 以 函 数 f(x) 在 R 上 单 调 递 增 ． 由 f(2x1) f(x5)0 ， 得 f(2x1)f(x5) f(x5)，又函数 f(x)在R上单调递增，所以2x1x5，解得x2，所以 不等式 f(2x1) f(x5)0的解集为(2,)，不等式 f(2x1) f(x5)0成立的一个充分不必要条 件是(2,)的真子集，分析各个选项可得x0满足条件，故选C． 4 9．A 【解析】因为0.50.6 0.50.5 0.60.5 ，所以ab ．因为0.60.64，所以b0.60.5 0.640.5  ，又 5 5 lg55 lg3125 4 log 5  1，所以clog 5 ，所以bc，故选A． 4 6 lg64 lg1296 6 5 10．B 【解析】如图，过点E作EG//BF 交AD于点G ，则GEC或其补角为异面直线CE 和BF 所成的角．设 BC 9，由条件可知，AE 12，AG8，AC 18． 182 182 92 7 由余弦定理得cosBAC cosBAD cosDAC   ． 21818 8 7 7 所以根据余弦定理，得EG 122 82 2128 2 10 ，EC  122 182 21218 3 10， 8 8 7 GC  82 182 2818 2 34 ， 8 4090136 1 所以在△GEC中，根据余弦定理，得 cosGEC   ， 22 103 10 20 1 所以异面直线CE 和BF 所成角的余弦值为 ．故选B． 20 y 11．A 【解析】如图，不妨设点M(x ,y )为右支上的一点，则直线OM的斜率k  0 ．又双曲线C在点 0 0 OM x 0 x x y y b2x b2 M 处的切线 l 的方程为 0  0 1，即y 0 x ，所以双曲线C在点 M 处的切线 l 的斜率 a2 b2 a2y y 0 0 b2x y b2x b2 2 3 b2 b2 1 k  0 ，所以k k  0  0  ，又双曲线C 的离心率e  1 ，所以  ，所以 l a2y OM l x a2y a2 3 a2 a2 3 0 0 0 1 k k  ，故选A. OM l 3 文科数学 全解全析及评分标准 第2页（共12页）12．D 【解析】在a a a a a a a a a 中，令n=1，得aa a aa a a a a ，又a 1，a 2， n n+1 n2 n n+1 n+1 n2 n2 n 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 得 2a 22a a ， 解 得 a 2 ． 因 为 数 列 {a } 中 的 各 项 都 不 为 0 ， 所 以 将 3 3 3 3 n 1 1 1 a a a a a a a a a 的 两 边 同 时 除 以 a a a ， 得   1 ， 所 以 n n+1 n2 n n+1 n+1 n2 n2 n n n+1 n2 a a a n n+1 n2 1 1 1 1 1   1，以上两式相减得  ，所以a a ，所以数列{a }是周期数列，3为它的 a a a a a n3 n n n1 n+2 n3 n n3 一个周期. 求导，得 f '(x)a 2a x na xn1， n 1 2  n 所以 f(1)a 2a (1)3a (1)2  na (1)n1， n 1 2 3  n 所以b f(1)a (1)2a (1)2 3a (1)3 33a (1)33 33 33 1 2 3  33 (147  31)2(258  32)2(369  33) (135)2(235)2(335) 163436 54．故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。  ab 2 2 13． 【解析】设平面向量a与b的夹角为，由a(1,1),b(2,0)，得cos   ，又 4 |a||b| 22 2   0，所以 . 故填 . 4 4 14．2 3 【解析】方法一：由圆C:x2  y2 4 3x8y240，整理，得(x2 3)2 (y4)2 4，所以圆 心C 的坐标为(2 3,4) ，半径r 2.根据题意，画出图形如下，则|PC|4,r 2,|PA|2 3 ，所以 1 1 S 2 22 3 |AB|4,解得|AB|2 3.故填2 3. 四边形APBC 2 2 文科数学 全解全析及评分标准 第3页（共12页）方法二：由圆C:x2  y2 4 3x8y240，整理，得(x2 3)2 (y4)2 4，所以圆心C的坐标为 (2 3,4) ，半径 r 2 .设 A,B 两点的坐标分别为 (x,y ),(x ,y ) ，则切线 PA,PB 的方程分别 1 1 2 2 (x 2 3)(x2 3)(y 4)(y4)4，(x 2 3)(x2 3)(y 4)(y4)4，又P(0，2)，所以A,B两 1 1 2 2 点均在直线 3x y80上，所以直线 AB 的方程为 3x y80，则圆心到直线 AB 的距离为 |2 3 348| d  1，所以|AB|2 412 3．故填2 3. 2 15．(0,2) 【解析】由题意，得m0，当m0时， f(x)为图象开口向下的二次函数，若 f(x)在xm处 取到极小值，则有0m2；当m0时， f(x)为图象开口向上的二次函数，若 f(x)在xm处取到 极小值，则有m2，与m0矛盾，不符合题意，故m的取值范围是(0,2).故填(0,2). 31 16． 【解析】△ABC如图（1），折起后得到空间四边形ABCD如图（2），将其拓展为三棱柱AEF DBC ， 3 且为直三棱柱，它们具有相同的外接球O，其中BDC 120．记△DBC和△AEF 的外心分别为O ， 1 O ，则点O为OO 的中点，且OO  AD1．设△DBC外接圆的半径为r ，球O的半径为R ．在 2 1 2 1 2 △DBC ，由余弦定理，得 BC BD2 CD2 2BDCDcosBDC  7 ，由正弦定理，得 BC 7 2 7 21 OO 21 1 31 2r    ，所以r  ，所以R2 r2 ( 1 2)2    ，故球O的表面积为 sinBDC 3 3 3 2 9 4 12 2 31 31 4R2  ．故填 . 3 3 说明： 第13题写成45 也正确. 4 3 第14题写成 也正确. 2 第15题写成0m2或{m|0m2}也给分. 62 第16题写成 也正确. 6 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 【解析】（1）由题意知BC 6，在△ABC中，由余弦定理得 文科数学 全解全析及评分标准 第4页（共12页）AB2 BC2  AC2 2BCACcosC，（1分） 3 即1236 AC2 26AC ， 2 即AC2 6 3AC240， 解得AC 2 3或AC 4 3，（2分） 因为AC  AB，所以AC 4 3．（3分） 在△ADC中由余弦定理得，AD2 DC2 AC2 2DCACcosC，（4分） 3 即AD2 1648244 3 16，（5分） 2 所以AD4．（6分） 2 AB AC BC （2）因为BC 6，BAC  ，所以在△ABC中由正弦定理得   4 3，（7分） 3 sinC sinB sinBAC  所以AB4 3sinC ，AC 4 3sinB4 3sin( C)，（8分） 3 1 1  所以S  CDACsinC  44 3sin( C)sinC （9分） 2 2 3 3 1 8 3( cosC sinC)sinC 12sinCcosC4 3sin2C 2 2  6sin2C2 3(1cos2C) 4 3sin(2C )2 3．（11分） 6     1  又AC  AB，则0C  ，所以 2C  ，所以 sin(2C )1， 6 6 6 2 2 6 可得0S 2 3，所以△ACD的面积S的取值范围为(0,2 3).（12分） 说明： （1）第（1）问中3分后面这样写也给分： 在△ADB中由余弦定理得，AB2  AD2 BD2 2ADBDcosADB， 即12 AD2 44ADcosADB，①（4分） 在△ADC中由余弦定理得，AC2  AD2 CD2 2ADBDcosADB， 即48 AD2 168ADcosADB，②（5分） 由①×2得242AD2 88ADcosADB，③ ②+③得AD2 16， 即AD4.（6分） （2）第（2）问另一种解法：即角 B，C 所对的边长分别为 b，c，在△ABC 中由余弦定理得， BC2 b2 c2 2bccosBAC，（7分） 文科数学 全解全析及评分标准 第5页（共12页）2 即36b2 c2 2bccos b2 c2 bc，（8分） 3 2 2 因为CD BC ，所以S  S ， 3 3 △ABC 1 2 3 又S  bcsin  bc,（9分） △ABC 2 3 4 3 故S  bc.（10分） 6 由b2 c2 2bc bc,得b2 c2 2bc，所以363bc,0bc12，（11分） 3 所以0S  bc2 3， 6 即0S 2 3，所以△ACD的面积S的取值范围为(0,2 3).（12分） （3）第（1）问： 1.正确求出AC 4 3 为3分，若1分处的余弦定理没有写，直接写第二步代入，此1分可不扣，若没 有求出AC 4 3 ，正确写出余弦定理，可得1分. 2.无论是否正确求出AC 4 3 ，4分段只要正确写出一个余弦定理均得1分；5分段也是要求正确代入 即可得1分；但不重复给分. （4）第（2）问：若答案为 (0,2 3]，扣1分. 18．（12分） 1 【解析】（1）根据题意，得x (891011121314)11．（1分） 7 7 (x x)2 (811)2 (911)2 (1011)2 (1111)2 (1211)2 (1311)2 (1411)2 28，（2分） i i1 7 7 (x x)2(y  y)2  28176 8 77 70.16．（3分） i i i1 i1 7 (x x)(y  y) i i 70 所以相关系数r i1  0.998．（5分） 7 7 70.16 (x x)2(y  y)2 i i i1 i1 因为|r|0.998很接近1，说明y与x的线性相关程度相当高，所以可以用线性回归模型拟合y与x的 关系．（6分） 7 (x x)(y  y) i i 70 5 （2）由（1）得b ˆ  i1   ，（8分） 7 28 2 (x x)2 i i1 文科数学 全解全析及评分标准 第6页（共12页）5 7 aˆ ybx24 11 ，（9分） 2 2 5 7 所以y关于x的回归方程为yˆ  x ．（10分） 2 2 5 7 若x19，则yˆ  19 44．（11分） 2 2 所以预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44．（12分） 说明： 第（1）问 ： 1 1.1分段写成x (8914)11不扣分； 7 7 2.2分段写成(x x)2 (811)2 (911)2 (1411)2 28不扣分； i i1 3.求出 r0.997不扣分； 第（2）问：最后答中，少“预测”，扣掉1分.最多11分. 19．（12分） 【解析】（1）如图，连接BG, 1 由题意，知GD AG2  AD2  2 ,DB  AD2 AB2 2 2,BG BG2 BB2  10 ,（1分） 1 1 1 1 1 1 ∴GD2 DB2 BG2,∴BDDG,（2分） 1 1 1 又易知CG平面ABB A,BD平面ABB A，（3分） 1 1 1 1 1 ∴CGBD,（4分） 1 又CG平面CGD，DG平面CGD，DG  CGG,∴B 1 D平面CGD．（6分） （2）如图，取BC 的中点H，连接AH ， 1 1 1 在正三角形ABC 中,AH B C ,（7分） 1 1 1 1 1 1 文科数学 全解全析及评分标准 第7页（共12页）则AH  AB2 BH2  3，（8分） 1 1 1 1 又平面ABC 平面BCC B ,∴AH 平面BCC .（9分） 1 1 1 1 1 1 1 1 ∵AA∥平面BCC B ,∴点A 与点D到平面BCC B 的距离相等．（10分） 1 1 1 1 1 1 1 ∴V V  S AH （11分） DB1CC1 A1B1CC1 3 △B1C1C 1 1 1   23 3 3．（12分） 3 2 说明： 第（1）问： 1.求出△BDG的三边长得1分，或求出ADG45,ADB 45也是1分. 1 1 1 2.3分段无BD平面ABB A，不扣分. 1 1 1 3.6分段无CG平面CGD，DG平面CGD，DG  CGG,不扣分. 第（2）问：11分段若V 求错，写出公式有公式分，若求正确，公式不写不扣分. DB1CC1 20．（12分） 1 a 【解析】（1）求导，得 f(x)a  ,（1分） x x2 所以 f(1)2a1, f(1)b,（2分） 故 f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为yb(2a1)(x1),即(12a)x yb2a10，（3分） 所以b0.（4分） a ax2 xa （2）由（1）知 b0，则 f(x)axlnx ,x1．求导，得 f(x) ．（5分） x x2 令h(x)ax2 xa,x1，14a2. 当a0时，h(x)0恒成立，所以 f(x)0恒成立， f(x)在[1,)上单调递减，（6分） 此时 f(x) f(1)0，与题意不符.（7分） 1 当a 时,0,所以h(x)0恒成立,所以 f(x)0恒成立, f(x)在[1,)上单调递增，（8分） 2 1 所以 f(x) f(1)0,所以a ，符合题意．（9分） 2 1 1 1 1 当0a 时, 1,因为h(1)2a10且h(x)在(1, )上单调递减,所以h( )0．（10分） 2 2a 2a 2a 1 所以1x 时,h(x)0,故 f(x)0, 2a 文科数学 全解全析及评分标准 第8页（共12页）1 1 所以 f(x)在(1, )上单调递减,故 f( ) f(1)0,与题意不符．（11分） 2a 2a 1 综上,实数a的取值范围是[ ,)．（12分） 2 说明： 第1问： 1. 2分段必须 f(1)2a1, f(1)b,都正确求出. 2.3分段如果写成y(2a1)xb2a1，不扣分. 第2问：求导1分，三种情况讨论各2分. 21．（12分） 【解析】（1）显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为xmyn. 1 1 xmyn 联立 ,整理得y2 4my4n0，（1分） y2 4x ∴y y 4n4,∴n1，∴直线l 恒过点(1,0).（2分） 1 2 1 ∴坐标原点O到直线l 的距离的最大值为1，（3分） 1 又直线l 不经过原点O，∴坐标原点O到直线l 的距离的取值范围为(0,1].（4分） 1 1 （2）由（1）可知|AB| 1m2  (y  y )2 4y y 4(m2 1).（5分） 1 2 1 2 由题意及（1）可知直线l 的方程为ymxm.（6分） 2 设M(x ,y ),N(x ,y )， 3 3 4 4 x2 y2   1 联立 4 3 ，可得(34m2)x2 8m2x4(m2 3)0，  ym(x1) 8m2 4(m2 3) 则根据根与系数的关系，得x x  ,x x  .（7分） 3 4 34m2 3 4 34m2 12(m2 1) |MN| 1m2  (x x )2 4x x  .（8分） 3 4 3 4 4m2 3 1 24(m2 1)2 S  |AB||MN| .（9分） 四边形AMBN 2 4m2 3 设4m2 3t(t3)， 3 t2 2t1 3 1 则S    (t 2).（10分） 四边形AMBN 2 t 2 t 1 3 1 yt 2在[3,)上单调递增，∴S  (3 2)8，（11分）  t 四边形AMBN 2 3 文科数学 全解全析及评分标准 第9页（共12页）∴四边形AMBN 的面积的最小值为8.（12分） 说明： 第（1）问： 1.正确求出坐标原点O到直线l 的距离的取值范围为(0,1]，但没有写出“显然直线l 的斜率不为0”，不 1 1 扣分. 2.2分段后面这样解也给分： ∴l :xmy1，即xmy10， 1 1 ∴原点(0,0)到它的距离d  ，（3分） 1m2 1 又16m2 160，∴mR，1m2 1，∴0 1，∴0d 1.∴坐标原点O到直线l 的距离 1m2 1 的取值范围为(0,1].（4分） 第（2）问：若正确求出四边形AMBN 的面积的最小值为 8，但第（1）问中没有写出“显然直线l 的斜 1 率不为0”，扣1分. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] x1t,① 【解析】（1）因为曲线C 1 的参数方程为 (t为参数), y1 2t② 则① 2②，得 2x y 21，（1分） 所以曲线C 的普通方程为 2x y1 2 0.（2分） 1 由(1sin)1，得sin1，两边同时平方，得2 2sin22sin1，（3分） 将sin y，2 x2  y2代入上式，（4分） 得x2  y2  y2 2y1，化简得x2 2y1， 1 1 所以曲线C 的直角坐标方程为y x2  .（5分） 2 2 2  3 x1 t',  3 （2）将曲线C 的参数方程化为 （t' 为参数），（7分） 1  6 y1 t'   3 文科数学 全解全析及评分标准 第10页（共12页）1 1 代入y x2  得t'2 (2 32 6)t'60,（8分） 2 2 设A，B两点对应的参数分别为t,t，则tt 6.（9分） 1 2 12 所以|MA||MB||t' ||t' |6.（10分） 1 2 说明： 第（1）问： 1.4分段如果写成sin y ，cos x，也给分. 2.曲线C 的方程正确化为x2 2y1，没有单独写公式sin y ，cos x，不扣分. 2 第（2）问：9分段没有写“设A，B两点对应的参数分别为t,t”,不扣分. 1 2 23．（10分）[选修4-5：不等式选讲] x,x3  【解析】 f(x)|3x12||4x12|7x24,3 x4，（1分）  x,x4 （1）①当x3时，x2，即2 x3；（2分） 22 22 ②当3x4时，7x242，解得x ，即3 x ；（3分） 7 7 ③当x4时，x2，解得x2，则 f(x)2无解.（4分） 22 综上所述，不等式 f(x)2的解集为（2， ）．（5分） 7 （2）①当x0时，显然成立；（6分） |3x12||4x12| 12 12 ②当x0时，不等式 f(x)k|x|可化为k  |3 ||4 |.（7分） |x| x x 12 12 12 12 又|3 ||4 ||(3 )(4 )|1，（8分） x x x x 12 12 12 12 当且仅当(3 )(4 )0且|3 ||4 |时等号成立，（9分） x x x x 所以实数k的取值范围为[1,)．（10分） 说明： 第（1）问： 如果写成“①当x3时，x2， 22 ②当3x4时，7x242，解得x ， 7 ③当x4时，x2，解得x2，” 对2个，给1分，即此问最多2分， 文科数学 全解全析及评分标准 第11页（共12页）对3个，给3分，即此问最多3分. 第（2）问： 12 12 12 12 “当x0时，显然成立”和“当且仅当(3 )(4 )0且|3 ||4 |时等号成立，”都不写，或只 x x x x 写一个，总共只扣1分. 文科数学 全解全析及评分标准 第12页（共12页）