文档内容
专题 1.2 有理数
典例体系
一、知
识点
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有
限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称
为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的
点表示，0用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴
上的点不是一一对应关系。（ 如，数轴上的点 π 不是有理数 ）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a可以表示什么数
①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0的相反数是0；
③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点
（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。
化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
可用字母表示为：
如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
6.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大
于负数。
二、考点点拨与训练
考点1：有理数分类
典例：（2020·偃师市实验中学初一月考）把下列各数分别填在相应的集合内：
－11，4.8，73，－2.7， ，3.141 592 6，－ ， ，0.
正分数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负整数集合：{ }；
非正整数集合：{ }.
方法或规律点拨
本题考查了有理数概念,属于简单题,熟悉有理数的分类是解题关键.
巩固练习
1．（2020·江门市第二中学初一月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣23，﹣|﹣ |，0， ，﹣（﹣3.14），2006，﹣（+5），+1.88，
（1）整数集合：{ }；
（2）正数集合：{ }；
（3）负分数集合：{ }；
（4）非负有理数集合：{ }．2．（2019·广西壮族自治区初一期中）将下列各数填在相应的集合里： ，-35%，8，0， ， ，
整数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负数集合｛ ｝
3．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-2
，4.5，3.14，-1，+ ，+5．
4．（2018·福建省初一期中）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列8个数填入这两个圈中合适
的位置：
－28%，－(－ )，－2018，3.14，－(+5)，0，－| |．
5．（2019·河北省金华中学初一期中）(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数
填入它所在的数集的圈里:(2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合?
考点2：相反数定义及其应用
典例： 的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
方法或规律点拨
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
巩固练习
1．（2020·永德县明朗中学初二期中） 的相反数是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京初三二模）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个
单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．0
3．（2020·浙江省初三学业考试）2020的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
4．（2020·广东省初三月考）如图，表示互为相反数的两个点是（ ）
A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q
5．（2020·沐川县实验初级中学初三二模）﹣2是2的（ ）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根6．（2020·云南省初三学业考试） 的相反数为__________．
考点3：数轴的定义及应用
典例：（2020·东北师大附属明达学校初三二模）如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是
（ ）
A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5
方法或规律点拨
本题主要考查了数轴的知识，根据数轴找出小手遮挡的点在-1和0之间是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东省初三二模）数轴上的某一点距离原点的长度为 个单位长度，则这个点表示的数是（
）
A． B． C． D．
2．（2020·吉林省初三一模）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（ ）．
A．1 B． C． D．0
3．（2020·沐川县实验初级中学初三二模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点
A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
4．（2020·吉林省初三一模）在数轴上表示下列四个数中，在 和 之间的数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广东省初三其他）已知实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ________ （填“>”
“<”或“=”）．6．（2019·罗平县腊山一中初一月考）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
考点4：绝对值的几何意义及应用
典例：（2020·青岛超银中学初一月考）某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走2千米到达
A景区，继续向 东走2.5千米到达B景区，然后又回头向西走8.5千米到达C景区，最后回到景区大门．
（1）以景区大门为原点，向东为正 方向，以1个单位长表示1千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上
表示出上述A、B、C三个景区的位置．
（2）若电瓶车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此
次任务？请计算说明．
方法或规律点拨
本题考查的是数轴，注意注意根据题意画数轴.
巩固练习
1．（2020·安徽省初三二模）﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．0.2 D．﹣0.2
2．（2020·重庆八中初三期末）﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣ D．
3．（2020·山东省初三学业考试）实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（
）
A． B． C． D．4．（2020·重庆南开（融侨）中学校初三月考）若m是﹣2020的绝对值，那么m的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
5．（2020·湖北省初三学业考试）在下列各数中，绝对值最大的数是( )
A．－2 B．1 C． D．－
6．（2020·山东省初三三模）实效m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·四川省初一期中）将1， ， ，2这四个数分别用点表示在数轴上，其中与 所表示的点
最近的数是（ ）
A．1 B．-2 C．-3 D．2
8．（2020·河南省初一月考）若（x-3）2+|x+y|=0，求出x、y的轴．
9．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
（2）A、B两点间的距离是多少？A、C两点间的距离是多少？
（3）若将点A向右移动5个单位后，则A、B、C这三个点所表示的数谁最大？
（4）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
考点5：有理数大小的比较
典例：（2020·广东省东莞市中堂星晨学校初一期中）画一条数轴，并把-4，4．3，- ，2．5，- ， 在
数轴上标示出来，用<连接．
方法或规律点拨
本题属于数轴的知识点，能够找到点的位置，再根据大小排列即可.巩固练习
1．（2020·湖北省初三学业考试）在有理数1，-1，0，-2中，最小的有理数是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
2．（2020·安徽省初三二模）下列四个数中，最小的是（ ）
A．-2 B．∣-4∣ C．-（-1） D．0
3．（2020·河南省初三二模）下列各数中最大的负数是（ ）
A． B． C．－1 D．－3
4．（2020·山东省初三二模）下列各数中，其相反数最大的数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
5．（2020·广东省初三二模）在0，1，3.5，﹣4四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C．3.5 D．﹣4
6．（2020·偃师市实验中学初一月考）在一次考试中，6名同学的成绩与平均分的差值分别为
请在数轴上画出表示这些数的点，并用“<”号把它们连接起来．
7．（2019·重庆市大坪中学初一期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．
-2.5，-3，0， ，22
8．（2019·浙江省嘉兴实验初中初一月考）（1）请你在下列数轴上表示下列有理数：0， ， ，
；
（2）比较上述4个数的大小，并用“＜”号连结起来；
（3）写出绝对值不大于3的所有整数．
9．（2019·广西壮族自治区初一期中）（1）请你在数轴上表示下列有理数： ， ，0， ，；
（2）用“ ”号将（1）的各数连接起来．
