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专题 1.2 有理数
典例体系
一、知识点
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有
限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称
为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的
点表示，0用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴
上的点不是一一对应关系。（ 如，数轴上的点 π 不是有理数 ）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a可以表示什么数
①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0的相反数是0；
③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点
（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。
化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
可用字母表示为：
如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
6.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大
于负数。
二、考点点拨与训练
考点1：有理数分类
典例：（2020·偃师市实验中学初一月考）把下列各数分别填在相应的集合内：
－11，4.8，73，－2.7， ，3.141 592 6，－ ， ，0.
正分数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负整数集合：{ }；
非正整数集合：{ }.
【答案】详见解析.
【解析】
正分数集合： ；
负分数集合： ；
非负整数集合： ；
非正整数集合：
方法或规律点拨本题考查了有理数概念,属于简单题,熟悉有理数的分类是解题关键.
巩固练习
1．（2020·江门市第二中学初一月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣23，﹣|﹣ |，0， ，﹣（﹣3.14），2006，﹣（+5），+1.88，
（1）整数集合：{ }；
（2）正数集合：{ }；
（3）负分数集合：{ }；
（4）非负有理数集合：{ }．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
根据整数、正数、负分数、非负有理数的定义，逐一判定即可.
【详解】
2．（2019·广西壮族自治区初一期中）将下列各数填在相应的集合里： ，-35%，8，0， ， ，
整数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负数集合｛ ｝
【答案】见解析．【解析】
整数集合｛8，0，-32，-53｝
分数集合｛-0.2，-35%， ｝
负数集合｛ ， ， ， ｝
3．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-2
，4.5，3.14，-1，+ ，+5．
【答案】见解析
【解析】
负整数，即既是负数，也是整数；
正整数，即既是正数，也是整数；
负分数，即既是负数，也是分数；
正分数，即既是正数，也是分数；
故负整数集合为：－1；
正整数集合：20、+5；
负分数集合为：－0.08、
正分数集合为：4.5、3.14、﹢
4．（2018·福建省初一期中）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列8个数填入这两个圈中合适
的位置：－28%，－(－ )，－2018，3.14，－(+5)，0，－| |．
【答案】见解析．
【解析】
解：∵－28%=-0.28，－(－ )= ，－(+5)=-5，－| |= ，
∴如图所示：
5．（2019·河北省金华中学初一期中）(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数
填入它所在的数集的圈里:
(2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合?
【答案】（1）见解析；（2）重叠部分表示负分数集合
【解析】
(1)根据题意如图:(2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合;
考点2：相反数定义及其应用
典例： 的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
因为- + ＝0，所以- 的相反数是 .
故选D.
方法或规律点拨
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
巩固练习
1．（2020·永德县明朗中学初二期中） 的相反数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
的相反数是
故选：D
2．（2020·北京初三二模）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个
单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（ ）A．3 B．2 C． D．0
【答案】B
【解析】
由题可知：A点表示的数位a，B点标示的数位1，
∵C点是A向左平移3个单位长度，
∴C点可表示为：a-3，
又∵点C与点B互为相反数，
∴a-3=-1
∴a=2．
故答案选B．
3．（2020·浙江省初三学业考试）2020的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
【答案】B
【解析】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：B．
4．（2020·广东省初三月考）如图，表示互为相反数的两个点是（ ）
A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q
【答案】C
【解析】
解：2和﹣2互为相反数，此时对应字母为M与P．
故选C．
5．（2020·沐川县实验初级中学初三二模）﹣2是2的（ ）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根
【答案】B
【解析】
-2是2的相反数，
故选B．6．（2020·云南省初三学业考试） 的相反数为__________．
【答案】2020
【解析】
解： 的相反数为2020．
考点3：数轴的定义及应用
典例：（2020·东北师大附属明达学校初三二模）如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是
（ ）
A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5
【答案】C
【解析】
解：由数轴可知小手遮挡住的点在-1和0之间，而选项中的数只有-0.5在-1和0之间，所以小手遮挡住的
点表示的数可能是-0.5．
故选C．
方法或规律点拨
本题主要考查了数轴的知识，根据数轴找出小手遮挡的点在-1和0之间是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东省初三二模）数轴上的某一点距离原点的长度为 个单位长度，则这个点表示的数是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
这个点表示的数可能在原点的左边，为 ，也可能在原点右边，为3，故这个点表示的数是 ，
故答案为：C．
2．（2020·吉林省初三一模）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（ ）．A．1 B． C． D．0
【答案】A
【解析】
设盖住的点表示的数为为 ,则 ，在这个范围里面的整数只有-1，-1的相反数是1，故选A．
3．（2020·沐川县实验初级中学初三二模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点
A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
【答案】A
【解析】
解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，
∴点C表示的数为-2，
∴a=-2-1=-3．
故选：A．
4．（2020·吉林省初三一模）在数轴上表示下列四个数中，在 和 之间的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在数轴上表示各数如图所示：
观察可知在 和 之间的数是 ，
故选B．5．（2020·广东省初三其他）已知实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ________ （填“>”
“<”或“=”）．
【答案】<
【解析】
∵在数轴上，a在b的左边，
∴a＜b，
故答案为：＜
6．（2019·罗平县腊山一中初一月考）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
【答案】①②③④⑥画的数轴不对，⑤和⑦画的数轴正确，原因见解析.
【解析】
解：①画的数轴不对，缺原点；
②画的数轴不对，缺正方向；
③画的数轴不对，数轴不是射线而是直线；
④画的数轴不对，缺单位长度；
⑥画的数轴不对，单位长度不统一．
⑤和⑦画的数轴正确．
7．（2018·偃师市实验中学初一月考）在数轴上表示下列各数，并用“＞”连接起来．
3 ，-4， ，0，-1，1．
【答案】见解析，3 ＞1＞0＞-1＞-2 ＞-4
【解析】
【分析】先在数轴上表示各个数，再比较即可．
【详解】
解：在数轴上表示如图示，
3 ＞1＞0＞-1＞-2 ＞-4，
考点4：绝对值的几何意义及应用
典例：（2020·青岛超银中学初一月考）某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走2千米到达
A景区，继续向 东走2.5千米到达B景区，然后又回头向西走8.5千米到达C景区，最后回到景区大门．
（1）以景区大门为原点，向东为正 方向，以1个单位长表示1千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上
表示出上述A、B、C三个景区的位置．
（2）若电瓶车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此
次任务？请计算说明．
【答案】（1）见解析;（2）电瓶车不能在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务．
【解析】
解：（1）如图，
（2）电瓶车一共走的路程为：|+2|+|2.5 |+|﹣8.5|+|+4|=17（千米），
∵17＞15，
∴该电瓶车不能在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务．
方法或规律点拨
本题考查的是数轴，注意注意根据题意画数轴.
巩固练习
1．（2020·安徽省初三二模）﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．0.2 D．﹣0.2
【答案】B【解析】
﹣5的绝对值是|﹣5|=5．
故选B．
2．（2020·重庆八中初三期末）﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣ D．
【答案】B
【解析】
解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，
故选：B．
3．（2020·山东省初三学业考试）实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由图可知， ，且 ，
∴ ， ， ， ，
∴关系式不成立的是选项C．
故选：C．
4．（2020·重庆南开（融侨）中学校初三月考）若m是﹣2020的绝对值，那么m的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
【答案】A
【解析】解：∵m是﹣2020的绝对值，
∴m=2020．
故选：A．
5．（2020·湖北省初三学业考试）在下列各数中，绝对值最大的数是( )A．－2 B．1 C． D．－
【答案】A
【解析】解：∵|-2|=2，|1|=1，| |= ,|- |=
∴2>1> .
故选A.
6．（2020·山东省初三三模）实效m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＜|n|，
A、m＞n是错误的；
B、-n＞|m|是错误的；
C、-m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是错误的．
故选：C．
7．（2020·四川省初一期中）将1， ， ，2这四个数分别用点表示在数轴上，其中与 所表示的点
最近的数是（ ）
A．1 B．-2 C．-3 D．2
【答案】B
【解析】解：∵选项A：1与 的距离为 ；
选项B： 与 的距离为 ；
选项C： 与 的距离为 ；选项D：2与 的距离为 ；
∴-2与 的距离最近，
故选：B．
8．（2020·河南省初一月考）若（x-3）2+|x+y|=0，求出x、y的轴．
【答案】x=3，y=-3．
【解析】
解： ，
∴ ， ，
∴ ， ．
9．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
（2）A、B两点间的距离是多少？A、C两点间的距离是多少？
（3）若将点A向右移动5个单位后，则A、B、C这三个点所表示的数谁最大？
（4）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
【答案】（1）A：－6，B：1，C：4；（2）AB距离为7，AC距离为10；（3）C；（4）向左移动2个单
位
【解析】
（1）观察数轴得：A：－6，B：1，C：4；
（2）AB的距离为：1－(－6)=－7；
AC的距离为：4－(－6)=－10；
（3）A向右移动5个单位变为：－1
则A、B、C此刻分别为：－1、1、4，其中4最大，即点C；
（4）∵AC的距离为10
∴要使得AB、BC距离相等，则AB、BC都为5
∴只需将点B向左移动2个单位即可考点5：有理数大小的比较
典例：（2020·广东省东莞市中堂星晨学校初一期中）画一条数轴，并把-4，4．3，- ，2．5，- ， 在
数轴上标示出来，用<连接．
【答案】 - <-4<- <2．5<3< <4
【解析】
解：
- <-4<- <2．5<3< <4
方法或规律点拨
本题属于数轴的知识点，能够找到点的位置，再根据大小排列即可.
巩固练习
1．（2020·湖北省初三学业考试）在有理数1，-1，0，-2中，最小的有理数是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】∵1＜2，
∴-1＞-2，
∴-2＜-1＜0＜1，
∴在有理数1，-1，0，-2中，最小的有理数是-2，
故选：B．
2．（2020·安徽省初三二模）下列四个数中，最小的是（ ）
A．-2 B．∣-4∣ C．-（-1） D．0
【答案】A
【解析】
解：根据有理数大小比较的法法，可得：
-2＜0＜-（-1）＜∣-4∣
∴最小的是-2．故选：A．
3．（2020·河南省初三二模）下列各数中最大的负数是（ ）
A． B． C．－1 D．－3
【答案】A
【解析】
解：∵ ，
∴最大的负数是 ，
故选：A．
4．（2020·山东省初三二模）下列各数中，其相反数最大的数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】B
【解析】解：A. 1的相反数是-1；
B. 0的相反数是0；
C. 2的相反数是-2；
D. 的相反数是；
因此，这几个是中相反数最大的是0，
故选B．
5．（2020·广东省初三二模）在0，1，3.5，﹣4四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C．3.5 D．﹣4
【答案】D
【解析】
解：∵﹣4＜0＜1＜3.5，
∴在0，1，3.5，﹣4四个数中，最小的数是﹣4．
故选：D．
6．（2020·偃师市实验中学初一月考）在一次考试中，6名同学的成绩与平均分的差值分别为请在数轴上画出表示这些数的点，并用“<”号把它们连接起来．
【答案】答案见解析
【解析】在数轴上表示如下：
用“<”连接如下：
7．（2019·重庆市大坪中学初一期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．
-2.5，-3，0， ，22
【答案】-3＜-2.5＜0＜ ＜22
【解析】
解：如图所示，
故，-3＜-2.5＜0＜ ＜22
8．（2019·浙江省嘉兴实验初中初一月考）（1）请你在下列数轴上表示下列有理数：0， ， ，
；
（2）比较上述4个数的大小，并用“＜”号连结起来；
（3）写出绝对值不大于3的所有整数．【答案】（1）从左往右依次为： ，0， ， ；
（2） ＜0＜ ＜ ；
（3）3，2，1，0，-1，-2，-3
【解析】(1) =2.5， =4
(2)从数轴上可以看出： ＜0＜ ＜
（3）绝对值不大于3的整数，就是绝对值小于等于3的数：3，2，1，0，-1，-2，-3.
9．（2019·广西壮族自治区初一期中）（1）请你在数轴上表示下列有理数： ， ，0， ，
；
（2）用“ ”号将（1）的各数连接起来．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
解：（1） =-2， =4，如图所示：
（2）由数轴可知：将各数用“ ”号连接起来为：．
