江苏九校高三联合测试
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.若z=2i+i2,则|z|=
A. 1 B. 2 C.√5 D.38.已知正数a,b满足2“+3“=3+4,则
A. b<a<2b B. a<b<2a C. 2b<a<3b D. 2a<b<3a
【答案】A
【锤子数学解析】方法一：若a<b,则3+4>3“+4”,即2“+3“>3“+4”,
∴a<0矛盾，排除BD
b=1时，2“+3“=7,f(x)=2*+3*在(0,+∞)单调递增，f(1)=5<7,
f(2)=13>7,∴1<a<2,排除C,选A.
方法二：若a≤b,则2°+3“≤2?+3<3+4,与2“+3“=3+4矛盾，故a>b.
若a≥2b,则2“+3“≥22+32?=4+9>4+3,与2“+3“=3+4矛盾，故a<2b.
综上b<a<2b,选A.
锤子拓展与深挖
1、命题背景：这类题本质是在比较两类指数和函数
F(x)=p?+q*,G(x)=q*+r(1<p<q<r).
对任意x>0,G(x)-F(x)=r*-p?>0,
所以同一个x下，右边这类和式一定更大.因而如果F(a)=G(b),
那么只能是较小的函数取较大的自变量，也就是a>b.
2、一般化结论：若p?+q°=q+r,1<p<q<r,a>0,b>0,则b<a<"b.
理由完全一样：a≤b→p?+q“≤p?+q<q?+r,矛盾，故a>b.
a=m b, a<b.
再设 ,则p?≥r?,q“>q?,从而p”+q°>r?+q?,矛盾，所以
b<a<n2b=2b.
本题就是取p=2,q=3,r=4,于是
b<a<1nzb.
3、锤子改编：若改成2“+3“=3+k(k>3),同理可得1
1<“<1m2
4一b
如果改问 的范围，则直接得到1
1<“<2.
特别地，当k=4时，江苏九校高三联合测试
锤子数学精彩解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.若z=2i+i2,则|z|=
A. 1 B. 2 C.√5 D.3
【答案】C
【锤子数学解析】z=2i-1,|z|=√5,选C.
2.设集合A={-2,1,a},B={-1,a2},若AUB含有4个元素，则a=
A. -1 B. 0 C.1 D. 2
【答案】B
【锤子数学解析】AUB={-2,1,-1,a,a2},a2=-2或a2=-1无解，
a2=1→a=±1,a2=a→a=0或1.故可能使元素个数减少的只有a=-2,-1,0,1.
检验得a=-2→AUB={-2,-1,1,4},a=-1→AUB={-2,-1,1},
a=0→AUB={-2,-1,0,1},a=1→AUB={-2,-1,1}.
∴|AUB|=4时，结合选项得a=0.AUB有4个元素，则a2=1,a=-1,选A.
(×-)
3.
的展开式中常数项为
-5 B.-2 N D.5
A. C.
2
-,
【答案】A
(×-云) =Cx(-、)=c:(一)“
【锤子数学解析】 展开式第r+1项I
r=3,c:()--28-5
即常数项· ,选A.
4.已知两条直线m,n和平面α,则下列命题为真命题的是
A.若m//n,m//α,则n//a B.若m// a,n//a,则m// n
C.若m⊥a,m//n,则n⊥a D.若m⊥n,m//α,则n⊥a
1【答案】C
【锤子数学解析】m//n,m⊥a,则n⊥α,选C.
5.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1,状态2,状态3,……,
每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知
1一2 1一3
状态1的粒子有· 的概率变为状态2,状态2的粒子有· 的概率变为状态3,以此类
推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
【答案】C
【锤子数学解析】3秒后处于状态1和状态2的有：
2××1+×2×2+2×1×2+2×2×3=3~0.64,
选C.
6.若直线y=x+1上存在点A,圆x2+(y-m32=2上存在点B,使得AB=(0,1),则
m的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【锤子数学解析】令A(x?,y?),B(x?,y?),则AB=(x?-x?,y?-v?)=(0,1),
V-x?=1V?=x+1
即B(x?,y?+1),A在y=x+1上，则B(x?,x?+2)
B在圆C上，∴x2+(x?+2-m)2=2,则2x2+(4-2m)x+2-4m+m2=0
△≥0,则0≤m≤4,即mmax=4,选D.
7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°,bc=6sinBcosC,
cosBsinc=-
则△ABC的面积为
o32
B.3
D. 3√3
A. 1
【答案】B
sin Bcosc=6e,cos Bsinc=63,
【锤子数学解析】
sin A=sin(B+C)=6+√6=23,∴bc=2√3,
2SAmc - besin A=1×2√3×3-3,
,选B
8.已知正数a,b满足2“+3“=3+4,则
A. b<a<2b B. a<b<2a C. 2b<a<3b D. 2a<b<3a
【答案】A
【锤子数学解析】方法一：若a<b,则3+4>3“+4”,即2“+3“>3“+4”,
∴a<0矛盾，排除BD
b=1时，2“+3“=7,f(x)=2*+3*在(0,+∞)单调递增，f(1)=5<7,
f(2)=13>7,∴1<a<2,排除C,选A.
方法二：若a≤b,则2°+3“≤2?+3<3+4,与2“+3“=3+4矛盾，故a>b.
若a≥2b,则2“+3“≥22+32?=4+9>4+3,与2“+3“=3+4矛盾，故a<2b.
综上b<a<2b,选A.
锤子拓展与深挖
1、命题背景：这类题本质是在比较两类指数和函数
F(x)=p?+q*,G(x)=q*+r(1<p<q<r).
对任意x>0,G(x)-F(x)=r*-p?>0,
所以同一个x下，右边这类和式一定更大.因而如果F(a)=G(b),
那么只能是较小的函数取较大的自变量，也就是a>b.
2、一般化结论：若p?+q°=q+r,1<p<q<r,a>0,b>0,则b<a<"b.
理由完全一样：a≤b→p?+q“≤p?+q<q?+r,矛盾，故a>b.
a=m b, a<b.
再设 ,则p?≥r?,q“>q?,从而p”+q°>r?+q?,矛盾，所以
b<a<n2b=2b.
本题就是取p=2,q=3,r=4,于是
b<a<1nzb.
3、锤子改编：若改成2“+3“=3+k(k>3),同理可得1
1<“<1m2
4一b
如果改问 的范围，则直接得到1
1<“<2.
特别地，当k=4时，
34、更高级的方法：设a=tb(t>0),则原式化为2?+3?=3+4”.
记H(t)=2?+3“-3?-4,则H′(t)=bln2·2?+bln3·3?>0,所以H(t)单调递增.
又H(1)=2-4?<0,H(2)=9-3>0.
1<“<2.
故存在唯一的t∈(1,2)使H(t)=0,于是1
这个方法更值得注意的地方在于：它不仅得到范围，还说明这个比值是唯一落在
(1,2)中的那个位置.
31+(3))=1+(4)
5、精细估计：由原式2“+3“=3?+4可化为3
取白然对数得41m3=hm4+1 1()--1+()
·1)-11)
所以
o<n1+(2) <m20<m14(3) m2
因为
“1n31<m3
n3'
于是 .这说明a其实是围绕 b附近摆动的，范围判断只是第一层，
进一步还能把位置估得更细.
锤子点评：这题看着像估范围，实际上核心特别朴素，就是同指数先比底数，同底
数再比指数。我最想提醒大家的是，碰到这种和式等式，不要一上来就想着取对数，
和式取对数通常不会变简单。这题真正决定胜负的地方，是大家能不能很快看出
a>b和a<2b都可以用反设直接比较出来。前一个比较的是b,后一个比较的是2b,
这就是小题里非常常见的卡范围思路。我希望大家把这种感觉练出来：不是盯着式
子算，而是先看式子两边谁大谁小、换成哪个量去比最合适。这种结构一旦发现，
题目就很容易；结构看不见，明明是选择题，也会被自己算复杂了。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是
A.若随机变量X~N(1,σ2),则P(X≤0)=P(X≥2)
4B.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B)
C.若样本数据x?,x?,…,x的方差为2,则数据2x?+1,2x?+1,…,2xn+1的方差为
8
D.用相关指数R2刻画回归效果，R2越接近1,说明回归模型的拟合效果越好
【答案】ACD
【锤子数学解析】X~N(1,σ2),P(X≤0)=P(X≥2),A对.
A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B),P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),B错.
x?,x?,…,x,方差为2,则2x?+1,2x?+1,…,2xn+1方差22×2=8,C对.
R2越接近1,回归模型的拟合效果越好，D对，选ACD.
10. 已知函数f(x)=simx-J5cosx,g(y)=zsim 2x+3),
则
A.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称中心
B.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称轴
π一3
C.曲线y=f(2x)向左平移 个单位得到曲线y=g(x)
D.曲线y=f(2x)与曲线y=g(x)关于y轴对称
【答案】AC
f(x)=2sim(×-3), 心(“+(;π,0),
【锤子数学解析】 对称中
(x)=2sin 2x+号)对称中心([-+2,0),(3,0
都是它们的对称中心，A对.
f(x)与g(x)周期不同，没有相同的对称轴，B错.
π一3
(2x)=zsin 2zx--) 2sm12×+→)驾]
向左平移 个单位变为：
=2sim 2x+5)=s(x),若f(2x)=zsin 2zx-)与g(x)=2sim 2x+号)
关于y
2sin 2x-3)=2sin-2x+3),
轴对称，则f(2x)=g(-x),即 D错，选AC.
511.已知四棱锥P-ABCD的体积为12,四边形 ABCD是平行四边形，Q为PA的中
点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,N.设
PM=λPB,PN=μPD,则
A. λ=μ时，AB//平面CMN
λ=2
B.
时，μ=1
C.四面体PQBC的体积为3
D.四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4
【答案】BCD
【锤子数学解析】设a=PA,5=PB,a=PD,则PC=b+ā-a,PQ=2a,
PM=2b,PN= μā,因C,Q,M,N 共面，PC=xPQ+yPM+zPV,x+y+z=1
2=-1,ya2=1,zμ=1,
即苏+d-a=a+yλb+zμā,比较a,b,a的系数，得
x=-2,y=一，2=,a+=3
x+y+z=1,
λ=μ=3,
此时AB=b-a,CM=a-35-a,CN=a-b-3a
若λ=μ,则
若AB//平面CMN,则存在实数s,t,使AB=sCM+tCN
即5-a=s a-35-ā)+|a-b-3a
s+t=-1
一_1s二-t=。1方程组无解，故AB//平面CMN,A错.
比较系数，得
λ=2,
2+—=3=μ=1,B对
若 则
又四边形ABCD是平行四边形,VpaBc=Vpacn=p-ABCD=6,
,且Q为PA的中点，
VPQBc:VPABc=PQ:PA=1:2,故VpQBc=3,C对.
再由Vp-MCNQ=Vpocm+Vpacx且Vpacm:VpgBc=PM:PB=λ:1,
6VpQc:VpQcD=PN:PD=μ:1,又VpQBc=VpQcD=3,
+=+μ
+1=3
故Vp-McnQ=3λ+3μ=3(λ+μ),由 和· 得
≥a+→a+μ≥3, λ=μ=3
所以Vp-MCNo=3(λ+μ)≥4,当且仅当 时取等号，
故四棱锥P-MCNQ的体积最小值为4,D对.故选BCD.
锤子拓展与深挖
1、命题背景：这题的核心不是空间角，而是PC=PB+PD-PA,这一步把空间
+=3
截面问题转化为仿射线性关系，后面自然出现
2、一般化结论：若把中点条件改成PQ=tPA(0<t<1)
仍设PM=λPB,PN=μPD,同理可得PC=xPQ+yPM+zPN,x+y+z=1
x=-,y=,2=1, +1=1+
比较系数： 从而
1=2, +—=3
本题 于是
若原四棱锥体积为V,则Vrac=Vrnaco=v,Vr-mce=-V(a+L)
+1=1+-与☆+1=+得λ+μ241
再由
Vp-mcng2.14+=2'v λ=μ=1+
所以1 ,当且仅当 时取等号.
t=3
3、改编：若Q不是中点，而是满足PQ:QA=1:2,则
÷+1=4,(4+4)-1. Vmo-v=
于是
若总体积仍为12,则Vp-MCNQ,min=2
-2+元+云=1,+=3
4、更高级的方法：直接得到·
这个方法本质上就是把空间图形转化为坐标线性关系，计算量会更小.
锤子点评：这题表面上是空间截面和体积综合，真正决定结果的只有一个式子：
7+1=3,
,这个式子出来以后，B和D基本已经确定，C也就是一个体积二分的
问题。A最容易凭图形感觉误判，λ=μ只说明两条侧棱上的截比相同，不说明
AB就与截面平行，所以这里一定要补一笔验证。我这里最想提醒大家的是，看到
平行四边形底面时，要优先想到PC=PB+PD-PA这种线性表示。很多空间题外
形很复杂，真正关键往往不是找角，不是找垂线，而是先把点与点之间的线性关
系确定下来。这样处理，整题会简单很多。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量a=(1,-2),a+b=(3,m),且a⊥b,则m=_______.
【答案】-1
【锤子数学解析】a+b=(3,m),二b=(3,m)-(1,-2)=(2,m+2),a⊥b,
∴a·b=0,∴2-2(m+2)=0,∴m=-1.
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x-2y+4=0与C有唯一的公共
点A,则|AF|=________.
【答案】5
=2-4
【锤子数学解析】 消x可得y2-4py+8p=0,△=0,∴p=2,
AF=4+2=5.
y2-8y+16=0,y=4,x=2×4-4=4,
,
14.已知函数f(x)=x(x-2)2,对任意x∈[0,m],都有f(x)≤m,,则m的取值范围
为_____.
【答案】
3,f(x)在
【锤子数学解析】方法一：f'(x)=(x-2)(3x-2)=0,x=2或
一.) 32)
单调递增， 单调递减，(2,+o)单调递增.
822
23 2 83
0<m≤3
1°
时，f(x)在[0,m]单调递增，f(x)mx=f(m)=m(m-2)2
m(m-2)2≤m,
,则1≤m≤3无公共部分.
2<m≤3
3<m≤3
2° f(x)=-(3)=22,22≤m,
时， 此时
m>
3°
时，f(x)ma=f(m)=m(m-2)2,m(m-2)2≤m,则1≤m≤3
3<m≤3, 2≤m≤3
此时 综上：
me[2,3
方法二：默认m>0,则
由题意得m≥0,f'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2),f'(x)=0=x=3,2
[0.3 32]
③=2,f(2)=0,f)=2,
,故f(x)在 上递增，在 上递减，
在(2,+∞)上递增，所以f(x)在[0,m]上的最大值为
题意等价于maxf(x)≤m,即
9由m(m-2)2≤m得m=0或m>0→(m-2)2≤1→1≤m≤3
22≤m≤3, ≤m≤3
于是第一段得m=0,第二段得 第三段得
me[,3
综上
锤子拓展与深挖
1、改编：若改为g(x)=x(x-a)2,a>0,
则g(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a),g(x)=0=x=3,
3)=2,s(a)=0.)=27
故
并且m(m-a)2≤m→m=0或a-1≤m≤a+1
本题就是a=2的情形.
2、命题背景：这类题本质上是在算f([0,m])=[0,m]
也就是区间[0,m]在函数作用下仍落回[0,m]内.
3、推广与更高级的方法：若条件改为f(x)≤km,k>0
22≤km
则只需处理g(m)≤km,本题对应m(m-2)2≤km或
即m=0或2-√k≤m≤2+√k以及m27
0≤m≤3,3≤m≤3,m23
再分别与 取交即可.当k=1时回到原题.
锤子点评：这题看着是参数范围，其实：先把[0,m]上的最大值找出来。很多同学
x=3
第一反应是代x=m,这只能得到必要条件，不够，因为 这个峰值也必须落
x=3, m>
在y=m下方。反过来，如果只盯着 又容易把 以后端点重新变成最
大值这件事漏掉。我这里更想提醒大家一个意识：遇到对任意x∈[0,m]都成立这
10种条件，先看区间会不会被函数映回自己，也就是先想f([0,m])=[0,m]这个意
识比单独算出这道题更重要。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图，已知△PAB是圆锥PO的轴截面，PA=3,AB=2.
(1)求圆锥PO的外接球的表面积；
(2)若C为弧AB的中点，求二面角C-PA-B的正切值.
P
A B
O
C
【锤子数学解析】
(1)PO=2√2,圆锥PO外接球球心O'一定在PO上，
设O'B=O'P=R,∴00′=2√2-R
(2√2-R)2+1=R2→R=492,S=4π32=8π
在△BOO′中
(2)如图建系，
2
P
O
A( B y
C
T
∴P(0,0,2√2),A(0,-1,0),C(1,0,0),
PA=(0,-1,-2√2),AC=(1,1,0),设平面PAC的一个法向量π,=(x,y,z)
11-+-2-5z=?=π=(2√2,-21.1)
而平面PAB的一个法向量n?=(1,0,0)
-周一与
显然二面角C-PA-B的平面角θ为锐角，
sm=— tm=232-3.2
a,=1,a2= ,a=(1a,。-4.:)4.2-
16.(15分)已知数列{a}各项均不为零，
(1)当t=1时，求{a}的前50项和；
(2)若a>an+1,求正整数t的最小值.
【锤子数学解析】
(1)当t=1时,a?an+1=(a-an+1)an+2,a
b.+b,=6.2
=b: 2=b.-b,b?=1,b?=3,
令
①+②→b?+b?+3=0,b?+3=-b,∴b+?=-b?+3=b
{b}的一个周期为6,{a,}一个周期也为6
而b?=2,b?=-1,b?=-3,b?=-2,
a?=1,a?=3,a?=2,a=-1,a?=-3,a?=-2
8×0+1+1=3
{a}一个周期的和为0,∴{a}的前50项和为：
(2)当t=1时，由(1)知{a.}为周期数列，{an}不单调.
--+0-2
当t=2时，
周 =2n-1=a=2n-1’
成等差数列且首项为1,公差为2,
{a}单调递减满足an>a+1,∴正整数t的最小值为2.
1217.(15分)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规
则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选
项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2
个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对
其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为p(0<p<1),
记X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分.
D=3,
(1)若 ,求P(X≥2);
(2)求X的概率分布列和数学期望；
0<p<时，E(x)<E(Y).
(3)证明：当且仅当
【锤子数学解析】
P(x≥2)=3×2+3×3=12
(1)
(2)X的所有可能取值为0,2,3
P(X=0)=p-2+(1-D)-4=14P,
P(X=2)=(1-D)2-(1-p),P(x=3)=p—=2
∴X的分布列如下：
X 0 2 3
1+4
P2
3(1-D)
P
E(x)=3(1-p)+3D=3
(3)Y的所有可能取值为0,4,6.
P(Y=4)=(1-D)-2(1-D),P(Y=6)=nS一”
P(Y=0)=1-2(1-p)-?D=2+3D
E(Y)=2(1-D)+p=2-p,E(x)<E(Y)=3<2-p?0<p<
13当且仅当0<p<
时，E(X)<E(Y).
2,P(4,3)
18.(17分)已知双曲线C:2-b2=1(a,b>0) 是C上一
的离心率为
点.直线l的斜率为-1,且与C交于A,B两点.
(1)求C的方程；
(2)若PA·PB=36,求1的方程；
(3)证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上.
【锤子数学解析】
3=1
方法一：(1)由题意知 ∴C的方程为：
(2)设直线1方程为y=-x+m,A(x?,y?),B(x?,y?)
32-4+2=12=-x2+8mx-4m2-12=0,即x2-8mx+4m2+12=0①
△=64m2-4(4m2+12)=48(m2-1)>0,m2>1
PA=(x?-4,y?-3),PB=(x?-4,y?-3),
∴PA·PB=(x?-4)(x?-4)+(v?-3)(v?-3)
=x?x?-4(x?+x?)+16+(m-3-x?)(m-3-x?)
=2x?x?-(m+1)(x?+x?)+(m-3)2+16
=2(4m2+12)-(m+1)·8m+(m-3)2+16=m2-14m+49=36
→(m-1)(m-13)=0→m=13
∴直线l的方程为y=-x+13.
(3)设△PAB外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,它过P(4,3)
14A
B
∴16+9+4D+3E+F=0→F=-25-4D-3E
∴外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey-4D-3E-25=0
D=-7m-)2-2,吾),
o(2(m+1), (1-m)
即! 它在定直线x+y=7
上运动.
方法二：锤子数学精彩秒杀
设PA:y-3=k,(x-4),PB:y-3=k?(x-4).
由寒假线上集训网课：k?+k?=0.
x。=46,6;+3v =4615+3
设外接圆圆心为Q(x?,y).联立中垂线方程得.
x?+y?=24k;k+3=7.:
所以
.Q在定直线x+y=7上.秒杀。
方法三：
e2=1+2=?一2-=b2=3a2.又P(4,3)ec,1-9=1.
(1)由题意，
1-2-1-—-1=-4
b2=3a2,
代入 得
c:43=1.
(2)设直线1方程为x+y=t.设A(x?,t-x?),B(x?,t-x?).
“-3°2=1
由 得3x2-4(t-x)2=12→x2-8tx+4t2+12=0.
∴x?+x?=8t,x?x?=4t2+12.设M为AB的中点，
15M{?+x,(-x;)+(-x2)=(41,-3)
则
又(x?-x?)2=(x?+x?2-4x,x?=64+2-16r2-48=48(t2-1).
Ma2=(?,)2+(-一x;)-(-x,)2=2(x;-x;)°=24(2-1).
PM2=(4t-4)2+(-3t-3)2=25t2-14t+25.由PA=PM+MA,PB=PM-MA,
得PA·PB=(PM+MA)·(PM-MA)=PM2-MA2.
∴PA·PB=25t2-14t+25-24(t2-1)=(t-72.由题意(t-7)2=36=t=1或13.
又△=(-8t)2-4(4t2+12)=48(t2-1).直线1与双曲线交于两点，
△>0→|t|>1.
故t=1舍去，t=13.∴I:x+y=13,即∴I:y=-x+13.
(3)设直线1方程仍为x+y=t,|t>1.且△PAB存在，故t≠7.
由上可得AB的中点M(4t,-3t).因为AB的斜率为-1,
所以AB的垂直平分线斜率为1,
其方程为y+3t=x-4t→y=x-7t.设外接圆圆心Q(u,v),则v=u-7t.①
又QM2=(u-4t)2+(v+3t)2.由(1)得v+3t=u-4t,所以QM2=2(u-4t)2.
由(2)已得MA2=24(t2-1).又QM⊥AB,故QA2=QM2+MA2.
因为Q为外接圆圆心，QP2=QA2.于是(u-4)2+(v-3)2=2(u-4t2+24(t2-1).
代入v=u-7t,得(u-4)2+(u-7t-3)2=2(u-4t2+24(t2-1),
u=7(4+1)
→2(t-7)u=7(t-7)(t+1).由t≠7,得
再由①,v=u-7t=7(1-)
.所以u+v=7.
∴Q在定直线x+y=7.
锤子拓展与深挖
1、一般化结论这题里真正起作用的是中点M.只要M是AB的中点，
就恒有PA·PB=(PM+MA)·(PM-MA)=PM2-MA2.
若Q是△PAB的外接圆圆心，则QP2=QA2=QM2+MA2.
16所以本题第二问与第三问都可归结到同一组量PM2,QM2,MA2.
-3=1,
对本题双曲线 若取平行弦1:x+y=t,
则恒有x?+x?=8t,x?x?=4t2+12,
M(4t,-3t),(x?-x?2=48(t2-1),MA2=24(t2-1),
PA PB=(一7,Q[7(±2).7(-2)
这些式子把整题统一成了一个参数t的问题.
2、锤子改编：若把第二问改成PA·PB=m(m≥0),则(t-7)2=m→t=7±√m.
所以候选直线为x+y=7±√m.再由△=48(t2-1)>0筛掉切线或不存在的情形
即可.
例如本题m=36→t=1或13,其中t=1→△=0,只对应切线，∴I:x+y=13.
3、命题背景：这类题的背景就是圆锥曲线中的平行弦问题.
本题中所有斜率为-1的弦都写成x+y=t,
于是弦中点轨迹为M(4t,-3t)→3x+4y=0,
7(2+1),7(-2)=x+y=7.一个是弦中点的定直线。
而外接圆圆心轨迹为(
锤子点评：第三问尤其值得大家回头再看一遍.外接圆圆心这种题，很多时候大家
会下意识去设圆方程直接算，这当然可以，但这里先写垂直平分线，再配合
QA2=QM2+MA2会更简洁.整题从双曲线方程，到数量积，再到圆心轨迹，衔接
得很紧，我觉得是道很有质量的题，既考基本功，也考大家能不能把几何关系转
化成简单的代数量.
f(x)=-
19.(17分)已知函数
(1)对任意0<s<t,f(x)≥f(s)是f(x)≥f(t)的必要条件，求a的最小值；
(2)对任意b>0,函数g(x)=f(x)-b存在两个零点x?,x?·
(i)求a的取值范围；
(ii)对于(i)中给定的a,证明：当|x?-x?|取得最小值时，b=a.
17【锤子数学解析】
方法一：(1)由f(x)≥f(s)是f(x)≥f(t)的必要条件→f(t)≥f(s)
f()=°-(c-a)20
∴f(x)在(0,+oo)上单调递增，
→a[(1-x)e*],令h(x)=(1-x)e,h'(x)=-e+e*(1-x)=-xe<0
h(x)在(0,+∞)上单调递减，∴h(x)<h(0)=1,∴a≥1,∴amin=1.
e-“-b=0
(2)(i)对Vb>0,
有两个不等的实根x?,x?
→e-bx-a=0有两个零点x?,x?,(a≠1)
令F(x)=e-bx-a,F'(x)=e-b>0→x>Inb
F(x)在(-∞,Inb)上单调递减；(lnb,+∞o)上单调递增，
x→-∞,F(x)→+00;x→+0o,F(x)→+00
要使F(x)有两个零点，只需F(x)..=F(Inb)=b-blnb-a<0
→a>(b-blnb),令φ(b)=b-blnb,φ'(b)=-Inb
φ(b)在(0,1)上单调递增；(1,+∞o)上上单调递减，
∴φ(b)mx=φ(1)=1,∴a>1
(ii)令e“-bx-a=0=6=x+6,
e'm-(x-Inb)=Inb+“
两根为x?,x?
x:-1nb=.,
二e'-t=Inb+“
令x-Inb=t,其中· 的两根为t?,t?
令G(t)=e-t,G'(t)=e-1>0→t>0,
G(t)在(-∞,0)上单调递减；(0,+∞)上单调递增，作出G(t)图像如下：
18y=r(b)
1
令r(b)=Inb+“,r'(b)=b-b2=b2,
r(b)在(0,a)上单调递减；(a,+oo)上单调递增，r(b)≥r(a)
∴当b=a时，r(b).n=r(a)=Ina+1>1,此时|t-t?|=|x?-x?|最小
:|x?-x?|取最小值时，b=a.
方法二：(1)由题意，f(x)≥f(t)→f(x)≥f(s),V0<s<t.
令x=t,得f(t)≥f(s),V0<s<t,故f(x)在(0,+)上单调递增.
f(x)=°-(c-a)=e(x-1)+a
令h(x)=e(x-1),x>0,则h'(x)= xe>0.
故h(x)在(0,+∞)上单调递增，且x→0+→h(x)→-1.
于是h(x)>-1,x>0.从而f'(x)≥0,Vx>0→a≥1.
f(x)=°(x-1)+1>0,x>0,符合题意.
当a=1时，
∴amin=1.
(2)(i)g(x)=0=e-“=b=e*-bx-a=0,x≠0.
令p(x)=e-bx-a,则p'(x)=e-b,p”(x)=e?>0.
p'(x)=0→x=Inb.于是p(x).n=p(Inb)=b-blnb-a.
令φ(b)=b-blnb,则φ(b)=-Inb.故φ(b)≤φ(1)=1.
于是p(x).n<0,Vb>0→a>1.
当a>1时，x→-0→p(x)→+00,x→+00→p(x)→+00,
且p(x).<0,故方程p(x)=0有两个不等实根，从而g(x)有两个零点.
19当a<1时，取b=1,则p(x).n=1-a>0,无实根.
当a=1时，取b=1,则p(x).=0,
唯一实根为x=0,但x=0不在g(x)的定义域内.∴a∈(1,+o).
(ii)不妨设x?<x?.由(i)知a>1.
由g(x;)=0,i=1,2得e=bx,+a,i=1,2.
又由p'(x)=e-b,p'(x)=0→x=Inb,且p(x)为凸函数，故x?<Inb<x?·
令t?=x?-Inb,t?=x?-Inb,则t?<0<t?.
代入e=bx,+a,得e+=b(Inb+t.)+a,e?-t,=Inb+芳=μi=1,2.
令φ(t)=e-t,则φ(t)=e-1.
故φ(t)在(-○,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，
且φ(0)=1,t→±∞→φ(t)→+∞0.
所以当μ>1时，方程φ(t)=μ有两个根t?<0<t?·
设d(μ)=t?-t.若μ?<A?,则由单调性得t(μ)>t?(μ2),t?(μ)<t?(μ2),
故d(μ)<d(μ?).即d(μ)单调递增.
而|x?-x?|=x?-x?=t?-t?=d(μ).
故|x?-x?|取得最小值，当且仅当μ取得最小值.
又μ-(1+Ina)=1m2+“-1.
“=“>0,则μ-(1+Ina)=u-1-Inu.
令
由Inu≤u-1得u-1-Inu≥0.
故μ≥1+Ina.当且仅当u=1→b=a时取等号.
因此|x?-x?|取得最小值时，b=a.
锤子拓展与深挖
1、命题背景：
第(2)问本质上是直线y=bx+a与曲线y=e的交点个数与两交点的横坐标
20=b+={2=6(1-1m)
距离.临界情形是相切，切线条件为·
即切线在参数b下对应的截距公式为a=b(1-Inb).
再由[b(1-Inb)]mx=1立刻得到：若a>1,
则任意b>0时直线y=bx+a都与y=e有两个交点；
若a=1,则在b=1时出现临界切线y=x+1,切点为(0,1),但原题中x=0不在定义
域内；若a<1,则某些b下无交点.
2、一般化结论：对固定的a>1,设x?<x?为方程e=bx+a的两根，
令x=1nb+t,则化为e′-t=1,μ=Inb+
.设此方程两根为t?(μ)<0<t?(μ),
则x?-x?=t?(μ)-t?(μ)=d(μ).进一步用隐函数求导，(e-1)t(μ)=1,i=1,2,
故(d(μ)=e-1e-I>0.
所以d(μ)严格递增，因此x?-x?≥d(1+Ina),
且等号当且仅当μ=1+Ina→b=a.
这就是本题第(2)问第二小问背后的通用结论.
3、锤子改编：
已知k>0,F(x)=he-a
.若对任意b>0,方程ke?=bx+a都有两个不等实根，
求a的范围，并求两根距离最小时的b.处理同样简单：
h(x)=he”-bx-a,H(k)=ke“-b,J(x)=0=x=m,A()- 1-1mk)-a.
o(b)=b(1-1m2),则o2(6)=-m,(b)-(k)=k.故a>k.
令
x=m2+,则e′-t=1m+十
再令 .右端最小值仍在b=a处取得，
所以两根距离最小时仍有b=a.
4、更高级的方法：
u=x+6,
方程e*=bx+a还可以化到LambertW函数.令
e=bu→me?“= e.
则
21于是x--m-1。 =-(一)
.两根分别对应两个分支：
=--m(一。)
存在两根当且仅当一—。(20)=1mb+景>1
这和我这里得到的核心参数μ=Inb+“完全一致，只是表达方式更高一级.
锤子点评：这题第一问很容易把大家绕在逻辑表述里，但真正的入口其实很简单
:必要条件先翻译，拿x=t代进去，问题就已经确定成f(x)在(0,+∞)上的单
调性了.第二问我觉得出得尤其好.表面上看是零点问题，实际上是直线y=bx+a
和指数函数y=e的交点问题.先看最小值点x=Inb,再把变量平移成x=Inb+t
原来分散在式子里的参数b很快就被整理成了μ=Inb+6后面两根距离的最小值，
x?,x?
就不再是围着 展开复杂计算，而是转化成一个单变量最值问题了.我觉得这
一步非常值得大家反复体会，因为它不是单纯的计算技巧，而是看结构、抓核心
参数的能力.会了这一题，后面很多直线与指数函数交点类题目，处理起来都会简
单不少.
22
