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专题 03 函数概念、图像与性质（42 题）
一．选择题（共10小题）
1．（2023•崇明区二模）如果函数 的图象经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行分析判断．
【解答】解：函数 的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是：m＜0．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数 y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b
＜0时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．
2．（2023•松江区二模）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪
个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3，k＝﹣2＜0，b＝3＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意一次函数的性质，知道当 k＜0，b＞0
时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
3．（2023•普陀区二模）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】由一次函数的系数，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝2x﹣3的图象经过第
一、三、四象限，进而可得出一次函数y＝2x﹣3的图象不经过第二象限．
【解答】解：∵k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象
限”是解题的关键． ⇔
4．（2023•黄浦区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数y＝﹣x3，其图象经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据x的取值，判断y的范围，即可求解．
【解答】解：当x＜0时，y＞0；此时点在二象限；
当x＞0时，y＜0；此时点在四象限；
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，研究函数图象一般的方法是描点法．
5．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函
数图象可能经过的点是（ ）
A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）
【分析】由函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，可得出k＜0，进而可得出正
比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，
∴k＜0，
∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，
∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大
而增大；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．（2023•闵行区二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（
）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限可知k＞0，b＞0，然后问题可求解．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、三象限可知k＞0，b＞0，所以符合题
意的只有A选项；
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2023•杨浦区二模）下列函数中，y的值随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质，可以写出各个选项中的函数，y随x的增大如何
变化，从而可以解答本题．
【解答】解：在函数y＝ 中，y随x的增大而增大，故选项A符合题意；
在函数y＝﹣ 中，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；
在函数y＝ 中，在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
在函数y＝﹣ 中，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键明确正比例函数的性质和反
比例函数的性质，能够根据函数解析式，写出y随x的变化如何变化．
8．（2023•闵行区二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线，
那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点的横坐标相同 D．顶点的纵坐标相同
【分析】根据二次函数的平移及性质可进行求解．
【解答】解：把抛物线y＝2x2向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为y＝2x2﹣3，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线x＝0，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个
为0，一个为﹣3；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．
9．（2023•宝山区二模）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图
象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是（ ）
x … ﹣2 1 2 …
﹣
y … ﹣1 4 ﹣2 ﹣1 …
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣ ，4） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【分析】根据反比例函数中k＝xy的特点进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣1）≠﹣ ＝1×（﹣2）＝2×（﹣1），∴这个点是（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此
函数的解析式是解答此题的关键．
10．（2023•徐汇区二模）若点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（2，y ）在反比例函数 的图象
1 2 3
上，则（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【分析】先判断出反比例函数 的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每
一象限坐标的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数 的图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）在第二象限，y ＞y ＞0；（2，y ）在第四象限，y ＜0，
1 2 2 1 3 3
∴y ＞y ＞y ．
2 1 3
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共26小题）
11．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣3，x）在第二象限，则x的取值范围为 0 ＜
x ＜ 3 ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（x﹣3，x）在第二象限，
∴ ，
解不等式①得，x＜3，
所以不等式组的解集是0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决
的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；
第四象限（+，﹣）．12．（2023•崇明区二模）已知 ，那么 ＝ ．
【分析】把x＝ 代入函数解析式即可．
【解答】解：当x＝ 时，f（ ）＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查求函数值的知识点，把自变量取值代入函数解析式即可．
13．（2023•徐汇区二模）已知 ，那么 ＝ 1 ．
【分析】根据f（x）＝ ，可以求得f（3）的值，本题得以解决．
【解答】解：∵f（x）＝ ，
∴f（3）＝ ＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
14．（2023•松江区二模）一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离 s
（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是 90千米/时，客车的
速度是60千米/时，那么点A的坐标是 （ 4 ， 0 ） ．
【分析】根据路程、速度、时间的关系计算即可．
【解答】解：A点的纵坐标为0，说明此时客车和私家车相遇，
∴两车相遇的时间为 ＝4（小时），
∴点A的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息得出结论．
15．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点（1，3），且与直线y＝2x+6平行，那么这个一次函
数的解析式是 y ＝ 2 x + 1 ．
【分析】本题通过已知与直线y＝2x+6平行，可知要求的函数解析式为y＝2x+b，将点（1，3）代入表
达式，求出b值，就求出了函数解析式．
【解答】解：设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵该一次函数的图象与直线y＝2x+6平行，
∴k＝2，即函数表达式为y＝2x+b，
将点（1，3）代入表达式得，
3＝2×1+b，
b＝1，
函数表达式为：y＝2x+1，
故答案为：y＝2x+1．
【点评】本题考查一次函数图象平行时，k值相等，通过代入经过的点来求出函数表达式．
16．（2023•静安区二模）已知f（x）＝x﹣1，那么 ＝ ．
【分析】把x＝ 代入函数解析式即可．
【解答】解：当x＝ 时，f（ ）＝（ ）﹣1＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查求函数值和负整数指数幂，把自变量取值代入函数解析式即可．
17．（2023•宝山区二模）已知一次函数y＝3x+m的图象经过点（﹣1，1），那么m＝ 4 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝3x+m的图象经过点（﹣1，1），
∴1＝3×（﹣1）+m，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y
＝kx+b”是解题的关键．
18．（2023•嘉定区二模）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1）的“特征
值”是 4 ．
【分析】按照一次函数的取值求出当x最小及最大时的两个点，再分别求出y﹣x即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1），
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，y﹣x＝1，
当x＝1时，y＝5，y﹣x＝4，
∵4＞1，
∴该函数的“特征值”为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数的性质，准确的计算是解题关键．
19．（2023•普陀区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣4），那么函数值y随自变
量x的值的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】运用待定系数法求出k后即可判断函数的增减性．
【解答】解：首先把x＝2，y＝﹣4代入y＝kx，
得2k＝﹣4，k＝﹣2＜0，
再根据正比例函数图象的性质，得y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是首先能够熟练求得k的值．其次要熟悉正
比例函数图象的性质．
20．（2023•嘉定区二模）如果反比例函数 的图象经过点（1，﹣2），那么这个反比例函数的解析
式为 y ＝﹣ ．
【分析】直接把（1，﹣2）代入 中计算出a﹣1的值即可得到这个反比例函数的解析式．
【解答】解：把（1，﹣2）代入 得a﹣1＝1×（﹣2）＝﹣2，
∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
21．（2023•浦东新区二模）点A（﹣2，5）在反比例函数 的图象上，那么k＝ ﹣ 1 0 ．
【分析】直接把点（﹣2，5）代入反比例函数 求出k的值即可．
【解答】解：∵点（﹣2，5）在反比例函数 的图象上，
∴5＝﹣ ，
解得k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．（2023•金山区二模）抛物线 在y轴的右侧呈 下降 趋势（填“上升”或者“下降”）．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵ 中的a＝﹣ ＜0，b＝0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分下降，
故答案为：下降．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
23．（2023•嘉定区二模）如果函数y＝x2+k的图象向左平移2个单位后经过原点，那么k＝ ﹣ 4 ．
【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后的顶点坐标并写出解析式，然后把经过的点的坐标代入函数
解析式计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+k的图象向左平移2个单位后的顶点坐标为（2，k），
∴平移后的函数解析式为y＝（x+2）2+k，
∵平移后过原点（0，0），
∴0＝（0+2）2+k，
∴k＝﹣4
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移解答更简便．
24．（2023•松江区二模）将抛物线y＝x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为 y ＝（ x + 1 ） 2 ．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得函数解析式为：y＝
（x+1）2．
故答案为：y＝（x+1）2．
【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．
25．（2023•徐汇区二模）某公司产品的销售收入y 元与销售量x吨的函数关系记为y ＝f（x），销售成本
1 1
y 与销售量x的函数关系记为y ＝g（x），两个函数的图象如图所示．当销售收入与销售成本相等时，
2 2
销售量x为 4 吨．
【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以得到两个函数对应的函数解析式，然后令它们的函数值相
等，求出相应的x的值即可．
【解答】解：由图象可得，
函数y ＝f（x）是正比例函数，过点（2，2000）；函数y ＝g（x）是一次函数，过点（0，2000），
1 2
（2，3000），
设y ＝kx，
1
则2k＝2000，得k＝1000，
即y ＝1000x；
1
设y ＝ax+b，
2
则 ，
解得 ，
即y ＝500x+2000；
2
令y ＝y ，
1 2
则1000x＝500x+2000，
解得x＝4，
即当销售收入与销售成本相等时，销售量x为4吨，故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（2023•金山区二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华
书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离 y （米）、y （米）与时间x（分钟）
1 2
之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 5 分钟．
【分析】分别求出函数y ，y 的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
1 2
【解答】解：设y ＝kx+b，
1
则 ，
解得 ，
∴y ＝﹣60x+600；
1
设y ＝mx+n，
2
则 ，
解得 ，
∴ ＝﹣200x+1300，
2
联立 ，
解得 ，
∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．27．（2023•宝山区二模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定
的质量，则需购买行李票．行李费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅
客最多可免费携带行李的质量是 2 5 千克．
【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，
即y＝0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【解答】解：设一次函数y＝kx+b，
∵当x＝40时，y＝6，当x＝50时，y＝10，
∴ ，
解得： ，
∴所求函数关系式为y＝ x﹣10（x≥25）；
当y＝0时， x﹣10＝0，
所以x＝25，
故旅客最多可免费携带25千克行李．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，
具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
28．（2023•黄浦区二模）已知某反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，
那么这个反比例函数可以是 y ＝﹣ （答案不唯一） .（只需写出一个）
【分析】首先根据反比例函数的性质可得k＜0，再写一个符合条件的数即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，
∴k＜0，
∴y＝﹣ ，
故答案为：y＝﹣ （答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y＝ ，当k＞0时，在每一个
象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而
增大．
29．（2023•松江区二模）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在反比例函数 的图象上，如果0＜x ＜
1 1 2 2 1
x ，那么y ＞ y ．
2 1 2
【分析】反比例函数 ，根据在同一个象限内，y随x的增大而增减小即可得答案．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴反比例函数 的图象在一、三象限，且在同一个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x ，y ）、B（x ，y ）在反比例函数 的图象上，且0＜x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
∴y ＞y ，
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查反比例函数的增减性，掌握k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小是解题的
关键．
30．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4）关于抛物线y＝a（x+2）2的对称轴对称
的点的坐标是 （﹣ 5 ， 4 ） ．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解．
【解答】解：∵y＝a（x+2）2的对称轴为：x＝﹣2，
∴A关于x＝﹣2的对称点为：（﹣5，4），
故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
31．（2023•崇明区二模）已知一个反比例函数图象经过点P（﹣2，3），则该反比例函数的图象在各自的
象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而 增大 .（填“增大”或“减小”）【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝ （k≠0），
∵反比例函数图象过点P（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求
反比例函数的解析式．
反比例函数图象的性质：
（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，函数值 y随自变量x的值逐渐增
大而减小；
（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，函数值 y随自变量x的值逐渐增
大而增大．
32．（2023•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y＝2x上，点A的横坐标为1，点
P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，联结AP、PB和OB．如果四边形
OAPB是矩形，那么k的值是 ﹣ 8 ．
【分析】作AC⊥OP于点C，BD⊥OP于点D，求得A点的坐标，然后利用射影定理求得PC，通过证得
△ACP≌△BDO（AAS），求得B（4，﹣2），代入y＝ （x＞0）即可求得k的值．
【解答】解：作AC⊥OP于点C，BD⊥OP于点D，
∵点A在直线y＝2x上，点A的横坐标为1，
∴y＝2×1＝2，
∴A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，
∵四边形OAPB是矩形，
∴∠OAP＝90°，
∴AC2＝OC•PC，即22＝PC，
∴PC＝4，
∵AP∥OB，AP＝OB，
∴∠APC＝∠BOD，
∵∠ACP＝∠BDO＝90°，
∴△ACP≌△BDO（AAS），
∴BD＝AC＝2，OD＝PC＝4，
∴B（4，﹣2），
∵点B在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，
∴k＝4×（﹣2）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题
的关键是求得点B的坐标．
33．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线 与抛物线 组成一个开口向上
的“月牙线”，抛物线C 和抛物线C 与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点
1 2
分别为C、D．如果BD＝CD，那么抛物线C 的表达式是 y ＝ x 2 + x ﹣ ．
2【分析】先利用抛物线C 求出A，B，C的坐标，再利用BD＝CD，以及勾股定理求出点D的坐标，最
1
后用待定系数法求出C 的表达式即可．
2
【解答】解：令x2+2x﹣3＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，
∴D（0，c），
∴CD＝c+3，
在Rt△BDO中，
BD＝ ＝ ，
∵BD＝CD，
∴ ＝c+3，
解得c＝﹣ ，
∴抛物线C ：y＝ax2+bx﹣ ，
2
将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣ ，
得解得 ，
∴抛物线C 的表达式是：y＝ x2+ x﹣ ．
2
故答案为：y＝ x2+ x﹣ ．
【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，解答时涉及抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，掌握待
定系数法求函数解析式是解题的关键．
34．（2023•松江区二模）我们定义：二次项系数之和为1，图象都经过原点且对称轴相同的两个二次函数
称作互为友好函数．那么
y＝2x2+4x的友好函数是 y ＝﹣ x 2 ﹣ 2 x ． ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的二次项系数及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝2x2+4x，
∴二次项系数为2，对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴y＝2x2+4x的友好函数是y＝﹣x2﹣2x，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
35．（2023•浦东新区二模）抛物线y＝x2﹣2在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而 减小 ．（填
“增大”或“减小”）
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
36．（2023•杨浦区二模）如果抛物线y＝ax2﹣3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是 a ＜ 0 ．
【分析】由于顶点是抛物线y＝ax2﹣3的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定a的范围．
【解答】解：∵顶点是抛物线y＝ax2﹣3的最高点，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．
三．解答题（共6小题）
37．（2023•浦东新区二模）某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临
界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
合 户年用水量（立方米） 自来水单价（元/立方 污水处理单价（元/立方
米） 米）
第一阶梯 0﹣220（含220） 2.25 1.8
第三阶梯 220﹣300（含300） 4
第三阶梯 300以上 6.99
注：应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
（1）如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
（2）居民缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关如图所示，求第二阶梯（线段AB）
的表达式；
（3）如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
【分析】（1）根据第一阶段缴费标准，用应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价），
即可得出结论；
（2）根据图象数据和（1）的结论，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先判断全年数纳的水费共计1181元时，得出用水量在第二阶段，然后代入解析式求出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意知，全年应缴纳水费为220×（2.25+1.8）＝891（元），
答：她家全年应缴纳水费891元；
（2）设第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝kx+b，
将点（220，891）和点（300，1355）代入y＝kx+b得：
，
解得 ，
∴第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝5.8x﹣385；（3）由（1）知，全年用水量220立方米时，需缴纳水费891元，
由（2）知，全年用水量300立方米时，需缴纳水费1355元，
∵891＜1181＜1355，
∴小明家全年用水在第二阶段，
∵第二阶梯（线段AB）的表达式为y＝5.8x﹣385，
∴当y＝1181时，5.8﹣385＝1181，
解得x＝270，
答：他家全年用水量是270立方米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思
想解答．
38．（2023•静安区二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，
小明家与超市相距1200米，小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停
留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，
停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟，如图反映了这个过程中小明离开
家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）小明从家到街心公园的速度为 4 5 （米/分）；
（2）小明从街心公园到超市的速度为 6 0 （米/分）；
（3）小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解析式，
并写出x的取值范围．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从家到街心公园的速度；
（2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从街心公园到超市的速度；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明离开家的距离 y（米）与离开家的时间x（分钟）
的函数解析式，并写出x的取值范围．【解答】解：（1）由图可得，
小明从家到街心公园的速度为：900÷20＝45（米/分钟），
故答案为：45；
（2）由图可得，
小明从街心公园到超市的速度为：（1200﹣900）÷（45﹣40）＝60（米/分钟），
故答案为：60；
（3）小明从超市骑车返回家时，设他离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解析式是
y＝kx+b，
由图可得，点（55，1200）在该函数图象上，
由题意可得，点（70，0）在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
即小明从超市骑车返回家时，他离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解析式是y＝﹣
80x+5600（55≤x≤70）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
39．（2023•崇明区二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划
购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x
（瓶）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的
单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．【分析】（1）先设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元列出方程，解方程即可，注意验根．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把（50，20），（20，80）代入，
得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）根据题意得： ﹣ ＝30，
整理得x2﹣170x+4200＝0，
解得x＝30或x＝140，
经检验，x＝30是原方程的根，
当x＝30时，y＝﹣2×30+120＝60，
答：选购甲消毒液30瓶，选购乙消毒液60瓶．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题
的关键．
40．（2023•静安区二模）已知反比例函数 的图象经过点（﹣1，4）．
（1）求k的值；
（2）完成下面的解答过程．
解不等式组 ，
解：解不等式①，得 x ＞﹣ 2 ；
在方格中画出反比例函数 的大致图象，根据图象写出不等式②的解集是 ﹣ 4 ＜ x ＜ 0 ；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 0 ．【分析】（1）把点（﹣1，4）代入 ，可以求得k的值；
（2）解不等式①得x＞﹣2；根据图象求得不等式②的解集是﹣4＜x＜0，在数轴上表示后，根据数轴
即可求得原不等式组的解集．
【解答】解：（1）反比例函数 的图象经过点（﹣1，4），
∴4＝ ，
解得k＝﹣4；
（2）解不等式①，得x＞﹣2；
在方格中画出反比例函数 的大致图象，根据图象写出不等式②的解集是﹣4＜x＜0；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是﹣2＜x＜0．
故答案为：x＞﹣2；﹣4＜x＜0；﹣2＜x＜0．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元一次不等式组，数形结合是解题的关键．
41．（2023•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数
的图象交于点A，点A的纵坐标为4．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点B在反比例函数的图象上，且在点A右侧，过点B作BC∥y轴交正比例函数的图象于点C，如
果△OBC的面积是12，求点B的坐标．
【分析】（1）由正比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）设B（x， ），则C（x，2x），BC＝2x﹣ ，利用三角形面积公式即可得到 （2x﹣ ）•x＝
12，求得x＝6，即可求得B（6， ）．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝2x的图象上，点A的纵坐标为4，
∴A（2，4），∵反比例函数 的图象过点A，
∴m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）设B（x， ），则C（x，2x），
∴BC＝2x﹣ ，
∵△OBC的面积是12，
∴ （2x﹣ ）•x＝12，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
解得x ＝6，x ＝﹣2，
1 2
∵B在点A右侧，
∴B（6， ）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法
求反比例函数的解析式，三角形的面积，正确表示出点的坐标是解题的关键．
42．（2023•杨浦区二模）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于点A（1，m），B
（n，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接BC，如果CD＝
2AD，求线段BC的长．【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达
式即可；
（2）由相似三角形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数 的图象过点A（1，m），B（n，2），
∴m＝2n＝4，
解得m＝4，n＝2，
∴A（1，4），B（2，2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+6；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，∴AE∥CF，
∴△AED∽△CFD，
∴ ，
∵CD＝2AD，
∴CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝ ＝4 ．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数
法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解
题的关键．
