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2023年上海市15区中考数学一模汇编
专题 07 相似、锐角三角比的应用与圆（13 题）
一．选择题（共1小题）
1．（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外
C．圆心角相等，它们所对的弧相等
D．边长为R的正六边形的边心距等于
【分析】分别根据确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质
对各选项进行逐一判断．
【解答】解：A、只有不在同一条直线上的三点才可以确定一个圆，故本选项错误；
B、当半径大于点到圆心的距离时，点在圆内，故本选项错误；
C、只有在同圆或等圆中圆心角相等，它们所对的弧相等，故本选项错误；
D、边长为R的正六边形的边心距等于 R，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的
性质，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
二．填空题（共2小题）
2．（2022秋•杨浦区校级期末）已知 O 与 O 两圆外切，O O ＝5， O 的半径为3，那么 O 的半径
1 2 1 2 1 2
r为 2 ． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果．
【解答】解：∵ O 与 O 两圆外切，∴5＝3+r，∴r＝2，
1 2
故答案为：2． ⊙ ⊙
【点评】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解
题的关键．
3．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以A为圆心，r为半径作 A，使
得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 6 ＜ r ＜ 1 0 ． ⊙【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，利用以A为圆心，r为半径作 A，使得点D在圆内，点C在
圆外，得出r的取值范围即可． ⊙
【解答】解：如图，连接AC，
∵矩形矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，
∴AC＝10，
∵以A为圆心，r为半径作 A，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是：6＜⊙r＜10，
故答案为：6＜r＜10．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．
三．解答题（共10小题）
4．（2022秋•杨浦区校级期末）已知：如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，CD⊥AB，垂足为点
⊙ ⊙
D，F是 的中点，OF与AC相交于点E，AC＝12，EF＝3．
（1）求AO的长；
（2）求cosC的值．
【分析】（1）由F是 的中点，根据垂径定理的推论，得 ，OF⊥AC，在Rt△AEO中，利用勾股定理求解即可；
（2）由CD⊥AB，利用同角的余角相等得到∠C＝∠AOE，cosC＝cos∠AOE，在Rt△AEO，即可得到
cos∠AOE的值．
【解答】解：（1）设AO＝r，则OF＝r，
∵F是 中点，
∴ 且OF⊥AC，
在Rt△AEO中，AE2+OE2＝OA2，
∴62+（r﹣3）2＝r2，
解得： ，
∴ ；
（2）∵OE⊥AE，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵CO⊥AB，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝∠AOE，
∴ ．
【点评】本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，
．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果 ，S△ADF ＝2，求S△ABC 的值．【分析】（1）由DF∥BE可得 ，再结合已知比例，可得 ，即可得证；
（2）由图可知△ADF与△DEF等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由 DE∥BC，得
出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
【解答】（1）证明：∵DF∥BE，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴DE∥BC．
（2）解：∵ ，AE＝AF+FE，
∴ ，
∴ ，
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴S△ABC ＝4⋅S△ADE ＝8S△ADF ＝16．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行
线得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题．6．（2022 秋•浦东新区期末）如图，在 Rt△EAC 中，∠EAC＝90°，∠E＝45°，点 B 在边 EC 上，
BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC＝∠EAB，BF＝5，tan∠AFB＝ ．
求：（1）AD的长；
（2）cot∠DCF的值．
【分析】（1）由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解；
（2））由锐角的余切定义，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠EAC＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝90°，
∵∠FAC＝∠EAB，
∴∠FAC+∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝90°，
∵tan∠AFB＝ ＝ ，
令AB＝3x，则AF＝4x，
∵BF2＝AB2+AF2，
∴BF2＝（3x）2+（4x）2，
∴BF＝5x＝5，
∵x＝1，
∴AB＝3x＝3，AF＝4x＝4，
∵BF•AD＝AB•AF＝2S△ABF ，
∴5AD＝3×4＝12，
∴AD＝ ，
（2）在Rt△ABF中，AD⊥BF，
∴AB2＝BD•BF，∴32＝5BD，
∴BD＝ ，
∴DF＝BF﹣BD＝ ，
∵∠EAC＝90°，∠E＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴∠DBC＝45°，
∴DC＝BD＝ ，
∴cot∠DCF＝ ＝ ．
【点评】本题考查锐角的正切，余切的概念，关键是由勾股定理求出 AB，AF的长；由射影定理求出
BD的长．
7．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，
BC＝3 ．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正弦值．
【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾
股定理得到CE＝ ＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝ ×（5+8）×6＝39；
（2）过 C 作 CH⊥BD 于 H，根据相似三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到 BD＝
＝ ＝10，于是得到结论．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝3 ，
∴CE＝ ＝6，
∴梯形ABCD的面积＝ ×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴ ，
∵BD＝ ＝ ＝10，
∴ ＝ ，
∴CH＝3，
∴∠DBC的正弦值＝ ．
【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
8．（2022秋•静安区期末）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cosB＝ ，AB＝13，BC＝21．
（1）求AC的长；
（2）求∠BAC的正弦值．
【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；
（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【解答】解：（1）∵cosB＝ ＝ ，AB＝13，
∴BD＝13× ＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，
∵AD＝ ＝ ＝12，
∴AC＝ ＝ ＝20；
（2）作CH⊥AB于H，
∵△ABC的面积＝ AB•CH＝ BC•AD，
∴13CH＝21×12，
∴CH＝ ，
∴∠BAC的正弦值是 ＝ ＝ ．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长．9．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝ ，AC＝8，BD平分∠CBA
交AC边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．
【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sinC＝ ＝ ，设出AB＝3k，则BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得
出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，进而得到AB；
（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．根据角平分线的性质得出DE＝AD＝x，利用
HL证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股
定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的
定义即可求解．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∴sinC＝ ＝ ，BC2﹣AB2＝AC2，
∴可设AB＝3k，则BC＝5k，
∵AC＝8，
∴（5k）2﹣（3k）2＝82，
∴k＝2（负值舍去），
∴AB＝3×2＝6；
（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，
∴DE＝AD＝x．
在Rt△BDE与Rt△BDA中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE＝BA＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝90°，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AD＝3，
∴tan∠DBA＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度
适中．准确作出辅助线是解决第（2）问的关键．
10．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，点D在边BC上，
BD＝8，连接AD， ．
（1）求边AC的长；
（2）求cot∠BAD的值．
【分析】（1）设CD＝2x，解直角三角形Rt△ACD得到AC＝3x，再解Rt△ABC得到BC＝4x，则BD＝
2x，由此得到2x＝8，解方程即可得到答案；（2）先利用勾股定理得到 AB＝20，解 Rt△ABC 得到 ，再解 Rt△BDE，得到
，则 ，即可得到 ．
【解答】解：（1）设CD＝2x，
在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∴AC＝3x，
在Rt△ABC中， ，
∴ ，
∴BC＝4x，
∴BD＝BC﹣CD＝2x，
∵BD＝8，
∴2x＝8，
解得x＝4，
∴AC＝3x＝12；
（2）如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
由（1）得AC＝12，BC＝16，
∴ ，
∴在Rt△ABC中， ，
∴在Rt△BDE中， ，
∴ ，
∴ ．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知相应的锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝
，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后
求出∠EAB的正弦值．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD＝6，tanB＝ ＝ ，
∴CD＝4．
在Rt△CDA中，
AC＝
＝
＝2 ．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF．
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF＝BF＝3，EF＝ CD＝2．
∴AF＝AD+DF＝5．
在Rt△AEF中，
AE＝
＝
＝ ．
∴sin∠EAB＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线
定理是解决本题的关键．
12．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在AC上，AD＝2CD，CM是
∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBC的正切值．【分析】（1）首先证明CE∥AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH
的大小，即可求得三角函数值．
【解答】解：（1）在BC延长线上取一点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝6，∠ACF＝120°，
∵CM是∠ACB的外角平分线，
∴∠ECF＝ ∠ACF＝60°，
∴∠ECF＝∠ABC，
∴CE∥AB，
∴ ＝ ，
又∵AD＝2CD，AB＝6，
∴ ＝ ，
∴CE＝3．
（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∵∠ECF＝60°，∠EHC＝90°，CE＝3，
∴CH＝3，EH＝ ，
又∵BC＝6，
∴BH＝BC+CH＝ ，
∵∠EHB＝90°，
∴tan∠EBC＝ ＝ ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方
法是转化为求直角三角形的边的问题．
13．（2022秋•金山区校级期末）如图，在四边形 ABCD 中，BD平分∠ABC，∠BDC＝∠A＝90°，
cos∠ABD＝ ．
（1）求证：△ABD∽△DBC且求出 的值；
（2）如果BC＝25，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先利用两角对应相等判断△ABD∽△DBC，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角
形的性质得结论；
（2）利用直角三角形的边角间关系先求出 BD、AB，再利用勾股定理求出AD、CD，最后利用三角形
的面积公式得结论．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠A＝90°，
∴△ABD∽△DBC，
∴ ＝ ，
在Rt△ABD中，
∵cos∠ABD＝ ＝ ，∴ ＝ ；
（2）∵∠ABD＝∠CBD，
∴cos∠CBD＝ ＝ ，
∵BC＝25，
∴BD＝20，
∴CD＝ ＝15，
∵cos∠ABD＝ ＝ ，
∴AB＝16，
∴AD＝ ＝12，
∴S四边形ABCD ＝S△ABD +S△BCD
＝ AB•AD+ BD•CD
＝ ×16×12+ ×20×15
＝96+150
＝246．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾
股定理是解决本题的关键．
