精品解析：上海交通大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_上学期_1：月考

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 高一数学月考试卷 （说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须 写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分 54分，前 6题每题 4分，后 6题每题 5分，填错或不填在正确的 位置一律得零分） B  1,m2 1. 已知集合 A{1,m} ， ，且AB，则 m 的值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求m的值即可. 【详解】解：因为A{1,m}，B  1,m2 ，AB， mm2  所以 m1 ，解得m0，  m2 1  故答案为：0 【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题. 2. 已知全集U 1,2,3,4 ，集合A1,2 ，B2,3 ，则A B______．  【答案】 1 【解析】 【分析】根据集合的交集、补集运算求解. 【详解】由题意可得：B1,4， 所以AI B1 . 故答案为： 1 . 3. 关于x不等式x2 ax10恒成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】(2,2) 【解析】 【分析】由一元二次不等式在实数集上恒成立，结合对应函数的性质知，即可求a的范围. 【详解】由题设，要使x2 ax10恒成立， 第 1 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵函数 f(x)x2 ax1开口向上， ∴只需a2 40即可，解得2a2. 故答案为：(2,2) 4. 已知关于x的不等式 a2x2 2a1x60的解集为M ．若3M 且5M ，则实数a的取值 范围是______． 7 【答案】1a 5 【解析】 【分析】由题意可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围. 【详解】因为关于x的不等式 a2x2 2a1x60的解集为M ，3M 且5M ， 9a232a1615a150 7 所以， ，解得1a .  25a252a1635a490 5 7 故答案为：1a . 5   5. 已知关于x的一元二次不等式ax2 4x30的解集为 x b x1 ，则ab______． 46 【答案】 7 【解析】 【分析】由题意可知：关于x的一元二次方程ax2 4x30的根为b,1b1 ，且a<0，利用韦达定理 运算求解. 【详解】由题意可知：关于x的一元二次方程ax2 4x30的根为b,1b1 ，且a<0，  4 b1 a70   a  可得 ，解得 3 ， 3 b 1   b  7  a  3 46 所以ab7     .  7 7 46 故答案为： . 7 2 6. 不等式  1x 1 1x 的解集是____________. x 【答案】 0,1 第 2 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】先求出x的范围，再解分式不等式即可. 2 【详解】由  1x 1 1x 可得x1且x0， x 2 2 x  1，即  0， x x 即x2x0，解得0 x2， 综上所述不等式的解集为 0,1 . 故答案为： 0,1 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，解不等式时注意式子要有意义，此题属于基础题. 7. 已知aR，若关于x的不等式 x5 a无解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ,0 【解析】 【分析】分析可知，对任意的xR， x5 a，可得出a x5 ，即可得解. min 【详解】由题意可知，关于x的不等式 x5 a无解，即对任意的xR， x5 a， 所以，a x5 0， min 故实数a的取值范围是 ,0 . 故答案为： ,0 .  x2    8. 已知集合Ax 0，B x x2 2axa2 10 ，若“xA”是“xB”的必要非充分条  x4  件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 a|1a3 【解析】 【分析】先求集合A,B，由题意可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系运算求解.  x2    【详解】由题意可得Ax 0 x 2 x4 ，  x4    B x x2 2axa2 10 x|a1 xa1 ， 第 3 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 若“xA”是“xB”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集， a12 则 ，且等号不能同时成立，解得1a3， a14 所以实数a的取值范围是 a|1a3 . 故答案为： a|1a3 . 9. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应 假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【解析】 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出 矛盾，从而肯定命题. 10. 已知x，x 是一元二次方程x2 mx50的两个实数根，若x，x 满足x 2 x 3，则m 1 2 1 2 1 2 ________. 9 【答案】 2 【解析】 【分析】由韦达定理可知x，x 同号，分x，x 都为负数和都为正数两种类型讨论，利用韦达定理和已 1 2 1 2 知条件，解方程并检验即可. 【详解】∵一元二次方程x2 mx50有两个实数根x，x ，∴m2 450，即m2 20. 1 2 由一元二次方程根与系数关系，可得x x m，x x 50，则x，x 同号. 1 2 1 2 1 2 x x m, x 2m3, ①当x，x 都为负数时，可得 1 2 解得 1 1 2 x 2x 3, x m3,   1 2 2 ∴ 2m3m35，即2m2 9m140，此时92 42140，方程无解；  2m x  1, x x m   1 3 ②当x，x 都为正数时，可得 1 2 解得 1 2 x 2x 3 m  1 2  x  1,  2 3 第 4 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  2m  m  9 ∴  1   1  5，即2m2 3m540，解得m 6或m  .  3  3  1 2 2 9 因为x，x 都为正数，则m0，即m0，所以m  . 1 2 2 2 9 综上可得m . 2 9 故答案为： 2 1 11. 已知aZ，若关于x的不等式 x2 8xa0的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的a的 2 值之和是______． 【答案】87 【解析】 1 【分析】设关于x的不等式 x2 8xa0的解集为A，分析可知集合A中的5个整数依次为6、7、 2 8、9、10，由此可得出关于实数a的不等式组，解出实数a的取值范围，即可得解. 1 【详解】设关于x的不等式 x2 8xa0的解集为A， 2 1 因为二次函数y  x2 8xa的对称轴为直线x8， 2 所以，集合A中的5个整数依次为6、7、8、9、10， 1 52 85a 0  2 55 所以， ，解得 a30， 1 2  62 86a0 2 又因为aZ，所以，整数a的取值集合为 28,29,30 ， 因此，所有符合条件的a的值之和是28293087. 故答案为：87. 12. 已知集合AR，对任意a、b、cÎ A，规定运算“”满足如下性质： （1）abA；（2）aa 0；（3） abcacbcc； 给出下列命题：①0A； ②若1A，则 1110； ③若aA，且a0a，则a0； ④若a、b、cÎ A，且a0a，abcb，则ac． 第 5 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 其中所有正确命题的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据新定义计算“”逐项分析可得结果. 【详解】对于命题①，对任意的aA，aa0A，命题①为真命题； 对于命题②，若1A，则 111111110011，命题②为假命题； 对于命题③，当a0时，若aA，则a0a，则a0显然成立； 当a0时，若aA，且a0a， 在（3）中，令c=0，ba，则 aa0a0a002a， 另一方面 aa0000，则2a0，即a0，这与a0矛盾； 综上，a0，故命题③为真命题； 对于命题④，若a、b、cÎ A，由a0a可得a0， 又因为abcb，则 abccbc， 因为 abcacbcc，则 cbcccbcc， 所以，accc0，即0c0， 所以， 0cc0ccccc0，所以，ac，故命题④为真命题. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点睛：本题考查新定义运算，解本题的关键在于根据题中三个性质进行推导，解题时应紧扣 题中定义进行推导. 二、选择题（本大题满分 18分，前 2题每题 4分，后 2题每题 5分，每题有且仅有一个正 确选项） 13. 已知a,b,c R，则下列四个命题正确的个数是（ ） ①若ac2 bc2，则ab；②若 a2  b2 ，则a22 b22 ； a ac ③若abc0，则  ；④若a0，b0，ab4，ab  4，则a2，b2. b bc A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 第 6 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】①当ac2 bc2时，c2 0，两边同时除以c2，得到ab，正确； ② a2  b2 0，那么 a2 2  b2 2 ，即a22 b22 ，正确； a ac abcbac cab ③    ， abc0 b bc bbc bbc  ab0,bc0 a ac   ，正确； b bc 1 ④令a10,b 同样能满足ab4,ab4 ，a2,b2不正确. 2 共有3个正确. 故选C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用 函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小. 14. 某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0q p1） （ ） A. 先提价 p%，再提价q% B. 先提价q%，再提价 p% p2 q2 pq C. 分两次，都提价 % D. 分两次，都提价 % 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【详解】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为a1 p%1q%， 2  p2 q2  C选项中，两次提价后的水价为a1 % ，  2    2  pq  D选项中，两次提价后的水价为a  1 %  ，  2  因为0q p1，则 p2 q2 2pq，则2  p2 q2  p2 q2 2pq pq2 ， p2 q2  pq 2 p2 q2 pq 所以，    ，则  ， 2  2  2 2 第 7 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2  p2 q2   pq  2 即a1 % a  1 %  ，  2   2    2  pq  由基本不等式可得a1 p%1q%a  1 %  ，  2  2  p2 q2   pq  2 所以，a1 % a  1 %  a1 p%1q%.  2   2    故选：C . 15. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）= ﹣a﹣b那么φ（a， b）=0是a与b互补的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由φ（a，b）＝0得 a2 b2 －a－b＝０ 且 a0,b0；所以 φ（a，b）＝0 是 a 与 b 互补的充分条件；再由 a 与 b 互补得到： a0,b0， 且 ab＝ 0 ； 从 而 有 ，所以φ（a，b）＝0 是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ． 考点：充要条件的判定． a c 16. 已知a，b，cR，若关于x不等式0 x b 1的解集为 x ,x x x  x  x 0 ， x x 1 2 3 3 2 1 则（ ） A. 不存在有序数组(a,b,c)，使得x x 1 2 1 B. 存在唯一有序数组(a,b,c)，使得x x 1 2 1 C. 有且只有两组有序数组(a,b,c)，使得x x 1 2 1 D. 存在无穷多组有序数组(a,b,c)，使得x x 1 2 1 【答案】D 第 8 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据x >0，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的 1 结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 【详解】由题意不等式0 x2 bxacx的解集为 x ,x x x  x  x 0 ， 1 2 3 3 2 1 x2 bxa0 即 的解集是 x ,x x  ， x2 bxacx 1 2 3 则不等式x2 bxa0的解是{x| x x 或x x }，不等式x2 bxacx的解集是 2 3 {x|x  x x }， 1 3 设x m，x m1，x n (m1n)， 1 2 3 所以cn0，nc， m1和n是方程x2 bxa 0的两根， 则bm1nmc1，a (m1)nmcc， 又m2 bma m2 m(mc1)mcccm， 所以m是x2 bxacx的一根， 所以存在无数对(a,b,c)，使得x x 1． 2 1 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结 合一元二次方程根与系数关系得出结论． 三、解答题（本大题满分 78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 17. 已知两个命题： p:二次函数y  x2 axa的图象与x轴有两个不同的交点；q:关于x的不等式 a12 x 恒成立．若命题 p和 q 有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】1a0或a4 【解析】 【分析】分别求出当命题 p、 q 为真命题时，实数a的取值范围，然后分 p真 q 假、 p假 q 真两种情况讨论， 求出对应的实数a的取值范围，综合可得出实数a的取值范围. 【详解】解：若命题 p为真命题，则a2 4a 0，解得a<0或a4， 第 9 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   若命题 q 为真命题，则a1 2 x 0，即a1， min a 0或a 4 若 p真 q 假，则 ，可得1a0或a4， a1 0a4 若 p假 q 真，则 ，此时，a. a1 综上所述，1a0或a4. 18. 求下列关于x的不等式的解集． 4x （1） 1； x2 x1  1 （2）x2   2a  x20a 0 ．  a 【答案】（1）  x x3或x1 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将所求不等式变形为x2 x14x，即为x2 2x30，结合二次不等式的解法可得出 所求不等式的解集； （2）将所求不等式变形为 x2a   x 1  0，对2a和 1 的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法  a a 解原不等式即可得其解集. 【小问1详解】  1 2 3 4x 解：因为x2 x1x   0，由 1可得x2 x14x，  2 4 x2 x1 即x2 2x30，解得x3或x1， 故原不等式的解集为  x x3或x1 . 【小问2详解】  1  1 解：由x2   2a  x20可得 x2a  x  0，  a  a 1 2  2 因为a0，当2a 时，即当a 时，原不等式即为 x 2 0， a 2 此时，原不等式的解集为； 第 10 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 2  1 1 当2a 时，即当0a 时，解不等式 x2a  x  0可得2a x ， a 2  a a  1 此时，原不等式的解集为x 2a x ；  a 1 2 1 当2a 时，即当a 时，解原不等式可得  x2a， a 2 a  1  此时，原不等式的解集为x  x2a.  a  2 综上所述，当a 时，原不等式的解集为； 2 2  1 当0a 时，原不等式的解集为x 2a x ； 2  a 2  1  当a 时，原不等式的解集为x  x2a. 2  a  19. 已知 f x x  a2 1   x2a aR ，设函数y  f x ． （1）当a2时，求不等式 f x5的解集； （2）若 f x4恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）  x x2或x7 （2）  a a1或a3 【解析】 【分析】（1）当a2时，可得出 f x x5  x4 ，分x4、4 x5、x≥5三种情况解不等式 f x5，综合可得出原不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式可求出函数 f x 的最小值，可得出关于实数a的不等式，解之即可. 【小问1详解】 解：当a2时， f x x5  x4 . 当x4时， f x5x4x92x5，解得x2，此时，x2， 当4 x5时， f x5xx41，此时，不等式 f x5无解， 第 11 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当x≥5时， f x x5x42x95，解得x7，此时，x7. 综上所述，当a2时，不等式 f x5的解集为  x x2或x7 . 【小问2详解】 解：因为a2 12a a12 0，当且仅当a 1时，等号成立， 由绝对值三角不等式可得 f x x  a2 1   x2a  x  a2 1  x2a  a2 12a a12 ， 当且仅当2a xa2 1时，等号成立， 因为 f x4恒成立，则a12 4，可得a12或a12，解得a1或a3. 所以，实数a的取值范围是  a a1或a3 . 20. 已知 f xax2 x2aaR ．  1 （1）已知关于x的不等式 f x2ax12a的解集是 ,  1, ，求实数a的取值范  a 围； 1  （2）已知 f x12a的解集为A，且A  ,4   A，求实数a的取值范围． 2    【答案】（1） a 1a0 （2）a2 【解析】 【分析】（1）将所求不等式变形为ax1x10，根据二次不等式的解法可得出关于实数a的不等式 组，即可解得实数a的取值范围； 1  1 2 1 （2）分析可知，对任意的x  ,4  ，ax2  x10恒成立，由参变量分离法可得出a    ， 2   x x 1 1  1  令t    ,2  ，求出函数y t2 t在  ,2  上的最大值，即可得出实数a的取值范围. x 4  4  【小问1详解】 由 f xax2 x2a2ax12a，即ax2 a1x10， 第 12 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 整理可得ax1x10，  1 因为不等式ax1x10的解集为 ,  1, ，  a a0  则1 ，解得1a0， 1  a   因此，实数a的取值范围是 a 1a0 . 【小问2详解】 由 f xax2 x2a12a可得ax2  x10， 1  1  因为不等式 f x12a的解集为A，且A  ,4   A，则  ,4   A， 2  2  1  1 2 1 所以，对任意的x  ,4  ，ax2  x10恒成立，则ax2 1x，可得a    ， 2   x x 1 1   1 2 1 令t    ,2  ，则t2 t   t   ， x 4   2 4  1 2 1 1 1 1  因为函数y   t   在  ,  上单调递减，在  ,2  上单调递增，  2 4 4 2 2  1 1 2 1 3 当t  时，y      ；当t 2时，y 22 22. 4 4 4 16 1  当t  ,2  时，函数y t2 t的最大值为2，所以，a2. 4  21. 某天，你突然发现黑板上有如下内容： 例：求x33x，x0, 的最小值． 解：由平均值不等式：当a、b、c0, 时，abc33 abc 恒成立、当且仅当abc时取等 号，得到x3 113x， 于是x3 3x x3 113x23x3x22，且等号当且仅当x1时成立； 所以当且仅当x1时x33x取到最小值2． （1）请你模仿上面例题，研究x4 4x，x0, 的最小值； 第 13 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 （2）研究 x3 3x，x0, 的最小值； 9 （3）求当a0时，x3ax，x0, 的最小值． 【答案】（1）3 （2）6 2a 3a （3） 9 【解析】 【分析】（1）由四元基本不等式可得x4 1114x，进而可求得x4 4x，x0, 的最小值； 1 （2）由三元基本不等式可得出x3272727x，进而可求得 x3 3x，x0, 的最小值； 9 a3 a 3a （3）令t 0，x3tt 33 t2x3 33 t2x，令33 t2xax，可得t   ，再利用三元基本不 27 9 等式可求得当a0时，x3ax，x0, 的最小值． 【小问1详解】 由平均值不等式：当a、b、c、d0, 时，abcd 44 abcd 恒成立、当且仅当 a bcd 时取等号，得到x4 1114x， 于是，当x 0时，x4 4x x4 1114x344 x41114x33， 当且仅当x1时，等号成立， 故x4 4x，x0, 的最小值为3. 【小问2详解】 由平均值不等式：当a、b、c0, 时，abc33 abc 恒成立、当且仅当abc时取等号， 得到x3 272733 x32727 27x， 当且仅当x3 27时，即当x3时，等号成立， 1 1 1 所以，当x 0时， x3 3x  x3 27x    x3 272727x54  9 9 9 1  27x27x546， 9 第 14 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 所以， x3 3x，x0, 的最小值为6. 9 【小问3详解】 当a0且x 0时，令t 0，x3tt 33 t2x3 33 t2x， a3 a 3a 令33 t2xax，可得t   ， 27 9 2a 3a 所以，当a0且x 0时，x3 ax x3 ttax2t 33 t2xax2t 2t  ， 9 2a 3a 所以，当a0时，x3ax，x0, 的最小值为 . 9 第 15 页 共 15 页