吉安市五校联盟2028届高一第一次大联考（2025.10）
数学试题
全卷满分150分，考试时间：120分钟
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 命题“∀
x>1,x2 −3x+2>0
” 的否定是（ ）
∀x>1,x2 −3x+2≤0 ∀x≤1,x2 −3x+2≤0
A B
∃x>1,x2 −3x+2≤0 ∃x≤1,x2 −3x+2≤0
C D
M={2,4,6,8,10} N={x|−1<x<6} M∩N=
2 集合 , ，则 （ ）
{2,4} {2,4,6}
A B
{2,4,6,8} {2,4,6,8,10}
C D
a,b,c∈R
3 已知 ,那么下列命题中正确的是（ ）
a b
>
A 若 a>b, 则 ac2 >bc2 B 若 c c ，则a>b
1 1 1 1
> <
C 若a>b， ab<0，则 a b D 若
a2 >b2,ab>0
，则 a b
“x>1”
4 的一个充分不必要条件是（ ）
|x|>1
A
x>1
B
x>2
C
x>0
D
M={x|x=3k+1,k∈Z} N={x|x=|3k−1,k∈Z} C (M∩N)=
5 已知集合 , ，则 Z （ ）
{x|x=3k,k∈Z} {x|x=3k−1,k∈Z}
A B
{x|x=3k−2,k∈Z} φ
C D
6 已知关于x的不等式
ax+b>0的解集为 {x|x<−4}
，则关于x的不等式
bx2 −ax>0
的解集为
（ ）
{ 1 } { 1 }
x|− <x<0 x|x<− 或x >0
4 4
A B{ 1} { 1}
x|0<x< x|x<0或x >
4 4
C D
3 4
+ <m2 −2m−3
7 若存在实数
x≥0,y≥0
，且
3x+y=1
，使不等式
x+1 y+1
能成立，则实数m的
取值范围为（ ）
(−4,2) (−∞,−4)∪(2,+∞)
A B
(−2,4) (−∞,−2)∪(4,+∞)
C D
A= {x|x2 −3x−4<0,x∈Z} B= {x|x2 −(2a+1)x+a2 +a−2≤0,x∈Z}
A∩B
8 设集合 , , 的真子集的
个数为3，则实数a的取值范围为（ ）
{a|−1≤a<0或2<a≤3} {a|−1<a<0或2<a<3}
A B
{a|−2<x≤−1或3≤a<4} {a|−2<a<−1或3<a<4}
C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9 下列命题中不正确的是（ ）
A {φ} 是空集 B 若a∈N ,则−a∉N
{ 6 }
x∈Q| ∈N
{x|x2 −2x+1=0}
x
C 集合 中只有一个元素 D 集合 是有限集
10 下列命题中为假命题的是（ ）
1 1
+
A 若1<x<5，则 x−1 5−x 的最小值为1
a a+c
>
B 若a>b>0，则c>0是“ b b+c ”的充要条件
C 不等式 kx2 +kx−1<0 对一切实数x恒成立，则−4<k<0
3
≥1
D “x<5”是“ x−1 ”的一个必要不充分条件
11 若平面点集满足：任意点
(x,y)
∈M ,存在正实数t，都有点
(tx,ty)∈M
，则称该点集为“t阶
集”，则下列说法正确的是（ ）
{ 2}
M= (x,y)|y=
x
A 若 是“t阶集”，则t=1
M={(x,y)|y=2x}
B 若 是“t阶集”，则t为任意正实数
M= {(x,y)|x2 ≤4 y}
C 若 是“t阶集”，则0<t≤1
M={(x,y)|y≥√x}
D 若 是“t阶集”，则t<1
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
A=N C A
12 已知集合 +,则 N = .
13
已知正数m,n满足2m+3n−mn=0，则2m+3n取到最小值时，m+n=
.14
要制作一个容积为4m3
，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，
侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低造价是 元。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A={x|t≤x≤3−t} B={x|x<−2或x >3}
15（13分）已知集合 ， ，
(1)
若A中只有一个元素，求实数t的值；
(2)
若
A∪B=R
，求实数t的取值范围；
(3)
若
A⊆B
，求实数t的取值范围。
16（15分）已知a∈R ,命题 p:∀x∈[1,2],x2 ≥a; 命题 q:∃x 0 ∈R,x 0 2 +2ax 0 −(a−2)=0 。
(1)
若p是真命题，求实数a的最大值；
(2)
若p,q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围。
17（15分）求关于x的不等式的解集： （其中a为常数）。
1 1
+ =1
a,b a b
18（17分）已知正数 满足 ，(1) 求a+b的最小值；
4a 9b
+
(2)
求
a−1 b−1
的最小值；
(3)
求
2a2 +b2 −4a−2b
的最小值。
19（17分）已知集合
A={a
1
,a
2
,a
3
,⋯,a
n
}⊆N¿
,其中
n∈N¿
且n≥3，
a
1
<a
2
<a
3
<⋯<a
n。若对
xy
|x−y|≥
任意的 x,y∈A ， (x≠y) ，都有 k ， k∈N¿ ,则称集合A具有性质 M k。
(1) A={1,2,a} M
若集合 具有性质 3,求实数a的最小值；
1 1 n−1
− ≥
(2)
已知集合A具有性质
M
15，求证：
a
1
a
n
15
；
(3)
已知集合A具有性质
M
15，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由 。吉安市五校联盟2028届高一第一次大联考（2025.10）数学参考答案
1 C 解析 全称量词命题的否定为存在量词命题
2 A
a b a b a−b
< 得 − = <0
3 C 解析 A选项中
c=0
错误；B选项中由
c c c c c
，可能两种情况；C选项中，
1 1 b−a 1 1 b−a 1 1 1 1
− = >0 − = a>b>0时， − <0; a<b<0时， − >0
a b ab a b ab a b a b
；D选项中 ，当 当 。
“x>2”⇒“x>1”
4 B 解析 ，反之不成立。
M∪N
5 A 解析 表示被3除余数为1或2的整数集合，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数
集。
b b b
x>− x<− a<0且− =−4
6 C 解析 由
ax+b>0得ax>−b
。若
a>0
得
a
；若
a<0
得
a
。故
a
，
1
0<x<
a<0,b=4a<0 4ax2 −ax=ax(4x−1)>0 4
即 。所以 ，解得 。
a≥0,b≥0,3x+y=1 3(x+1)+(y+1)=5
7 D 解 析 因 为 ， 所 以 ， 即
3 4 1( 3 4 ) 1[ 3(y+1) 12(x+1)] 1
+ = + [3(x+1)+(y+1)]= 13+ + ¿ (13+2√3×12)=5
x+1 y+1 5 x+1 y+1 5 x+1 y+1 5
，
3(y+1) 12(x+1)
= ,
x+1 y+1 x=0,y=1
当且仅当 即 取等号。
A={0,1,2,3} x2 −(2a+1)x+a2 +a+2≤0 [x−(a+2)][x−(a−1)]≤0
8 A 解析 集合 ，由 得 ，即
a−1≤x≤a+2
，所以集合
B={x∈Z|a−1≤x≤a+2}
。若
A∩B
的真子集的个数为3，则
A∩B
中元
素的个数为 2. 若
A∩B={2,3}
,则
1<a−1≤2且3≤a+2
，解得
2<a≤3
；若
A∩B={0,1}
，则
a−1≤0且1≤a+2<2 ，解得−1≤a<0
。所以选A。
1
x= ,k∈Z时x
{φ} φ a=0,−a=0∈N k
9 ABD 解析 中有元素 ；若 ;若 有无数个符合题目条件。
x−1 5−x
(x−1)+(5−x)=4得 + =1
4 4
10 BC 解 析 由 ，( 1 1 ) [x−1 5−x] 1( 5−x x−1) 1
+ × + = 2+ + ¿ (2+2)=1
x−1 5−x 4 4 4 x−1 5−x 4
，当且仅当
x=3
等号成立，A正
a a+c c(a−b)
− = >0
b b+c b(b+c) c<0,b+c<0
确； ，是充分条件，但可能 ，不是必要条件，所以B错误。C选项
3 3 4−x
≥1 −1= ≥0
中显然
k=0
也成立，错误；
x−1
的充要条件为
x−1 x−1
，得
1<x≤4
，D选项正确。
2
xy=2,ty=
tx t2xy=2⇒t2 =1, t>0得t =1
11 ABC 解析 A选项中， ，即 又有 ；
B选项中，
y=2x,ty=2tx
,所以
y=2x
恒成立，t为任意正实数；
(4 y)
t≤ =1
C选项中，
x2 ≤4 y,(tx) 2 ≤4ty,tx2 ≤4 y,
所以
x2
max ，故
0<t≤1
；
(√x) √x √x
ty≥√tx,√t≥
y≥√x, ≤1,
y y y
D选项中， min，已知 故1为 的最大值。
{0}
12
2 3
2m+3n−mn=0得 + =1,m>0,n>0.
n m
13 10 解 析 由 则
(2 3 ) 9n 4m 9n 4m
(2m+3n) + =12+ + ≥12+2√36=24 = 即m =6,n=4
n m m n m n
，当且仅当 取等号。
4
14 160 解析 设该容器总造价为y元，长方体底面矩形为x米，则长方体底面矩形宽为 x 米，由题意
( 2×4) ( 4) 4
y=20×4+10 2x+ =80+20 x+ x=
得
x x ¿160
， 当 且 仅 当
x
即
x=2
等 号 成 立 。
3
t=3−t,即t =
(1) 2⋯⋯⋯3分
15 解析 由集合A中只有一个元素得 ；
(2)由A ∪B=R
得
{¿3−t≥3 t≤−2,得t ≤−2 ⋯⋯⋯5分
；
故实数t的取值范围为
(−∞,−2]⋯⋯⋯⋯⋯7分
；3
A=φ,t>3−t得t > ⋯⋯⋯⋯9分
(3) 2
若 ，
{¿ t≤3−t,或{¿ t≤3−t
若
A≠φ,
由
3−t<−2 t>3
得t不存在
⋯⋯⋯⋯⋯11分
(3 )
t∈ ,+∞ ⋯⋯⋯⋯13分
2
综上，
(1) 1≤x≤2,x2 ≥a y=x2 [1,2] x2
16 解析 由题意得任意 恒成立，因为函数 在区间 内图像得 的最小值为
1，故实数a的最大值为1.
⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)
若q真，
Δ=(2a) 2 +4(a−2)≥0⋯⋯⋯⋯7分
a≤−2或a ≥1⋯⋯⋯⋯⋯9分
解得
由已知p,q一真一假得：
{¿ a≤1 ⇒−2<a<1⋯⋯⋮⋯⋯ 12 分
p真 q假 −2<a<1
若 ，则 ，
{¿ a>1 ⇒a>1⋯⋯⋯⋯ 14 分
p假 q真 a≤−2或a ≥1
若 ，则 ，
综上，实数a的取值范围为
{a|−2<a<1或a >1} ⋯⋯⋯⋯⋯15分
⋯
ax2 +(2a−1)x−2=(ax−1)(x+2)⋯⋯⋯⋯⋯2分
17 解析 因为
所以当
a=0时
，方程
ax2 +(2a−1)x−2=0 的根为−2⋯⋯⋯3分
1
−2和
a≠0时 ax2 +(2a−1)x−2=0 a⋯⋯⋯⋯⋯4分
当 ，方程 的根为
若
a=0时 ，不等式−x−2<0
解得
x>−2⋯⋯⋯⋯⋯5分
1 1 1
=−2 a=− − (x−2) 2 <0
若
a
即
2
时，不等式为
2
解得
x≠−2⋯⋯⋯⋯⋯6分
1 1 1
a<− , >−2 x<−2或x >
2 a a⋯⋯⋯⋯⋯8分
若 则 解得
1 1 1
− <a<0,则 <−2 x< 或x >−2⋯⋯⋯⋯⋯10分
2 a a
若 解得
1 1
a>0则 >−2 −2<x< ⋯⋯⋯⋯⋯12分
a a
若 解得1 { 1}
a<− , x|x<−2或x > ;
2 a
综上， 时，不等式的解集为
1
a=− 时
{x|x≠−2}
2
，不等式的解集为 ，
1 { 1 }
− <a<0时
x|x< 或x >−2
2 a
，不等式的解集为 ，
a=0时
{x|x>−2}
，不等式的解集为 ，
{ 1}
x|−2<x<
a>0时， a ⋯⋯⋯⋯⋯15分
不等式的解集为 。
(1 1) a b
a+b=(a+b) + =2+ +
(1) a b b a ¿2+2=4
18 解析 ，
a=b=2
当且仅当 的时候等号成立。
a+b ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
所以 的最小值为4.
4 9
= +
1 1 1 1
1− 1− 1− =x 1− =y
(2) a b a b x+y=1
原式 ，设 ， ，则 。
4 9 (4 9) 4 y 9x
= + = + (x+y)=13+ + ≥13+2√36=25
x y x y x y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
所以上式
4y 9x 2 3
= 即{¿x+y=1 2y=3x,得x = y= ,
x y 5, 5
当且仅当
5 5
a= ,b= ,⋯⋯⋯⋯⋯9分
3 2
此时 ，
4a 9b
+
a−1 b−1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
所以 的最小值为25.
1 1
+ =1得(a−1)(b−1)=1
(3) a b
由
=(2a2 −4a+2)+(b2 −2b+1)
原式
2 2
=2(a−1) +(b−1) −3¿2√2(a−1) 2 (b−1) 2 −3=2√2−3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
1 1
{
+ =1
a b
¿ 2 2 1
2(a−1) =(b−1) a=1+ ,b=1+√ 4 2,
√ 4 2 ⋯⋯⋯⋯⋯16分
当 且 仅 当 ， 即 时 等 号 成 立 ，
2a2 +b2 −4a−2b 2√2−3⋯⋯⋯⋯⋯17分
所以 的最小值为 。
a
{
a−1≥
2a
¿ 3
a−2≥
3
(1) M
3
a≥6
19 解析 由 的定义得 ，得 ，
∵a∈N
+
a
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又 ,所以 的最小值为6
a a
(2) |a i −a i+1 |=a i+1 −a i ≥ 15 i i+1,(i=1,2,3,⋯⋯n−1) a
1
<a
2
<a
3
<⋯<a
n
由 题 意 得 ， 且 ， 所 以
1 1 1
− ≥ ⋯⋯⋯⋯⋯7分
a a 15
i i+1
1 1 1 1 1 1 1 1
− =
(
−
)
+
(
−
)
+⋯⋯+
(
−
) n−1
a a a a a a a a ¿ ⋯⋯⋯⋯⋯10分
1 n 1 2 2 3 n−1 n 15
所以
{ 1 n−1
a ≥1
¿ 1
≥
a 15
n−1
1 <1即n <16⋯⋯⋯⋯⋯11分
(3) (2) 15
由题意和 得 ，故
1 1 n−i 1 n−i
− ≥ (i=1,2,3,⋯n−1) >
(2) a a 15 a 15
n i
由 同理可证 ，所以
1 n−i
>
a ≥i i 15 i(n−i)<15 i=1,2,3,⋯⋯,n−1 ⋯⋯⋯14分
i
又由 ，所以 ，即 在 恒成立
[i+(n−i)] 2 n2
i(n−i)≤ = <15
2 4
由基本不等式得
