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哈三十二中 2025～2026 学年度高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题:本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
正确选项.
1. 已知两个向量 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线定理，可得 的值，即可得到结果.
【详解】向量 ，且 ，则存在实数 ，使得 ，
即 ，所以 ,解得 ,
故 ，
故选：B
2. 以 为顶点的四边形是（ ）
A. 平行四边形，但不是矩形 B. 矩形 C. 梯形，但不是直角梯形
D. 直角梯形
【答案】D
【解析】
【分析】先在坐标系内画出 ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形 ABCD 的形状.
第 1页/共 11页【详解】
在坐标系中画出 ABCD 点，大致如上图，其中
，
，
，
所以四边形 ABCD 是直角梯形；
故选：D.
3. 过点 ， 直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.
【详解】因为直线过点 ， ，所以直线方程为 ，
故选：B.
4. 点 到直线 的距离 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求解即可.
第 2页/共 11页【详解】点 到直线 的距离
故选：A
5. 已知点 ， ，则以线段 为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解.
【详解】因为 为直径，所以圆心为 ，
半径 ，
所以圆的方程为 .
故选：C.
6. 已知 是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交 于 两点，若 ，则
（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的定义可得 ，结合已知即可得答案.
【详解】由椭圆的定义，知 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ．
故选：B
第 3页/共 11页7. 在平面直角坐标系中，抛物线 的焦点到坐标原点的距离为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线性质得出焦点 ，再根据坐标求两点之间 距离即可.
【详解】在平面直角坐标系中，抛物线 的焦点为 ，
点 到坐标原点 的距离为 .
故选：B.
8. 若双曲线 双曲线两条渐近线的夹角为 60°，则该双曲线的离心率 e 为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用 间的关系转化为 间关系得解.
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线两条渐近线的夹角为 60°， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，则 .
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
第 4页/共 11页要求，全部选对的得 6 分，部分选对按比例得分，错选不得分.
9. 关于直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 倾斜角为 B. 斜率为
C. 在 y 轴上的截距为 D. 与直线 垂直
【答案】BC
【解析】
分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断.
【详解】直线 变形得 ，
直线斜率 ，又倾斜角范围为 ，故倾斜角为 ，A 错误，B 正确；
令 ， ，即直线 在 y 轴上的截距为 ，C 正确
又直线 的斜率为 ，与直线 不垂直，D 错误
故选：BC.
10. 若过点 可以作出圆 的两条切线，则实数 可能的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】首先分析出点 在圆外，则代入得到不等式，解出即可.
【详解】过 可作圆的两条切线，说明点 在圆的外部，
所以 ，解得 或 ，
故选：AD.
11. 对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向下，准线方程为
B. 开口向下，焦点为
第 5页/共 11页C. 开口向左，焦点为
D. 开口向左，准线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.
【详解】由题设，抛物线可化为 ，
开口向下，焦点为 ，准线方程为 .所以 AB 正确，CD 错误.
故选：AB.
三、填空题：本题 3 个小题，每题 5 分，共 15 分.
12. 直线 与圆 相交所得的弦长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.
【详解】由 ，可知圆心为 ，半径为 ，
所以 到 的距离 ，
则直线与圆相交所得的弦长为 .
故答案为： .
13. 已知抛物线 上一点 的横坐标为 3，则点 到抛物线焦点的距离是__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案.
【详解】抛物线 的准线为 ，
所以该抛物线上点 到其焦点的距离为 .
第 6页/共 11页故答案为：4
14. 我们把离心率为 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
，则 的虚轴长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件及离心率的定义，得到 ，即可求解.
【详解】因为 ，即 ，解得 ，所以
的虚轴长为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共四个小题，共 47 分
15. 若直线 经过直线 与 的交点，且与直线 平行.
（1）求直线 的方程；
（2）求直线 与 的距离.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线 与直线 平行求解；
（2）利用两直线间的距离公式求解.
【小问 1 详解】
因为直线 过直线 和 的交点，
由 ，解得 ，即点 ，
第 7页/共 11页因为直线 的斜率为 2，且直线 与直线 平行，
所以直线 的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
直线 与直线 的距离为 .
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形．
（1）证明： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需证明 平面 ，再结合线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方
关系即可求解.
【小问 1 详解】
因为底面 为正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
第 8页/共 11页【小问 2 详解】
由题意以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
所以 ，
设平面 、平面 的法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，解得 ，
故可取 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
17. 已知 的顶点坐标分别为 .圆 为 的外接圆.
（1）求圆 方程；
（2）若直线 ，求证：不论 为何值，直线 与圆 相交.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设圆 的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案；
（2）判断出直线 过定点，且定点在圆 内可得答案.
第 9页/共 11页【小问 1 详解】
设圆 的方程为 ，
因为 在圆上，
所以 ，解得 ，满足 ，
所以圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
直线 ，对于 ，
可得 ，解得 ，所以直线 过定点 ，
因为 ，所以点 在圆 内，
所以不论 为何值，直线 与圆 总相交.
18. 椭圆 C 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆 C 经过点 且长轴长为 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出 ，得出椭圆 C 的标准方程.
（2）直线 l 与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
【小问 1 详解】
由题意设椭圆 C 的方程为 ，
因为椭圆经过点 且长轴长为 ，
第 10页/共 11页所以 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
由已知设直线 l 的方程为 ，设 ， .
将直线 代入 ，
得 ，
所以 ， ，
.
第 11页/共 11页
