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哈九中 2024 级高一学年 12 月月考数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的性质，求出集合 ，利用一元二次不等式的解法，求出集合 ，再利用集合的运
算，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以 ，
由 ，得到 ，又 ，所以 ，
得到 ，
故选：C.
2. 已知 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】解指数不等式，再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决．
【详解】 ，
因为 ，且函数 在R上单调递减，
所以 ，解得 ，
因为 能推出 ，
不能推出 ．所以，使 成立的一个充分不必要条件为 ．
故选：B．
3. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
的
【分析】根据不等式 基本性质，利用作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若 ， ，因此A错误；
对于B， ，则 ，即 ，因此B错误；
对于C，由 ，又 ， ，则 ， ，因此 ，
即 ，因此C错误；
对于D，由 ，又 ，
则 ， ，因此 ，即 ，因此D正确；
故选：D.
4. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】设扇形的半径为 ，列方程求出 的值，再计算扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为 ，则弧长为 ，周长为 ，解得：
，
则此扇形的面积为： ，
故选：D
5. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 .
故选：C
6. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野
生动物的数量 （ 的单位：年），其中 为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当
时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时 约为 （ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用 列方程，结合对数运算求得 .【详解】根据题意 ，所以 ，所以 ，
所以 ，得 .
故选：C.
7. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的性质结合图象逐项排除即可求解.
【详解】设 ，定义域为R，且 ，所以该函数为奇函数，排除
B；
当 时， ，排除C；
由复合函数的单调性可知，该函数在 上单调递增，排除D.
故选：A.
8. 已知 ，则方程 实数根的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C
【解析】
【分析】由方程 先求出 或 或 ，再解方程即可．
【详解】解：①当 时，
，
解得， ，
或 ，
或 ，
故 或 ；
②若 ，则 ，
或 ，
或 ，
若 ，则 或 ，
则 或 或 ；
若 ，则 或 ，则 （舍去）或 或 ，
综上所述，方程 实数根的个数是7，
故选：C．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分）
9. 下面说法正确的有（ ）
A. 化成弧度是
B. 终边在直线 上的角α的取值集合可表示为
C. 角α为第四象限角的充要条件是
D. 若角α的终边上一点P的坐标为 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值
符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】对于A，根据角度制与弧度制的转化得 ，即A正确；
对于B，易知终边在直线 上的角α可表示为 ，即B错误；
对于C，易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；
对于D，由三角函数的定义可知角α的终边上一点 的坐标为 ，则 ，故D
正确；
故选：AD.10. 设正实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最小值1 B. 有最小值2
C. 有最大值 D. 有最大值8
【答案】AC
【解析】
【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利
用常用不等式即可判断D.
【详解】因为正实数 满足 ，所以
，当且仅当 时等号成立，A正确；
，当且仅当 时等号成立，B错误；
， ，当且仅当 时等号成立，C正确；
，当且仅当 时等号成立，D错误．
故选：AC．
11. 已知函数 的定义域是 都有 ，且当 时，
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数 在 上单调递增
C.D. 满足不等式 的 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，令 得f (1)；
B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；
C选项，赋值得到 ；
D选项，根据C选项，由 求得 ， ，变形得到 ，结合 在定义域
上单调递增，得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，令 得 ，∴f (1)=0，A正确；
B 选 项 ， 任 选 ， 且 ， 中 ， 令 ， 得
，
因为当 时， ，又 ，所以 ，
故 ，
所以 在定义域(0,+∞)上单调递增，B正确；
C选项， 中，令 得 ，
故 ，故 ，C错误；
D 选 项 ， 因 为 ， 所 以 ， 中 ， 令 得
，
∵ ，∴ ，
由于 在定义域(0,+∞)上单调递增，故 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. ________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式化简即可；
【详解】 ，
故答案为： .
13. 已知定义域为 的奇函数 ，则 的值为
______.
【答案】0
【解析】
【分析】由奇函数的定义得到定义域关于原点对称求出参数 ，再由f (−x)=−f (x)求出参数 以及 ，然后求 的值
【详解】∵定义域为 ，
∴ ，∴ ，
∵f (−x)=−f (x)，即
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：0
14. 给定函数 ，若在其定义域内存在 使得 ，则称 为“ 函
数”， 为该函数 一个“ 点”．设函数 ，若 是 的一个“ 点”，则
的
实数 的值为________．若 为“ 函数”，则实数 的取值范围为________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】对于第一空，由题可知 ，代入相应解析式可得答案；
对于第二空， 为“ 函数”，则函数 ，与函数 图象有交
点，据此可得答案.
【详解】对于第一空，因 是 的一个“ 点”，则 ；
对于第二空，由题可知 为“ 函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数
的图象，与函数 关于原点对称的函数 的图象有交点，即方程
有大于0的解.
，当且仅当
，
即 时取等号，故答案为： .
故答案为：3； .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）化简： ；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1）1；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的诱导公式直接化简即可；
（2）由同角的三角函数关系结合正余弦函数值域计算即可；
（3）由同角的三角函数的商数关系和平方关系计算即可；
【详解】（1） .（2） ，
，
，
.
（3） .
16. 已知函数 且
（1）求函数解析式；
（2）求函数 在 上的值域；
（3）若关于x的方程 在 上有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 列式求出 即得函数解析式.
的
（2）令 ，求出二次函数在闭区间上 最值即可得值域.
（3）令 ，将方程有解问题转化为函数图象有交点问题求解.
【小问1详解】函数 中，由 ，得 ，即 ，
而 且 ，解得 ，所以 .
【小问2详解】
令 ，当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上的值域为 .
【小问3详解】
令 ，当 时， ，
方程 在 上有解等价于函数 的图象与直线 在 时有交
点，
由（2）得， 在 时的值域为 ，
因此 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 .
17. 已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的定义域；
（2）若函数 在 上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若 对于 恒成立，求实数m的最小值．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的真数大于零解不等式即可；
（2）由对数型复合函数的单调性求解即可；
（3）由对数的单调性和基本不等式求解即可；
【小问1详解】
时， 可知 ，
【
小问2详解】
易知 u定义域内单调递增， 在 上单调递减，
所以要满足题意需 ；
【小问3详解】
由 ，
整理得： 时， 恒成立，
易知 ，当且仅当 时取得最大值，即 ．
故最小值为 ．
18. 对于函数 在其定义域内存在实数 使 成立，则称 是 的一个不动点．已知函
数 ．
（1）当 时，求函数 的不动点；（2）当 时，若函数 有两个不动点为 ，且 ，求实数b的取值范围；
（3）若函数 的不动点为 ，且对任意 ，总存在 ，使得 成
立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）0和4；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由函数不动点定义求解即可；
（2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可；
（3）先由函数不动点的定义求出 的表达式，再由条件得到 的值域是 值域的子集，然
后由二次函数的性质得到 的范围，再分 与 时结合函数的单调性和集合间的包含关系求
解即可；
【小问1详解】
函数 的不动点即为 的实数根，
当 时，问题转化为方程 的实数根，解得 或 ，
所以函数 的不动点为0和4；
【小问2详解】
由题意可得方程 有两个不相等的实数根，
即 有两个不相等的实数根 且 ，
设 ，令 ，解得 ，
所以实数b的取值范围为 ；
【小问3详解】
由题意可知 ，2为方程 即 的两根，
则 ，解得 ，
从而 ，
因为对任意 ，总存在 ，使得 成立，即 ，
由题可知 的值域是 值域的子集，
因为 在 上是减函数，则 ，
即 的值域为 ，
因为 且 ，
当 时， ，不合题意舍，
当 时， 在 上是增函数，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
当 时， 在 上是减函数，则 ，因为 ，则 ，解得 ，
故m的取值范围是 或 .
19. 已知函数
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，求 与 的交点的横坐标；
（3）当 为偶函数时， ， ，
恒成立，求λ取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）构造函数 ，利用函数的单调性和指数函数的性质求解即可；
（2）令 再结合指数函数和对数函数 互化求解即可；
的
（3）由偶函数的性质和指数函数的化简求出 ，再由指数函数的运算求出等号左边为零，右边结合基
本不等式求解即可；【小问1详解】
当 时， ，所以不等式 ，
即 ，
设 ，易知 单调减函数，
所以 .
所以不等式的解集为 .
【小问2详解】
当 时， ， ，
所以 ，
令 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，所以 .
【小问3详解】
，
即 ，
通分 ，化简可得 ，
所以 或 （舍去），
所以 ，
，
，
当且仅当 即 时取等号，
恒成立，即 恒成立，
只需 .
