文档内容
2025 年中考押题预测卷（北京卷 02）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．有3个面；
B．有4个面；
C．有5个面；
D．有6个面；
∴面数最多的几何体是D；
故选：D．
2．中国的陆地面积约为 ，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：14亿
故选：B
3．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知： ，
∴ ，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，
∴ ，故选项D正确；
故选D．
4．如图，直线 与 交于点 ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： ，
，
， ，，
．
故选：C．
5．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是 ．
故选：D．
6．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选：B．
7．如图，在 中， 是 的中点．按下列步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径画弧，交线段
于点 ，交 于点 ；②以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ；③以点 为圆心，
长为半径画弧，交前一条弧于点 ，点 与点 在直线 同侧；④作直线 ，交 于点 ．则
下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】解：A：由作图过程可知 ，该选项正确，故该选项不符合题意；
B：∵ ，∴ ， ，该选项正确，故该选项不符合题意；
C：∵ 是 的中点， ，∴ ，∴ ，该选项正确，故该选项不符合题意；
D：根据已知条件不能得出 ，故该选项符合题意．
故选：D ．
8．如图，正方形 ，对角线相交于点 ，以 为顶点作与正方形 同样大小的正方形
与 交于点 与 交于点 ，连接 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③四边形 的面积等于正方形 面积的四分之一；
④当 时， ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：①∵四边形 是正方形
∴ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
②设 与 相交于点T，如图1所示：
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故结论②正确；
③∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴
故结论③正确；
④过点O作 于点H，如图2所示：
∵ 是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
∴
即 ，
故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第 II 卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．如果代数式 有意义，那么实数 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：如果代数式 有意义，则 ，
，
故答案为： ．
10．分解因式： ．
【答案】
【详解】解： ，
故答案为： ．
11．分式方程 的解为 ．
【答案】
【详解】解： ，
去分母得： ，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根；
故答案为：
12．在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则 （填
“ ”“ ”或“ ”）
【答案】【详解】解：∵ ，
∴双曲线过二，四象限，再每一个象限内， 随 的增大而增大，
∵函数 的图象经过点 和 ，且 ，
∴ ；
故答案为：
13．某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表：
月用电量x（千瓦时）
户数（户） 7 13 10 15 5
根据以上数据，估计该小区用电量在 （千瓦时）的家庭有 户．
【答案】380
【详解】解：该小区用电量在 （千瓦时）的家庭所占的百分比为： ，
（户）；
答：该小区用电量在 （千瓦时）的家庭有380户．
14．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点
C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径 的长为 ，则点O到 的距离为
．
【答案】
【详解】解：如图：连接 ，过点O作 于点H，∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵直径 的长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点O到 的距离为 ，
故答案为： ．
15．如图，在矩形 中，点E，F分别在边 上，且 ．若 ， ， ，则
EF的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ．
故答案为： ．
16．学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目
一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材
的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示：
节目名称 共同合作的人数
A 5
B 4
C 3
D 2
E 1
若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A
节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 种不同的情况．
【答案】 6 2
【详解】解：∵每个人在展示完成后至少要休息一次，
∴将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小，
∴相邻两节目的人数之和越小，总人数越少，
∵ 节目所需人数最多为5人，
∴总人数一定要大于5，
∴人数和最少为 或 ，即最少需要6人；
例如：让节目 最先展示，然后接人数最少的节目 ，此时 节目的人进行休息，然后再接节目 ， 中
的4个人可以上节目 ，此时节目 中剩余1人， 节目的人休息，再接节目 ，正好用到之前剩余的2
人，此时 节目的4人休息，再接 节目， 节目中上3人即可，此时用人最少，即 组和 组人数之和为6；
∵用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，故A节目后面必须接节目 ，
∴后续排列的可能性为： ，相邻人数和分别为 ，满足题意；或
，相邻和依次为6、4、5、6，符合要求；
其它情况均不符合要求；
故符合条件的展示顺序共有2种不同的情况；
故答案为：6，2．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】
【详解】解：
………………………………2分
………………………………4分
．………………………………5分
18．解不等式组： ．
【答案】
【详解】解：原不等式组为 ，
解不等式①，得 ，………………………………2分
解不等式②，得 ，………………………………4分∴原不等式组的解集为 ．………………………………5分
19．已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，3
【详解】解：∵ ，
∴ ，………………………………1分
∴
………………………………2分
………………………………3分
………………………………4分
………………………………5分
20．如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，延长 至点E，使 ，连接 交
于点F，M是 中点，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 为 的中点，
又M是 中点，
∴ 为 中位线，
∴ ；………………………………1分
在 中， ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，………………………………2分
∴四边形 是平行四边形；………………………………3分
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，………………………………4分
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， （负值舍去），
∴ ，………………………………5分
设 斜边上的高为h，则有：
，∴ ，
∴ ，
∴ ．………………………………6分
21．在平面直角坐标系 中，函数 的图象是由函数 的图象平移得到，且经过点
．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 且 ．
【详解】（1）解：函数 的图象是由函数 的图象平移得到，
∴ ，………………………………1分
∵函数经过点 ，
∴ ，
解得， ，………………………………2分
∴一次函数解析式为 ；………………………………3分
（2）解：函数 中，当 时， ，当 时， ，
函数的图象如下，对于 ，当 时， 时， 的值小于 ，
对于 ，
∵ 的值越大，越靠近 轴，若 的值大于 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
综上所述， ，且 ．………………………………6分
22．清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，
推出两种打卡领取听书时长的奖励方式：
方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长；
方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%．
明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，
打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取
的时长分别为多少分钟？
【答案】第一天明明和妹妹领取的时长分别为 分钟和 分钟．
【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为 分钟和 分钟，
则 ，………………………………2分
即 ，………………………………3分
解得 ，………………………………4分
答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为 分钟和 分钟．……………………………5分23．2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想
都城秩序的杰作”列人《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，
其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问
答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次
知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： ， ， ， ：
b．八年级成绩在 这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
七年级 77 81.5
八年级 79.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级 ，判断在
本次抽取的学生中_____年级赋予等级 的学生更多（填“七”或“八”）；
(3)在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是_____；
(4)估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分．
【答案】(1)78.5
(2)七年级赋予等级 的学生更多
(3)八；该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数
(4)该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为78.5分【详解】（1）解：根据频数分布直方图和 的这一组的具体成绩得出第 、 个数据分别为 、
，
所以八年级的中位数 ，
故答案为： ；………………………………1分
（2）解：因为七年级的平均数为 ，中位数为 ，可判断七年级赋予等级 的学生至少有 人，
根据频数分布直方图得八年级赋予等级 的人数为 （人），
所以在本次抽取的学生中七年级赋予等级 的学生更多，
故答案为：七；………………………………2分
（3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，理由是：
∵该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，………………………………3分
∴知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，………………………………4分
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数
（4）解：估计七年级 名学生成绩的平均数为 分，八年级 名学生成绩的平均数为 分，
所以估计校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为： （分）．
………………………………5分
24．如图， ， 是 的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 交 于点
．
(1)求证： ；
(2)过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为 ．
【详解】（1）证明：连接 ，则 ，………………………………1分
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；………………………………2分
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，………………………………2.5分
∴设 ，则 ， ，
∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，………………………………3分
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ，整理得 ，
解得 ，………………………………4分
∴ ， ，………………………………4.5分
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
整理得 ，
∵ ，
∴ ，………………………………5分
∴ ，即 的长为 ．………………………………6分
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根
式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．脂肪氧化率（单位： ）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通
常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位 ）密切相关，下表记录了不同的
运动强度所对应的脂肪氧化率的数据：
运动强度（ ） 45 50 55 60 65 70 75 80 85
脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22(1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为 ，脂肪氧化率为 是 的函数．在如图建立的平面直
角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象：
(2)结合函数图象，解决问题：
① 的值约为___________（精确到小数点后两位）；
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度 的范围约为___________（精确到整数位）；
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：
则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速
度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）．
【答案】(1)见详解
(2)① ② ③8
【详解】（1）解：如图所示：…………………………1分
（2）解：结合函数图象，
① 的值约为 ，
故答案为： ；………………………………2分
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度 的范围约为 （精确到整数位）；
故答案为： ；………………………………4分
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：
则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为 ，此时对应的运动强度为 ，
则观察上表，运动强度为 所对的运动速度为 千米/小时左右，
即跑步的速度应控制在 千米/小时左右．
故答案为：8………………………………5分
26．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求该抛物线与 轴交点坐标；
(2)已知 ， 为该抛物线上的两点，若对于 ， ，都有 ，求 的
取值范围．【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解：当 时，则抛物线为 ．………………………………1分
令 ，则 ，
∴该抛物线与 轴交点坐标为 ；………………………………2分
（2）解：∵抛物线 ，对于 ， ，都有 ，
∴ 且 ，………………………………3分
则 ，即 ， ，
解得： 或 ；………………………………4分
，即 ， ，
解得： 或 ；………………………………5分
综上， 或 ．………………………………6分
27．已知线段 ，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，再将线段 绕着点
逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 恰好在一条直线上．
(1)如图1，求 与 的数量关系；
(2)如图2，当 时，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 ，在
上截取 ，连接 ，依题意补全图形；判断线段 与 的数量关系，并证明．【答案】(1)
(2)图见解析， ．理由见解析
【详解】（1）解：∵将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵将线段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，………………………………1分
∴ ，
∵ ，
∴ ；………………………………2分
（2）解： ．理由如下：
如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，………………………………3分
作 于点 ，
∴点 为 的中点，∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 是 的平分线，…………………4分
∵ ， ，
∴ ，即 ，
连接 ，作 于点 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，………………………………5分
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， ，………………………………6分∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．………………………………7分
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性
质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
28．在平面直角坐标系 中，已知半径为1的 和线段 ，给出如下定义：若存在点 使得线段
关于点 中心对称的线段 恰为 的一条弦，则称线段 是 的关于点 的关联线段．
(1)如图，点 的横、纵坐标都是整数，在线段 中， 的以点 为中心的关
联线段是___________；
(2)若 ，线段 是 的关于点 的关联线段，则点 的坐标为___________；
(3)已知点 是 一点，线段 在直线 上，线段 是 的关于点 的关联线段，则线段
长度的最大值为___________；此时 点坐标为___________．
【答案】(1)
(2) 或
(3)2； 或【详解】（1）解：∵ ，而 的半径为1，则直径为2，
∴线段 不可能是 的关于点 的关联线段；
如图所示，结合定义可知 和 是 的以点 为中心的关联线段，
故答案为： ；………………………………2分
（2）解：如图：
∵线段 是 的关于点 的关联线段，
∴反向思考线段 在一定也在半径为1的 上，且 与 关于点C对称，
∵ ， 半径为1，
∴ 为等边三角形，
∴根据等边 的对称性可知点 在 轴上，记 与 轴交于点H，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
∵ 与 关于点C对称，
∴ 或 ；………………………………4分
（3）解：∵线段 是 的关于点 的关联线段，
∴反向思考线段 在一定也在半径为1的 上，且 与 关于点C对称，
∵ ，
∴当 时，为 直径，………………………………5分
而线段 在直线 上，
∴点 在直线 上，如图：设 ，
∵点 在 上，且点 与点 关于点C对称，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：2； 或 ．………………………………7分
