第28讲三角函数概念及诱导公式_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第28讲 三角函数概念及诱导公式 知识梳理 知识点一：三角函数基本概念 1、角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2) 所有与角 α 终边相同的角 ，连同角 α 在内 ，构成的角的集合是 S = ββ=k⋅360°+α，k∈Z  ． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一 个象限． (4)象限角的集合表示方法： 2、弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作 弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． π 180° (2)角度制和弧度制的互化：180°=πrad，1°= rad，1rad= ． 180 π (3)扇形的弧长公式：l=α  1 1 ⋅r，扇形的面积公式：S= lr= α 2 2  ⋅r2． 3、任意角的三角函数 y (1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα=y，cosα=x，tanα= x (x≠0)． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设 y x y 点P到原点O的距离为r，则sinα= ，cosα= ，tanα= (x≠0) r r x 三角函数的性质如下表： 第一象 第二象限 第三象 第四象 三角函数 定义域 限符号 符号 限符号 限符号 sinα R + + - - cosα R + - - + 第 页 共 页 682 3427π tanα αα≠kπ+ ，k∈Z 2   + - + -  记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1，0)作单 位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 知识点二：同角三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α+cos2α=1． sinα π (2)商数关系： =tanαα≠ +kπ cosα 2  ； 知识点三：三角函数诱导公式 公 一 二 三 四 五 六 式 π π 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 2 2 正 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 弦 余 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 弦 正 tanα tanα -tanα -tanα 切 口 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 诀 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作n π π ⋅ ±α；(2)无论有多大，一律视为锐角，判断n⋅ ±α所处的象限，并判断题设三角函数在 2 2 该象限的正负；(3)当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名 保持不变即可． 【解题方法总结】 sinα 1、利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 =tanα可以实现 cosα 角α的弦切互化． 2、“sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα”方程思想知一求二． 第 页 共 页 683 3427(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α(sinα-cosα)2=sin2α+cos2α- 2sinαcosα=1-sin2α (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2 必考题型全归纳 1 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 4π 4π 1080 (2024·辽宁·校联考一模)已知角α的终边上一点的坐标为sin ,cos 5 5  ，则α的最小 正值为 ( ) π 3π 4π 17π A. B. C. D. 5 10 5 10 【答案】D 4π π 3π 【解析】因为 = -- 5 2 10  4π π 3π ，所以sin =sin -- 5 2 10    3π =cos- 10  ， 4π π 3π 而cos =cos -- 5 2 10    3π =sin- 10  ， 3π 所以角α的终边上点的坐标可写为：cos- 10  3π ,sin- 10    ， 3π 3π 17π 所以α=- +2kπ,k∈Z，因此α的最小正值为- +2π= . 10 10 10 故选：D 9π 1081 (2024·全国·高三专题练习)下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) 4 A.2kπ+45°k∈Z  9π B.k⋅360°+ k∈Z 4  C.k⋅360°-315°k∈Z  5π D.kπ+ k∈Z 4  【答案】C 【解析】对于A，B，2kπ+45°k∈Z  9π ，k⋅360°+ k∈Z 4  中角度和弧度混用，不正确； 9π π 对于C，因为 =2π+ 与-315°是终边相同的角， 4 4 9π 故与角 的终边相同的角可表示为k⋅360°-315°k∈Z 4  ，C正确； 5π 对于D，kπ+ k∈Z 4  5π 9π ，不妨取k=0，则表示的角 与 终边不相同，D错误， 4 4 故选：C 1082 (2024·广东·高三统考学业考试)下列各角中与437°角的终边相同的是 ( ) A.67° B.77° C.107 ° D.137 ° 【答案】B 【解析】与437°角的终边相同的角为θ=437°+360°⋅k,k∈Z， 当k=-1时，θ=437°-360°=77°，B正确； 经验证，其他三个选项均不合要求. 故选：B 1083 (2024·北京·高三北大附中校考阶段练习)已知角α的终边为射线y=x(x≤0)，则下列 正确的是 ( ) 5π 2 A.α= B.cosα= 4 2 第 页 共 页 684 3427π C.tanα+ 2  π =-1 D.sinα+ 4  =1 【答案】C 【解析】因为角α的终边为射线y=x(x≤0)， 所以，角α∈0,2π  5π 时，α= ， 4 所以，角α的集合为 α  5π  α= +2kπ,k∈Z  4  ，故A选项错误； 5π 所以，cosα=cos +2kπ 4  2 =- ，故B选项错误； 2 π tanα+ 2  5π π =tan +2kπ+ 4 2  3π =tan =-1，故C选项正确； 4 π sinα+ 4  5π π =sin +2kπ+ 4 4  3π =sin =-1，故D选项错误. 2 故选：C 【解题方法总结】 (1)终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． (2)注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标 轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 2 题型二：等分角的象限问题 1084 (2024·全国·高三专题练习)已知α是锐角，那么2α是( )． A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角 【答案】C π 【解析】因为α是锐角,所以α∈0, 2  ,所以2α∈0,π  ,满足小于180°的正角. 其中D选项不包括90°，故错误. 故选：C 1085 (2024·全国·高三专题练习)若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在 ( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 【答案】A 【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°+90°<α0且cosα>0 B.sinα>0且cosα<0 C.sinα<0且cosα>0 D.sinα<0且cosα<0 【答案】C 13π π 【解析】由α= =2π- ，即α为第四象限角， 7 7 所以sinα<0且cosα>0. 故选：C 1102 (2024·全国·高三专题练习)已知点Asin23°,-cos23°  是角α终边上一点，若0°<α< 360°，则α= ( ) A.113° B.157° C.293° D.337° 【答案】C 【解析】sin23°>0,-cos23°<0，则点A在第四象限， cos23° sin67° 由tanα=- =- =-tan67°=tan293°，故α=293°. sin23° cos67° 故选：C. 1103 (2024·河南·校联考模拟预测)已知α是第二象限角，则点(cos(sinα),sin(cosα))所在的 象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】因为α是第二象限角，所以00，sin(cosα)<0. 所以点(cos(sinα),sin(cosα))在第四象限. 故选：D 1104 (2024·河南·校联考模拟预测)已知α是第二象限角，则点(cos(-α)，sin(-α))所在的象 限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由题意知：cosα<0，sinα>0，进而得到cos-α  =cosα<0，sin-α  =-sinα <0， 所以点(cos(-α)，sin(-α))位于第三象限. 故选：C 1105 (2024·河南许昌·高三校考期末)在平面直角坐标系中，点Psin2023°，tan2023°  位于第 ( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 【答案】B 【解析】因为sin2023°=sin5×360°+223°  =sin223°=-sin43°<0，tan2023°= tan5×360°+223°  =tan223°=tan43°>0， 所以点Psin2023°，tan2023°  位于第二象限. 故选：B 1106 (2024·全国·高三专题练习)已知点Pcosθ,tanθ  是第二象限的点，则θ的终边位于 第 页 共 页 691 3427( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】∵点Pcosθ,tanθ  是第二象限的点， ∴cosθ<0，tanθ>0， 由cosθ<0可得，θ的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴； 由tanθ>0可得，θ的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，θ的终边位于第三象限. 故选：C. 【解题方法总结】 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；． 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；． 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负． 6 题型六：同角求值-条件中出现的角和结论中出现的角是相同的 1107 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知θ是三角形的一个内角，且满足 5 sinθ-cosθ= ，则tanθ= ( ) 5 1 A.2 B.1 C.3 D. 2 【答案】A 5 1 4 【解析】将sinθ-cosθ= 两边同时平方可得1-2sinθcosθ= ，即2sinθcosθ= ； 5 5 5 9 所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ= 5 3 5 5 2 5 若sinθ+cosθ=- ，解得sinθ=- ,cosθ=- ，这与θ是三角形的一个内角 5 5 5 矛盾， 3 5 2 5 5 所以sinθ+cosθ= ，解得sinθ= ,cosθ= ，此时求得tanθ=2. 5 5 5 故选：A. 6 1108 (2024·山西阳泉·统考二模)已知sinα+cosα= ，0<α<π，则sinα-cosα= 3 ( ) 2 3 2 3 3 3 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 【答案】B 6 【解析】因为sinα+cosα= ，所以sinα+cosα 3  2 2= ，即sin2α+2sinαcosα+cos2α 3 2 1 = ，所以2sinαcosα=- . 3 3 因为0<α<π，所以cosα<00. 因为sinα-cosα  1 4 2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1+ = ， 3 3 2 3 所以sinα-cosα= . 3 故选：B. 第 页 共 页 692 34271 1109 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+cosα= ，且α∈0,π 5  ，sinα-cosα= ( ) 7 7 7 49 A.± B.- C. D. 5 5 5 25 【答案】C 1 【解析】因为sinα+cosα= ，两边平方得sinα+cosα 5  1 2=1+2sinαcosα= ， 25 24 故2sinαcosα=- <0，所以sinα与cosα导号， 25 又因为0<α<π，所以sinα>0，cosα<0， 所以sinα-cosα= sinα-cosα  24 2= 1-2sinαcosα= 1-- 25  7 = . 5 故选：C. π 1110 (2024·贵州铜仁·统考模拟预测)已知sinθ-sin +θ 2  = 2，则tanθ= ( ) A.- 2 B.-1 C.1 D. 2 【答案】B π 【解析】因为sinθ-sin +θ 2  =sinθ-cosθ= 2， 2 由题意可得  s s i i n n2 θ θ - + c c o o s s θ 2θ = =1 2 ，解得   sinθ= 2 2 ， cosθ=- 2 sinθ 因此，tanθ= =-1. cosθ 故选：B. 1111 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)已知sinα、cosα是关于x的方程3x2- 2x+a=0的两根，则a= . 5 【答案】- 6 Δ=4-12a≥0   2 sinα+cosα= 1 【解析】由题意：  3 ，所以a≤ 3 ，  a sinαcosα=  3 所以sinα+cosα  2a 4 5 2=1+2sinαcosα=1+ = ，即6a+5=0，解得a=- . 3 9 6 5 故答案为：- . 6 2 1112 (2024·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=- ，则sin2α= 3 ． 7 【答案】 9 2 【解析】sinα-cosα=- 两边平方得： 3 sinα-cosα  2 2=1-2sinαcosα=1-sin2α= ， 9 7 解得：sin2α= . 9 7 故答案为： 9 第 页 共 页 693 34277 1113 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+cosα= 0<α<π 13  ，则tanα= ． 12 【答案】- 5 7 【解析】已知sinα+cosα= ①，则sinα+cosα 13  49 2=1+2sinαcosα= ， 169 60 sinαcosα=- <0， 169 ∵0<α<π，∴sinα>0，则cosα<0，sinα-cosα>0， ∴sinα-cosα= sinα-cosα  289 17 2= 1-2sinαcosα= = ②， 169 13 12 5 联立①②，得sinα= ，cosα=- 13 13 12 ∴tanα=- ， 5 12 故答案为：- . 5 π 1114 (2024·全国·高三专题练习)若θ∈0, 2  1 ,tanθ= ，则sinθ-cosθ= ． 2 5 【答案】- 5 π 【解析】因为θ∈0, 2  ，则sinθ>0,cosθ>0， sinθ 1 又因为tanθ= = ，则cosθ=2sinθ， cosθ 2 5 5 且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ= 或sinθ=- (舍去)， 5 5 5 所以sinθ-cosθ=sinθ-2sinθ=-sinθ=- . 5 5 故答案为：- . 5 1 1115 (2024·陕西西安·校考模拟预测)已知tanθ=2，则 的值是 ． sin2θ+cos2θ 【答案】5 【解析】因为tanθ=2， 1 1 所以 = sin2θ+cos2θ 2sinθcosθ+cos2θ-sin2θ cos2θ+sin2θ = 2sinθcosθ+cos2θ-sin2θ 1+tan2θ = 2tanθ+1-tan2θ 1+22 = =5， 2×2+1-22 故答案为：5. 1116 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知tanx= 3，则3sin2x-2sinxcosx= . 9-2 3 【答案】 4 【解析】因为tanx= 3， 3sin2x-2sinxcosx 3tan2x-2tanx 3× 3 所以3sin2x-2sinxcosx= = 、= sin2x+cos2x 1+tan2x  2-2 3 1+ 3  2 第 页 共 页 694 34279-2 3 = . 4 9-2 3 故答案为： 4 sinx-cosx 1117 (2024·全国·高三对口高考)若 =2，求sinxcosx的值为 . sinx+cosx 3 【答案】- /-0.3 10 sinx-cosx 【解析】由 =2可得sinx-cosx=2(sinx+cosx),∴sinx=-3cosx， sinx+cosx sinx-cosx 因为cosx=0不适合 =2，故cosx≠0， sinx+cosx 所以tanx=-3， sinxcosx tanx -3 3 故sinxcosx= = = =- ， sin2x+cos2x tan2x+1 9+1 10 3 故答案为：- 10 【解题方法总结】 (1)若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未 知三角函数值． (2)若无象限条件，一般“弦化切”． 7 题型七：诱导求值与变形 π 1118 (2024·山西阳泉·统考三模)已知sin +α 6  3 π π = ，且α∈- , 3 4 4  π ，则sin -α 3  = ． 6 1 【答案】 / 6 3 3 π π 【解析】因为α∈- , 4 4  π π 5π ，所以 +α∈- , 6 12 12  π ，故cos +α 6  >0， π 所以cos +α 6  3 = 1- 3  2 6 = . 3 π sin -α 3  π π =sin - +α 2 6      π =cos +α 6  6 = 。 3 6 故答案为： 3 π 1119 (2024·四川绵阳·统考三模)已知θ∈ ,π 2  ，sinπ+θ  3 =- ，则tanθ= . 3 2 1 【答案】- /- 2 2 2 【解析】由sinπ+θ  3 3 =- 得sinθ= ， 3 3 π 由θ∈ ,π 2  6 sinθ 2 可得cosθ=- 1-sin2θ=- ，故tanθ= =- . 3 cosθ 2 2 故答案为：- 2 1120 (2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习)若sinπ+α  1 =- ，则 2 cosα的值为 ( ) 1 1 3 3 A.± B. C. D.± 2 2 2 2 第 页 共 页 695 3427【答案】D 【解析】由sinπ+α  1 1 =- 得sinα= ， 2 2 所以α在第一、二象限， 1 所以cosα=± 1-- 2  2 3 =± . 2 故选：D. 1 1121 (2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习)若sinA= ，则 3 sin6π-A  的值为 ( ) 1 1 2 2 2 2 A. B.- C.- D. 3 3 3 3 【答案】B 【解析】利用诱导公式可得sin6π-A  =sin-A  1 =-sinA=- ， 3 故选：B. π 1122 (2024·广东深圳·统考模拟预测)已知sin +α 3  4 5π = ，则cos +α 5 6  的值为 ( ) 3 3 4 4 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 【答案】C 5π 【解析】∵cos +α 6  π π =cos + +α 2 3      π =-sin +α 3  4 =- ， 5 5π ∴cos +α 6  4 的值为- ， 5 故选：C π 1123 (2024·陕西西安·长安一中校考二模)已知cosα- 5  5 7π = ，则sinα- 13 10  = ( ) 5 5 12 12 A.- B. C.- D. 13 13 13 13 【答案】A 7π 【解析】sinα- 10  π π =sinα- - 5 2  π =-cosα- 5  5 =- . 13 故选：A. 【解题方法总结】 π (1)诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公 2 式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数． π (2)通过±2π,±π,± 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数． 2 π (3)α±β=±2π,±π,± 等可利用诱导公式把α,β的三角函数化 2 8 题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 3π 1124 (2024·河南驻马店·统考三模)已知tanθ=2，则sinθsin +θ 2  = ( ) 3 1 1 2 A. B. C.- D.- 5 2 2 5 【答案】D 第 页 共 页 696 34273π 【解析】sinθsin +θ 2  sinθcosθ tanθ 2 =-sinθcosθ=- =- =- . sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5 故选：D tanx π 1125 (2024·全国·高三对口高考)若 =-1，求sin +x tanx-1 2  3π cos -x 2  的值. tanx 1 【解析】由 =-1可得tanx= ， tanx-1 2 π 故sin +x 2  3π cos -x 2  sinxcosx =cosx(-sinx)=- sin2x+cos2x 1 tanx 2 2 =- =- =- . tan2x+1 1 5 +1 4 π sin +α 2 1126 (2024·全国·高三专题练习)已知tanα=3，求  +3sinπ+α  3π cos -α 2  -cos5π+α  的值． π 【解析】因为sin +α 2  =cosα,sinπ+α  =-sinα， 3π cos -α 2  =-sinα,cos5π+α  =cosπ+α  =-cosα， π sin +α 2 所以  +3sinπ+α  3π cos -α 2  -cos5π+α  cosα-3sinα 1-3tanα = = ， -sinα+cosα -tanα+1 π sin +α 2 又tanα=3，所以  +3sinπ+α  3π cos -α 2  -cos5π+α  1-3×3 = =4. -3+1 故答案为：4. 1127 (2024·河南周口·高三校考期中)(1)若3sinα+cosα=0，求cos2α+2sinαcosα的值； (2)设fα  2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α) = 3π 1+sin2α+cos +α 2  π -sin2 +α 2  23π (1+2sinα≠0)，求f- 6  的值. 1 【解析】(1) 3sinα+cosα=0，则cosα≠0，tanα=- ， 3 2 1- cos2α+2sinαcosα 1+2tanα 3 cos2α+2sinαcosα= = = cos2α+sin2α 1+tan2α 1 1+ 3  3 = . 2 10 (-2sinα)(-cosα)+cosα (2)∵f(α)= 1+sin2α+sinα-cos2α 2sinαcosα+cosα cosα(1+2sinα) 1 = = = ， 2sin2α+sinα sinα(1+2sinα) tanα 23π ∴f- 6  1 = 23π tan- 6  1 = π tan-4π+ 6  1 = = 3． π tan 6 1128 (2024·江苏扬州·高三校联考期末)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终 1 边OA与单位圆的交点坐标为Am,- 2  m<0  ，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ 弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y=fθ  第 页 共 页 697 3427(1)求函数y=fθ  π 的解析式，并求f- 2  的值； (2)若fθ  3 = ，θ∈0,π 4  π ，求tanθ+ 6  的值 1 【解析】(1)因为点A在单位圆上，所以由三角函数的定义可得sinα=- ， 2 7π 又因为m<0，所以α= ， 6 所以fθ  7π =sinθ+ 6  ， π f- 2  π 7π =sin- + 2 6  2π 3 =sin = . 3 2 (2)由fθ  3 7π = 可得sinθ+ 4 6  π =-sinθ+ 6  3 π = ，即sinθ+ 4 6  3 =- ， 4 由于θ∈0,π  π π 7π 得θ+ ∈ , 6 6 6  π ，又sinθ+ 6  π <0，所以cosθ+ 6  <0， π 由平方关系得cosθ+ 6  π =- 1-sin2θ+ 6  13 =- ， 4 π 所以tanθ+ 6  π sinθ+ 6 =  π cosθ+ 6  39 = . 13 5 1129 (2024·贵州贵阳·高三统考期中)已知角α满足sinα-cosα=- . 5 (1)若角α是第三象限角，求tanα的值; sin(α-π)tan(5π+α)cos(π+α) (2)若f(α)= 3π tan(2π-α)cos- -α 2  ，求f(α)的值. 5 sinα-cosα=- 【解析】(1)由题意和同角三角函数基本关系式，有 5 ， sin2α+cos2α=1 2 5 5 消去sinα得5cos2α- 5cosα-2=0，解得cosα= 或cosα=- . 5 5 5 2 5 因为角α是第三象限角，所以cosα=- ，sinα=- ，tanα=2. 5 5 -sinαtanα(-cosα) (2)f(α)= =-cosα， -tanαsinα 2 5 2 5 当角α是第一象限角时，cosα= ，f(α)=- . 5 5 5 5 当角α是第三象限角时，cosα=- ，f(α)= . 5 5 【解题方法总结】 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联 系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． 第 页 共 页 698 3427