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第 28 讲 三角函数概念及诱导公式
知识梳理
知识点一：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个
位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是
S={β|β=k⋅360°+α，k∈Z}
．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的
终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不
属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，
读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
π 180°
1°= rad 1rad=
（2）角度制和弧度制的互化： 180°=πrad ， 180 ， π ．
1 1
（3）扇形的弧长公式：
l=|α|⋅r
，扇形的面积公式：
S=
2
lr=
2
|α|⋅r2
．
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点
P(x，y)
时，则
sinα=y
，cosα=x，
y
tanα= (x≠0)
x ．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P
P(x，y)
是角α终边上异于顶点的任一
y x y
sinα= cosα= tanα= (x≠0)
点，设点P到原点O的距离为r，则 r ， r ， x
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象 第二象限 第三象 第四象限符号 符号 限符号 限符号
sinα R ＋ ＋ － －
cosα R ＋ － － ＋
π
tanα {α|α≠kπ+ ，k∈Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，
0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
知识点二：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α+cos2α=1
．
sinα π
=tanα(α≠ +kπ)
（2）商数关系： cosα 2 ；
知识点三：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一
写作 ；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断 所处的象限，并判断题设
三角函数在该象限的正负；（3）当 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 为偶数
时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【解题方法总结】
sinα
=tanα
1、利用
sin2α+cos2α=1
可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
cosα
可以
实现角α的弦切互化．sinα+cosα，sinαcosα，sinα−cosα
2、“ ”方程思想知一求二．
必考题型全归纳
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
例1．（2024·辽宁·校联考一模）已知角 的终边上一点的坐标为 ，则 的
最小正值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·广东·高三统考学业考试）下列各角中与 角的终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角 的终边为射线 ，
则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是
坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
题型二：等分角的象限问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知 是锐角，那么 是（ ）．A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
例5．（2024·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
例6．（2024·浙江·高三专题练习）若角 满足 ＝ (k∈Z)，则 的终边一定在(
)
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
变式2．（1990·上海·高考真题）设 角属于第二象限，且 ，则 角属于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知角 的终边与 的终边重合，则 的终边不可
能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若角 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解题方法总结】
先从 的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2） 的象
限分布图示．
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则该扇形的周长为__________.
例8．（2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角 所对的
弧长 ，则该扇形面积为__________.
例9．（2024·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这
个比例为 ，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达
出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为 ，圆面剩
余部分的面积为 ，当 时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子
圆心角的弧度数为____________.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积
给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一
扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为
_____平方米.
变式6．（2024·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4
为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.
变式7．（2024·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为 ，半径为
r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角 ______弧度．
【解题方法总结】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．题型四：三角函数定义题
例10．（2024·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知 是角 终边上的一点，则
（ ）
A． B． C． D．
例11．（2024·全国·高三对口高考）如果点P在角 的终边上，且 ，则点P的坐
标是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标
原点 逆时针旋转 至 ，则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．1
变式8．（2024·全国·高三专题练习）设 ，角 的终边与圆 的交点为
，那么 （ ）
A． B． C． D．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系 中，动点P，Q从
点 出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每
秒钟转 弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________.【解题方法总结】
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知
角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值
在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的
情况．
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
例13．（2024·全国·高三对口高考）若 ，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点 是角 终边上一点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·河南·校联考模拟预测）已知 是第二象限角，则点 所
在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式10．（2024·河南·校联考模拟预测）已知 是第二象限角，则点（ ，
）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式11．（2024·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点
位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点 是第二象限的点，则 的终边
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题方法总结】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
例16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 是三角形的一个内角，
且满足 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．3 D．
例17．（2024·山西阳泉·统考二模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，
（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
变式14．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 是关于 的方程
的两根，则 __________.
变式15．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知 ，则
________．
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）若 ，则 ________．
变式18．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知 ，则 的值是
__________．
变式19．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知 ，则
__________.
变式20．（2024·全国·高三对口高考）若 ，求 的值为__________.
【解题方法总结】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义
求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
题型七：诱导求值与变形
例19．（2024·山西阳泉·统考三模）已知 ，且 ，则
_______．例20．（2024·四川绵阳·统考三模）已知 ， ，则 ______.
例21．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式21．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
变式22．（2024·广东深圳·统考模拟预测）已知 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
变式23．（2024·陕西西安·长安一中校考二模）已知 ，则
（ ）
A． B． C．- D．
【解题方法总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱
导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化
题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例22．（2024·河南驻马店·统考三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例23．（2024·全国·高三对口高考）若 ，求 的值.
例24．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，求 的值．
变式24．（2024·河南周口·高三校考期中）（1）若 ，求
的值；
（2）设 ，求 的值.
变式25．（2024·江苏扬州·高三校联考期末）在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，
角 的终边 与单位圆的交点坐标为 ，射线 绕点 按逆时针方向旋
转 弧度后交单位圆于点 ，点 的纵坐标 关于 的函数为(1)求函数 的解析式，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的值
变式26．（2024·贵州贵阳·高三统考期中）已知角 满足
(1)若角 是第三象限角，求 的值;
(2)若 ，求 的值.
【解题方法总结】
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的
联系，灵活使用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响
