第28讲三角函数的概念及诱导公式_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第28讲 三角函数概念及诱导公式 知识梳理 知识点一：三角函数基本概念 1、角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2) 所有与角 α 终边相同的角 ，连同角 α 在内 ，构成的角的集合是 S = ββ=k⋅360°+α，k∈Z  ． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一 个象限． (4)象限角的集合表示方法： 2、弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作 弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． π 180° (2)角度制和弧度制的互化：180°=πrad，1°= rad，1rad= ． 180 π (3)扇形的弧长公式：l=α  1 1 ⋅r，扇形的面积公式：S= lr= α 2 2  ⋅r2． 3、任意角的三角函数 y (1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα=y，cosα=x，tanα= x (x≠0)． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设 y x y 点P到原点O的距离为r，则sinα= ，cosα= ，tanα= (x≠0) r r x 三角函数的性质如下表： 第一象 第二象限 第三象 第四象 三角函数 定义域 限符号 符号 限符号 限符号 sinα R + + - - cosα R + - - + 第 页 共 页 206 1043π tanα αα≠kπ+ ，k∈Z 2   + - + -  记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1，0)作单 位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 知识点二：同角三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α+cos2α=1． sinα π (2)商数关系： =tanαα≠ +kπ cosα 2  ； 知识点三：三角函数诱导公式 公 一 二 三 四 五 六 式 π π 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 2 2 正 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 弦 余 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 弦 正 tanα tanα -tanα -tanα 切 口 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 诀 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作n π π ⋅ ±α；(2)无论有多大，一律视为锐角，判断n⋅ ±α所处的象限，并判断题设三角函数在 2 2 该象限的正负；(3)当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名 保持不变即可． 【解题方法总结】 sinα 1、利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 =tanα可以实现 cosα 角α的弦切互化． 2、“sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα”方程思想知一求二． 第 页 共 页 207 1043(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α(sinα-cosα)2=sin2α+cos2α- 2sinαcosα=1-sin2α (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2 必考题型全归纳 1 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 4π 4π 1080 (2024·辽宁·校联考一模)已知角α的终边上一点的坐标为sin ,cos 5 5  ，则α的最小 正值为 ( ) π 3π 4π 17π A. B. C. D. 5 10 5 10 9π 1081 (2024·全国·高三专题练习)下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) 4 A.2kπ+45°k∈Z  9π B.k⋅360°+ k∈Z 4  C.k⋅360°-315°k∈Z  5π D.kπ+ k∈Z 4  1082 (2024·广东·高三统考学业考试)下列各角中与437°角的终边相同的是 ( ) A.67° B.77° C.107 ° D.137 ° 1083 (2024·北京·高三北大附中校考阶段练习)已知角α的终边为射线y=x(x≤0)，则下列 正确的是 ( ) 5π 2 A.α= B.cosα= 4 2 π C.tanα+ 2  π =-1 D.sinα+ 4  =1 2 题型二：等分角的象限问题 1084 (2024·全国·高三专题练习)已知α是锐角，那么2α是( )． A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角 1085 (2024·全国·高三专题练习)若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在 ( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 2kπ π 1086 (2024·浙江·高三专题练习)若角α满足α= + (k∈Z)，则α的终边一定在 ( ) 3 6 A.第一象限或第二象限或第三象限 B.第一象限或第二象限或第四象限 C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 α 1087 (1990·上海·高考真题)设α角属于第二象限，且cos 2  α α =-cos ，则 角属于 ( ) 2 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5π α 1088 (2024·全国·高三专题练习)已知角α的终边与 的终边重合，则 的终边不可能在 3 3 第 页 共 页 208 1043( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 α 1089 (2024·全国·高三专题练习)若角α是第一象限角，则 是 ( ) 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 3 题型三：弧长与扇形面积公式的计算 2 1090 (2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习)已知扇形的圆心角为 π，扇形的 3 面积为3π，则该扇形的周长为 . 1091 (2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模)已知扇形圆心角α=60°,α所对的弧长 l=6π，则该扇形面积为 . 1092 (2024·全国·高三专题练习)在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例 为 2:1，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种 独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为S ，圆面剩余部分 1 S 的面积为S ，当 2 = 2时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的 2 S 1 弧度数为 . 1093 (2024·全国·高三专题练习《) 九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以 径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下 周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为20米，则该扇形田的面积为 平方米. 1094 (2024·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习)若一个扇形的周长是4为定 值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是 . 1095 (2024·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习)已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长 为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角α= 弧度． 4 题型四：三角函数定义题 1096 (2024·湖南邵阳·高三统考学业考试)已知P3,4  是角α终边上的一点，则sinα= ( ) 3 4 3 4 A. B. C. D. 5 5 4 7 2 1097 (2024·全国·高三对口高考)如果点P在角 π的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标是 3 第 页 共 页 209 1043( ) A.(1, 3) B.(-1, 3) C.(- 3,1) D.(- 3,-1) 1098 (2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模)已知点A的坐标为1, 3  ，将OA绕坐标原 π 点O逆时针旋转 至OB，则点B的纵坐标为 ( ) 2 A.- 3 B.-1 C. 3 D.1 1099 (2024·全国·高三专题练习)设a<0，角α的终边与圆x2+y2=1的交点为P(-3a，4a)， 那么sinα+2cosα= ( ) 2 1 1 2 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 1100 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1, π 0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟 6 11π 转 弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为 . 6 5 题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值 13π 1101 (2024·全国·高三对口高考)若α= ，则 ( ) 7 A.sinα>0且cosα>0 B.sinα>0且cosα<0 C.sinα<0且cosα>0 D.sinα<0且cosα<0 1102 (2024·全国·高三专题练习)已知点Asin23°,-cos23°  是角α终边上一点，若0°<α< 360°，则α= ( ) A.113° B.157° C.293° D.337° 1103 (2024·河南·校联考模拟预测)已知α是第二象限角，则点(cos(sinα),sin(cosα))所在的 象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1104 (2024·河南·校联考模拟预测)已知α是第二象限角，则点(cos(-α)，sin(-α))所在的象 限是 ( ) 第 页 共 页 210 1043A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1105 (2024·河南许昌·高三校考期末)在平面直角坐标系中，点Psin2023°，tan2023°  位于第 ( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 1106 (2024·全国·高三专题练习)已知点Pcosθ,tanθ  是第二象限的点，则θ的终边位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6 题型六：同角求值-条件中出现的角和结论中出现的角是相同的 1107 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知θ是三角形的一个内角，且满足 5 sinθ-cosθ= ，则tanθ= ( ) 5 1 A.2 B.1 C.3 D. 2 6 1108 (2024·山西阳泉·统考二模)已知sinα+cosα= ，0<α<π，则sinα-cosα= 3 ( ) 2 3 2 3 3 3 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 1 1109 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+cosα= ，且α∈0,π 5  ，sinα-cosα= ( ) 7 7 7 49 A.± B.- C. D. 5 5 5 25 π 1110 (2024·贵州铜仁·统考模拟预测)已知sinθ-sin +θ 2  = 2，则tanθ= ( ) A.- 2 B.-1 C.1 D. 2 1111 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)已知sinα、cosα是关于x的方程3x2- 2x+a=0的两根，则a= . 2 1112 (2024·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=- ，则sin2α= 3 ． 7 1113 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+cosα= 0<α<π 13  ，则tanα= ． π 1114 (2024·全国·高三专题练习)若θ∈0, 2  1 ,tanθ= ，则sinθ-cosθ= ． 2 1 1115 (2024·陕西西安·校考模拟预测)已知tanθ=2，则 的值是 ． sin2θ+cos2θ 1116 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知tanx= 3，则3sin2x-2sinxcosx= . sinx-cosx 1117 (2024·全国·高三对口高考)若 =2，求sinxcosx的值为 . sinx+cosx 7 题型七：诱导求值与变形 第 页 共 页 211 1043π 1118 (2024·山西阳泉·统考三模)已知sin +α 6  3 π π = ，且α∈- , 3 4 4  π ，则sin -α 3  = ． π 1119 (2024·四川绵阳·统考三模)已知θ∈ ,π 2  ，sinπ+θ  3 =- ，则tanθ= . 3 1120 (2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习)若sinπ+α  1 =- ，则 2 cosα的值为 ( ) 1 1 3 3 A.± B. C. D.± 2 2 2 2 1 1121 (2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习)若sinA= ，则 3 sin6π-A  的值为 ( ) 1 1 2 2 2 2 A. B.- C.- D. 3 3 3 3 π 1122 (2024·广东深圳·统考模拟预测)已知sin +α 3  4 5π = ，则cos +α 5 6  的值为 ( ) 3 3 4 4 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 π 1123 (2024·陕西西安·长安一中校考二模)已知cosα- 5  5 7π = ，则sinα- 13 10  = ( ) 5 5 12 12 A.- B. C.- D. 13 13 13 13 8 题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 3π 1124 (2024·河南驻马店·统考三模)已知tanθ=2，则sinθsin +θ 2  = ( ) 3 1 1 2 A. B. C.- D.- 5 2 2 5 tanx π 1125 (2024·全国·高三对口高考)若 =-1，求sin +x tanx-1 2  3π cos -x 2  的值. π sin +α 2 1126 (2024·全国·高三专题练习)已知tanα=3，求  +3sinπ+α  3π cos -α 2  -cos5π+α  的值． 1127 (2024·河南周口·高三校考期中)(1)若3sinα+cosα=0，求cos2α+2sinαcosα的值； (2)设fα  2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α) = 3π 1+sin2α+cos +α 2  π -sin2 +α 2  23π (1+2sinα≠0)，求f- 6  的值. 1128 (2024·江苏扬州·高三校联考期末)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终 1 边OA与单位圆的交点坐标为Am,- 2  m<0  ，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ 弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y=fθ  第 页 共 页 212 1043(1)求函数y=fθ  π 的解析式，并求f- 2  的值； (2)若fθ  3 = ，θ∈0,π 4  π ，求tanθ+ 6  的值 5 1129 (2024·贵州贵阳·高三统考期中)已知角α满足sinα-cosα=- . 5 (1)若角α是第三象限角，求tanα的值; sin(α-π)tan(5π+α)cos(π+α) (2)若f(α)= 3π tan(2π-α)cos- -α 2  ，求f(α)的值. 第 页 共 页 213 1043