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2022年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题。1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算 得 ，则“？”是
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，将 折叠，使 边落在 边上，展开后得到折痕 ，则 是 的
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
3．与 相等的是
A． B． C． D．
4．下列正确的是
A． B． C． D．
5．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 与四边形 的外角和的度数分别为
， ，则正确的是
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
6．某正方形广场的边长为 ，其面积用科学记数法表示为
A． B． C． D．
7．① ④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体
构成的长方体，则应选择
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
8．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是
A． B． C． D．
9．若 和 互为倒数，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
第1页（共23页）10．某款“不倒翁”（图 的主视图是图2， ， 分别与 所在圆相切于点 ， ．若
该圆半径是 ， ，则 的长是
A． B． C． D．
11．要得知作业纸上两相交直线 ， 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法
直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
12．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若 个人共同完成
需 天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是
A． B．
第2页（共23页）C． D．
13．平面内，将长分别为1，5，1，1， 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则 可能
是
A．1 B．2 C．7 D．8
14．五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追
加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是
A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数
15．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面
标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时
水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到
达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是 斤，则正确的是
A．依题意
B．依题意
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
16．题目：“如图， ， ，在射线 上取一点 ，设 ，若对于 的一个
数值，只能作出唯一一个 ，求 的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答： ，
丙答： ，则正确的是
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
第3页（共23页）C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，
19小题每空1分）
17．如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从 号中随机抽
取一签，则抽到6号赛道的概率是 ．
18．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点 ， 的
连线与钉点 ， 的连线交于点 ，则
（1） 与 是否垂直？ （填“是”或“否” ；
（2） ．
19．如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出 个黑子放入乙盒，
使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则 ；
（2）设甲盒中都是黑子，共 个，乙盒中都是白子，共 个．嘉嘉从甲盒拿出
个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉
嘉又从乙盒拿回 个棋子放到甲盒，其中含有 个白子，此时乙盒中有 个黑子，
则 的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）整式 的值为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若 的取值范围如图所示，求 的负整数值．
21．（9分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了
第4页（共23页）测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图 各项所占之比，分别计算两人各自的
综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
22．（9分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的
一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如， 为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为 ， ，请论证“发现”中的结论正确．
23．（10分）如图，点 在抛物线 上，且在 的对称轴右侧．
（1）写出 的对称轴和 的最大值，并求 的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及 的一段，分别记为 ， ．平
移该胶片，使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
24．（10分）如图，某水渠的横断面是以 为直径的半圆 ，其中水面截线 ．嘉琪
在 处测得垂直站立于 处的爸爸头顶 的仰角为 ，点 的俯角为 ．已知爸爸的身
高为 ．
（1）求 的大小及 的长；
（2）请在图中画出线段 ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米
（结果保留小数点后一位）．
（参考数据： 取4， 取
第5页（共23页）25．（10分）如图，平面直角坐标系中，线段 的端点为 ， ．
（1）求 所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数 中，分别输入 和 的值，使得到射线 ，其中 ．当
时，会从 处弹出一个光点 ，并沿 飞行；当 时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点 弹出，试推算 ， 应满足的数量关系；
②当有光点 弹出，并击中线段 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 就会发光．
求此时整数 的个数．
26．（12分）如图1，四边形 中， ， ， ， ，
， 于点 ．将 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点 与
重合，点 在 上，其中 ， ， ．
第6页（共23页）（1）求证： ；
（2） 从图1的位置出发，先沿着 方向向右平移（图 ，当点 到达点 后立刻绕
点 逆时针旋转（图 ，当边 旋转 时停止．
①边 从平移开始，到绕点 旋转结束，求边 扫过的面积；
②如图2，点 在 上，且 ．若 右移的速度为每秒1个单位长，绕点
旋转的速度为每秒 ，求点 在 区域（含边界）内的时长；
③如图3，在 旋转过程中，设 ， 分别交 于点 ， ，若 ，直接写出
的长（用含 的式子表示）．
第7页（共23页）2022年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题。1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算 得 ，则“？”是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据同底数幂的除法法则列方程解答即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相
减．
【解答】解：根据同底数幂的除法可得： ，
？ ，
故选： ．
2．如图，将 折叠，使 边落在 边上，展开后得到折痕 ，则 是 的
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【分析】根据翻折的性质和图形，可以判断直线 与 的关系．
【解答】解：由已知可得，
，
则 为 的角平分线，
故选： ．
3．与 相等的是
A． B． C． D．
【分析】利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论．
【解答】解： ． ，选项 的计算结果是 ；
． ，选项 的计算结果不是 ；
． ，选项 的计算结果不是 ；
． ，选项 的计算结果不是 ．
故选： ．
4．下列正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据 判断 选项；根据 判断 选项；根据
判断 选项；根据算术平方根的定义判断 选项．
第8页（共23页）【解答】解： 、原式 ，故该选项不符合题意；
、原式 ，故该选项符合题意；
、原式 ，故该选项不符合题意；
、 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
5．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 与四边形 的外角和的度数分别为
， ，则正确的是
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
【分析】利用多边形的外角和都等于 ，即可得出结论．
【解答】解： 任意多边形的外角和为 ，
．
．
故选： ．
6．某正方形广场的边长为 ，其面积用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的面积 边长 边长列出代数式，根据积的乘方化简，结果写成科学记数
法的形式即可．
【解答】解：
，
故选： ．
7．① ④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体
构成的长方体，则应选择
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．
【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，
①④符合要求，
故选： ．
8．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是
A． B．
第9页（共23页）C． D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
【解答】解： 、 ，故 选项不符合条件；
、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故 选项不符合题意；
、不能判断出任何一组对边是平行的，故 选项不符合题意；
、有一组对边平行且相等是平行四边形，故 选项符合题意；
故选： ．
9．若 和 互为倒数，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据 和 互为倒数可得 ，再将 进行化简，将 代入即可求
值．
【解答】解： 和 互为倒数，
，
．
故选： ．
10．某款“不倒翁”（图 的主视图是图2， ， 分别与 所在圆相切于点 ， ．若
该圆半径是 ， ，则 的长是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，先找到圆心 ，然后根据 ， 分别与 所在圆相切于点 ， ．
可以得到 的度数，然后即可得到优弧 对应的圆心角，再根据弧长公式
计算即可．
【解答】解：作 ， ， 和 相交于点 ，如图，
， 分别与 所在圆相切于点 ， ．
，
，
第10页（共23页），
优弧 对应的圆心角为 ，
优弧 的长是： ，
故选： ．
11．要得知作业纸上两相交直线 ， 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法
直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】根据平行线的性质、三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：方案Ⅰ， ，
，
根据两直线平行，内错角相等可知，直线 ， 所夹锐角与 相等，
故方案Ⅰ可行，
方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线 ， 所夹锐角与 相等，
故方案Ⅱ可行，
故选： ．
12．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若 个人共同完成
需 天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是
A．
第11页（共23页）B．
C．
D．
【分析】利用已知条件得出 与 的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论．
【解答】解： 一个人完成需12天，
一人一天的工作量为 ，
个人共同完成需 天，
一人一天的工作量为 ，
每人每天完成的工作量相同，
．
，
是 的反比例函数，
选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是： ．
故选： ．
13．平面内，将长分别为1，5，1，1， 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则 可能
是
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得 的取值范围，利用此范围即可得
出结论．
【解答】解： 平面内，将长分别为1，5，1，1， 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
第12页（共23页）且 ，
的取值范围为： ，
则 可能是7．
故选： ．
14．五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追
加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是
A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
数据追加后平均数会变大，
集中趋势相同的只有中位数和众数，
故选： ．
15．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面
标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时
水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到
达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是 斤，则正确的是
A．依题意
B．依题意
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得
出结论．
【解答】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的重量 个搬运工的
体重，
已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是 斤，
，
选项不正确， 选项正确；
由题意：大象的体重为 斤，
选项不正确；
由题意可知：一块条形石的重量 个搬运工的体重，
每块条形石的重量是240斤，
选项不正确；
综上，正确的选项为： ．
故选： ．
16．题目：“如图， ， ，在射线 上取一点 ，设 ，若对于 的一个
数值，只能作出唯一一个 ，求 的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答： ，
丙答： ，则正确的是
第13页（共23页）A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【分析】由题意知，当 或 时，能作出唯一一个 ，分这两种情况求解即
可．
【解答】解：由题意知，当 或 时，能作出唯一一个 ，
①当 时，
， ，
，
即此时 ，
②当 时，
， ，
此时 ，
即 ，
综上，当 或 时能作出唯一一个 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，
19小题每空1分）
17．如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从 号中随机抽
取一签，则抽到6号赛道的概率是 ．
【分析】根据抽到6号赛道的结果数 所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解：所有可能出现的结果数为8，抽到6号赛道的结果数为1，每种结果出现的可能性
相同，
（抽到6号赛道） ，
故答案为： ．
18．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点 ， 的
连线与钉点 ， 的连线交于点 ，则
（1） 与 是否垂直？ 是 （填“是”或“否” ；
（2） ．
第14页（共23页）【分析】（1）证明 ，得出 ，由 ，得出
，进而得出 ，即可得出 ；
（2）先利用勾股定理求出 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可求
出 的长度．
【解答】解：如图1，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：是；
（2）如图2，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
19．如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
第15页（共23页）（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出 个黑子放入乙盒，
使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则 4 ；
（2）设甲盒中都是黑子，共 个，乙盒中都是白子，共 个．嘉嘉从甲盒拿出
个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉
嘉又从乙盒拿回 个棋子放到甲盒，其中含有 个白子，此时乙盒中有 个黑子，
则 的值为 ．
【分析】（1）根据嘉嘉从甲盒拿出 个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2
倍，列出方程计算即可求解；
（2）根据题意可得乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多的个数，根据题意可以求出 ，进一
步求出 的值．
【解答】解：（1）依题意有： ，
解得 ．
故答案为：4；
（2）依题意有： 个，
，
．
故答案为： ，1．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）整式 的值为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若 的取值范围如图所示，求 的负整数值．
【分析】（1）把 代入代数式中进行计算便可；
（2）根据数轴列出 的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）根据题意得， ；
（2）由数轴知， ，
即 ，
解得 ，
为负整数，
． ．
21．（9分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了
测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
第16页（共23页）（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图 各项所占之比，分别计算两人各自的
综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【分析】（1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
【解答】解：由题意得，甲三项成绩之和为： （分 ，
乙三项成绩之和为： （分 ，
，
会录用甲；
（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：
（分 ，
三项成绩之加权平均数为：
（分 ，
，
会改变（1）的录用结果．
22．（9分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的
一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如， 为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为 ， ，请论证“发现”中的结论正确．
【分析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同
类项法则计算即可求解．
【解答】解：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半
也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
，
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以
表示为两个正整数的平方和．
23．（10分）如图，点 在抛物线 上，且在 的对称轴右侧．
（1）写出 的对称轴和 的最大值，并求 的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及 的一段，分别记为 ， ．平
移该胶片，使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
第17页（共23页）【分析】（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令 ，转化为方程求出 即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
【解答】解：（1） 抛物线 ，
抛物线的顶点为 ，
抛物线的对称轴为直线 ， 的最大值为4，
当 时， ，
或7，
点 在对称轴的右侧，
，
；
（2） 平移后的抛物线的解析式为 ，
平移后的顶点 ，
平移前抛物线的顶点 ，
点 移动的最短路程 ．
24．（10分）如图，某水渠的横断面是以 为直径的半圆 ，其中水面截线 ．嘉琪
在 处测得垂直站立于 处的爸爸头顶 的仰角为 ，点 的俯角为 ．已知爸爸的身
高为 ．
（1）求 的大小及 的长；
（2）请在图中画出线段 ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米
（结果保留小数点后一位）．
（参考数据： 取4， 取
【分析】（1）由 ， ，得 ，根据 ， ，可得
，
第18页（共23页）（2）过 作 的垂线交 于 ，交圆于 ，即可画出线段 ，表示最大水深，根据
， ， ，可得 ，在 中，即知 ，设
， 则 ， 有 ， 解 得 ， 从 而
．
【解答】解：（1） 嘉琪在 处测得垂直站立于 处的爸爸头顶 的仰角为 ，
， ，
，
， ，
，
，
答： ， 的长为 ；
（2）图中画出线段 如图：
， ，
，
，
，
，
，
在 中，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
答：最大水深约为2.6米．
第19页（共23页）25．（10分）如图，平面直角坐标系中，线段 的端点为 ， ．
（1）求 所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数 中，分别输入 和 的值，使得到射线 ，其中 ．当
时，会从 处弹出一个光点 ，并沿 飞行；当 时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点 弹出，试推算 ， 应满足的数量关系；
②当有光点 弹出，并击中线段 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 就会发光．
求此时整数 的个数．
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，转化为方程组求解；
（2）①把 代入函数解析式，可得结论；
②寻找特殊点，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）①由题意直线 经过点 ，
；
② 线段 上的整数点有15个： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ．
当射线 经过 ， 时， ，此时 ，符合题意，
当射线 经过 ， 时， ，此时 ，符合题意，
当射线 经过 ， 时， ，此时 ，符合题意，
当射线 经过 ， 时， ，此时 ，符合题意，
当射线 经过 ， 时， ，此时 ，符合题意，
其它点，都不符合题意．
解法二：设线段 上的整数点为 ，则 ，
第20页（共23页），
，
，
，且 为整数， 也是整数，
， ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， （不符合题意，
综上所述，符合题意的 的值有5个
26．（12分）如图1，四边形 中， ， ， ， ，
， 于点 ．将 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点 与
重合，点 在 上，其中 ， ， ．
（1）求证： ；
（2） 从图1的位置出发，先沿着 方向向右平移（图 ，当点 到达点 后立刻绕
点 逆时针旋转（图 ，当边 旋转 时停止．
①边 从平移开始，到绕点 旋转结束，求边 扫过的面积；
②如图2，点 在 上，且 ．若 右移的速度为每秒1个单位长，绕点
旋转的速度为每秒 ，求点 在 区域（含边界）内的时长；
③如图3，在 旋转过程中，设 ， 分别交 于点 ， ，若 ，直接写出
的长（用含 的式子表示）．
【分析】（1）解直角三角形求出 ，再根据 证明三角形全等即可；
（2）①如图1中， 扫过的面积 平行四边形 的面积 扇形 的面积；
②如图 中，连接 ．当 运动到与 重合时，求出 ，可得结论；
③利用勾股定理求出 ，再利用相似三角形的性质求出 ，可得结论．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
在 中， ， ， ，
，
，
， ，
在 和 中，
，
第21页（共23页）；
（2）解：①如图1中， 扫过的面积 平行四边形 的面积 扇形 的面积．
设 交 于点 ．
， ，
，
扫过的面积 ；
②如图 中，连接 ．当 运动到与 重合时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
点 在 区域（含边界）内的时长 ；
③如图3中，
第22页（共23页）在 中， ， ，
，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
．
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