文档内容
《数据的离散程度》综合测试2
【教材训练】 5分钟
1.极差、方差、标准差的概念
(1)一组数据的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差.
(2)方差是各个数据与其平均数差的平方的平均数.
(3)标准差是方差的算术平方根.
2.判断训练(打“√”或“×”)
(1)极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量. ( )
(2)一组数据:-1,5,9,7的极差是8. ( )
(3)在样本容量相同的情况下,方差越小,说明数据的波动越大,越不稳定.( )
(4)一组数据5,5,5,4,6,则这组数据的方差是0,标准差是0. ( )
(5)已知,一组数据x ,x ,…,x 的平均数是10,方差是2,则数据x +3,x +3,…,x +3
1 2 n 1 2 n
的平均数是10,方差是2. ( )
【课堂达标】 20分钟
训练点一:极差、方差、标准差的计算
1.(3分)若一组数据1,2,3,x的极差为6,则x的值是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.7或-3
2.(3分)在方差的计算公式s2= ×[(x -20)2+(x -20)2+…+(x -20)2]中,数字10和
1 2 10
20分别表示的意义可以是 ( )
A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数 D.数据的方差和平均数
3.(3分)在植树节当天,某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动,
10个小组植树的株数见下表:
植树株树(株) 5 6 7
小组个数 3 4 3
则这10个小组植树株数的方差是________.
1 / 104.(3 分)已知数据 0,1,2,3,4 的方差为 2,则数据 10,11,12,13,14 的方差为
____________,标准差为__________.
5.(4分)甲、乙两位同学五次数学测验成绩如下表:
测验(次) 1 2 3 4 5 平均分 方差
甲(分) 75 90 96 83 81
乙(分) 86 70 90 95 84
请你在表中的空白处填上适当的数,用学到的统计知识对两位同学的成绩进
行分析,并写出一条合理化建议.
训练点二:极差、方差、标准差的简单应用
1.(3分)已知甲、乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差 =0.055,乙组
数据的方差 =0.105,则 ( )
A.甲组数据比乙组数据波动大
B.乙组数据比甲组数据波动大
C.甲组数据与乙组数据的波动一样大
D.甲、乙两组数据的波动不能比较
2.(3分)某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查,计
算后发现这个月四个市场的价格平均值相同,方差分别为 =8.5, =2.5,
=10.1, =7.4,二月份白菜价格最稳定的市场是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.(3分)已知一组数据:3,4,5,6,5,7,那么这组数据的方差是 ( )
A. B. C. D.
2 / 104.(5分)在某旅游景区上山的一条路上,有一些断断续续的台阶,如图是其中的
甲、乙两段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差
和极差)回答下列问题:
图中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm),并且数据15,16,16,14,14,15的
方差: ,数据11,15,18,17,10,19的方差: .
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?
(2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么?
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数
不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
【课后作业】 30分钟
一、选择题(每小题4分,共8分)
1.甲、乙两人在相同的条件下,各射靶10次,经过计算:甲、乙射击成绩的平均
数都是8环,甲的方差是1.2,乙的方差是1.8.下列说法中不
一定正确的是 ( )
A.甲、乙的众数相同 B.甲的成绩稳定
C.乙的成绩波动较大 D.甲、乙射中的总环数相同
2.甲、乙两学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,且所中环数的平均数
也相同,但甲的成绩比乙的成绩稳定,那么两者的方差的大小关系是 ( )
A. < B. > C. = D.不能确定
二、填空题(每小题4分,共12分)
3.如图是一组数据的折线统计图,这组数据的极差是________.
3 / 104. 已 知 一 组 数 据 x ,x ,…,x 的 方 差 是 s2, 则 新 的 一 组 数 据
1 2 n
ax +1,ax +1,…,ax +1(a为常数,a≠0)的方差是________(用含a,s2的代数式表示).
1 2 n
(友情提示:s2= [(x - )2+(x - )2+…+(x - )2])
1 2 n
5.如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图,观
察图形,甲、乙这10次射击成绩的方差 , 之间的大小关系是________.
三、解答题(共30分)
6.(8分)甲、乙两名同学进行射击训练,在相同条件下各射靶5次,成绩统计如
下:
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平,则谁的射击成绩
更稳定些?
7.(10分)已知A组数据如下:0,1,-2,-1,0,-1,3.
(1)求A组数据的平均数.
4 / 10(2)从A组数据中选取5个数据,记这5个数据为B组数据.要求B组数据满足
两个条件:①它的平均数与A组数据的平均数相等;②它的方差比A组数据的方
差大.你选取的B组数据是________,请说明理由.
【注:A组数据的方差的计算式是:
= [(x - )2+(x - )2+(x - )2+(x - )2+(x - )2+(x - )2+(x - )2]】
1 2 3 4 5 6 7
8.(12分)(能力拔高题)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩
情况如图所示.
(1)请填写下表:
命中9环以上的次
平均数 方差 中位数
数(包括9环)
甲 7 1.2 1
乙 5.4
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
5 / 10参考答案
【教材训练】
2.(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
【课堂达标】
训练点1
1【解析】选D.由题意可得x的值为-3或7.故选D.
2【解析】选C.由方差的计算公式知10个数据,平均数为20.
3【解析】先求得平均数为 =6,然后套用方差公式得s2=0.6.
答案:0.6
4【解析】因为第二组数据在第一组数据的基础上都加上了10,数据波动情况
没有发生变化,故方差不变,依然是2,标准差是 .
答案:2
5【解析】
平均分 方差
甲 85 53.2
乙 85 70.4
从上述数据可以看出,两人的成绩的平均分相等,乙同学的数学成绩不够稳定,
波动较大,希望乙同学在学习上查缺补漏,稳定自己的成绩.
训练点2
1【解析】选B.方差大的数据波动大,方差小的数据波动小.故选B.
2【解析】选B.根据数据方差的意义,方差越小说明二月份白菜的价格越稳定.
因为 =2.5最小,所以乙市场的价格最稳定.
3【解析】选A.因为 = =5,所以
6 / 10s2= ×[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(5-5)2+(7-5)2]= .故选A.
4【解析】(1) = ×(15+16+16+14+14+15)=15,
= ×(11+15+18+17+10+19)=15,
甲路段的中位数为15;乙路段的中位数为16.
甲路段的极差为16-14=2;乙路段的极差为19-10=9.
又 = , = ,所以:
相同点:两段台阶路高度的平均数相同.
不同点:两段台阶路高度的中位数、方差、极差不同.
(2)甲段台阶路走起来更舒服一些,因为它的台阶高度的方差小.
(3)每个台阶高度均修为15cm,使得方差为0.
【课后作业】
1【解析】选A.因为两人各射击10次,平均数都是8环,所以两人的总环数都是
80环,因而D正确;又因为甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比较稳定,乙的成
绩波动较大,所以B,C正确;而通过方差和平均数不能确定数据的众数,所以A不
正确.
2【解析】选A.由于甲、乙两位学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,所
中环数的平均数也相同,由于甲的成绩稳定,说明他的成绩波动性较小,所以他的
方差也小.
3【解析】极差是最大值与最小值的差:59-28=31.
答案:31
4【解析】设数据x ,x ,…,x 的平均数为 ,方差为s2,
1 2 n
则 = ,
7 / 10[(x - )2+(x - )2+…+(x - )2]=s2,
1 2 n
所以 =
=a +1.
新的一组数据ax +1,ax +1,…,ax +1(a为常数,a≠0)的方差是
1 2 n
s′2= [(ax +1-a -1)2+(ax +1-a -1)2+…+(ax +1-a -1)2]
1 2 n
= [(ax -a )2+(ax -a )2+…+(ax -a )2]
1 2 n
= {[a(x - )]2+[a(x - )]2+…+[a(x - )]2}
1 2 n
= {[a2(x - )2]+[a2(x - )2]+…+[a2(x - )2]}
1 2 n
=a2· [(x - )2+(x - )2+…+(x - )2]
1 2 n
=a2s2.
即新的一组数据ax +1,ax +1,…,ax +1(a为常数,a≠0)的方差是a2s2.
1 2 n
答案:a2s2
5【解析】根据图象可以看出甲的成绩波动比乙的成绩波动要小.故 <
.
8 / 10答案: <
6【解析】甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为:
= ×(7×2+8×2+10×1)=8,
= ×(7×1+8×3+9×1)=8,
= ×[2×(7-8)2+2×(8-8)2+(10-8)2]=1.2,
= ×[(7-8)2+3×(8-8)2+(9-8)2]=0.4,
因为 < ,
所以乙同学的射击成绩更稳定些.
7【解析】(1) = ×(0+1-2-1+0-1+3)=0.
(2)答案不唯一,如选取1,-2,-1,-1,3.
因为 = ×(1-2-1-1+3)=0,所以 = .
因为 = ×[02+12+(-2)2+(-1)2+02+(-1)2+32]= ,
= ×[12+(-2)2+(-1)2+(-1)2+32]= .
所以 > ,所以数据1,-2,-1,-1,3符合题意.
9 / 108【解析】(1)
命中9环以上次数
平均数 方差 中位数
(包括9环)
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①因为平均数相同, <
所以甲的成绩比乙稳定.
②因为平均数相同,甲的中位数<乙的中位数,
所以乙的成绩比甲好些.
③因为平均数相同,命中9环以上的次数甲比乙少,
所以乙的成绩比甲好些.
④甲的成绩在平均数上下波动;而乙处于上升势头,从第4次以后就没有比甲
少的情况发生,乙较有潜力.
10 / 10
