2021年高考数学试卷（北京）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1. 已知集合A=x|-1< x<1 ，B=x|0£ x£2 ，则A U B=（ ） -1,2 (-1,2] [0,1) [0,1] A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意利用并集的定义计算即可. 【详解】由题意可得：A U B =x|-1< x £2 ，即A U B=-1,2 . 故选：B. 2. 在复平面内，复数z满足(1-i)z =2，则z =（ ） A. 2+i B. 2-i C. 1-i D. 1+i 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 2 21+i 21+i 【详解】由题意可得：z = = = =1+i. 1-i 1-i1+i 2 故选：D. 3. 已知 f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数 f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数 f(x)在[0,1]上的最大 值为 f(1)”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数 f x 在 0,1 上单调递增，则 f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 ， 第1页 | 共18页若 f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 ， 2 æ 1ö 比如 f x= x- ， ç ÷ è 3ø æ 1ö 2 é 1ù é1 ù 但 f x= x- 在 0, 为减函数，在 ,1 为增函数， ç ÷ ê ú ê ú è 3ø ë 3û ë3 û 故 f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 推不出 f x 在 0,1 上单调递增， 故“函数 f x 在 0,1 上单调递增”是“ f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 ”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） 3+ 3 A. B. 4 C. 3+ 3 D. 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O-ABC， 其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1， 1 3  2 3+ 3 故其表面积为3´ ´1´1+ ´ 2 = ， 2 4 2 故选：A. 第2页 | 共18页x2 y2   5. 双曲线C: - =1过点 2, 3 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） a2 b2 y2 x2 3y2 3x2 A. x2 - =1 B. - y2 =1 C. x2- =1 D. -y2 =1 3 3 3 3 【答案】A 【解析】   【分析】分析可得b= 3a，再将点 2, 3 代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方 程. c x2 y2 【详解】 Q e= =2，则c=2a，b= c2 -a2 = 3a，则双曲线的方程为 - =1， a a2 3a2   2 3 1 将点 2, 3 的坐标代入双曲线的方程可得 - = =1，解得a=1，故b= 3， a2 3a2 a2 y2 因此，双曲线的方程为x2 - =1. 3 故选：A. a 6. a  和 b  是两个等差数列，其中 k 1£k £5 为常值，a =288，a =96，b =192，则b =（ n n b 1 5 1 3 k ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 【答案】B 【解析】 第3页 | 共18页【分析】由已知条件求出b 的值，利用等差中项的性质可求得b 的值. 5 3 【详解】由已知条件可得 a 1 = a 5 ，则b = a 5 b 1 = 96´192 =64，因此，b = b 1 +b 5 = 192+64 =128. b b 5 a 288 3 2 2 1 5 1 故选：B. 7. 函数 f(x)=cosx-cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 9 9 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为 8 8 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可 判断最大值. 【详解】由题意， f(-x)=cos-x-cos-2x=cosx-cos2x= f x ，所以该函数为偶函数， 2 æ 1ö 9 又 f(x)=cosx-cos2x=-2cos2 x+cosx+1=-2 cosx- + ， ç ÷ è 4ø 8 1 9 所以当cosx = 时， f(x)取最大值 . 4 8 故选：D. 8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（ 10mm-25mm），大雨（25mm-50mm），暴雨（50mm-100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时 的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 第4页 | 共18页【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 200 【详解】由题意，一个半径为 =100mm的圆面内的降雨充满一个底面半径为 2 200 150 ´ =50mm，高为150mm 的圆锥， 2 300 1 p´502´150 所以积水厚度 d = 3 =12.5mm ，属于中雨 . p´1002 故选：B. 9. 已知圆C:x2 + y2 =4，直线l: y =kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（ ） A. ±2 B. ± 2 C. ± 3 D. ± 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为 0,0 ，半径为2， m 则圆心到直线的距离d = ， k2 +1 m2 则弦长为2 4- ， k2 +1 则当k =0时，弦长取得最小值为2 4-m2 =2，解得m=± 3. 故选：C. 10. 数列 a  是递增的整数数列，且a ³3，a +a ++a =100，则n的最大值为（ ） n 1 1 2 n A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解. 【详解】若要使n尽可能的大，则a ，递增幅度要尽可能小， 1 第5页 | 共18页不妨设数列 a  是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为S ， n n 3+13 3+14 则a =n+2，S = ´11=88<100，S = ´12=102>100， n 11 2 12 2 所以n的最大值为11. 故选：C. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题5小题，每小题5分，共25分． 1 11. (x3- )4展开式中常数项为__________． x 【答案】-4 【解析】 4 r 【详解】试题分析： æ ç x3- 1ö ÷ 的展开式的通项T =Cr  x34-ræ ç - 1ö ÷ =-1r Crx12-4r, è xø r+1 4 è xø 4 令r =3得常数项为T =-13 C3 =-4. 4 4 考点：二项式定理. 12. 已知抛物线C: y2 =4x，焦点为F ，点M 为抛物线C上的点，且 FM =6，则M 的横坐标是_______； 作MN ^ x轴于N ，则S = _______． VFMN 【答案】 ①. 5 ②. 4 5 【解析】 【分析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求S . VFMN 【详解】因为抛物线的方程为y2 =4x，故 p =2且F1,0 . p 因为 MF =6，x + =6，解得x =5，故y =±2 5， M 2 M M 1 所以S = ´5-1´2 5=4 5， VFMN 2 故答案为：5，4 5. r r r r r r r r 13. a=(2,1)，b=(2,-1)，c=(0,1)，则(a+b)c=_______；ab=_______． 【答案】 ①. 0 ②. 3 第6页 | 共18页【解析】 【分析】根据坐标求出ar+b r ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. r r r 【详解】 a =(2,1),b =(2,-1),c =(0,1)， Q \a r +b r =4,0，\(a r +b r )c r =4´0+0´1=0， r r \ab=2´2+1´-1=3. 故答案为：0；3. p p 14. 若点P(cosq,sinq)与点Q(cos(q+ ),sin(q+ ))关于y轴对称，写出一个符合题意的q=___． 6 6 5p 5p 【答案】 （满足q= +kp,kZ 即可） 12 12 【解析】 p p 【分析】根据P,Q在单位圆上，可得q,q+ 关于y轴对称，得出q+ +q=p+2kp,kZ求解. 6 6 æ æ pö æ pöö 【详解】 Q P(cosq,sinq)与Q ç cos ç q+ ÷ ,sin ç q+ ÷÷关于y轴对称， è è 6 ø è 6 øø p 即q,q+ 关于y轴对称， 6 p q+ +q=p+2kp,kZ， 6 5p 则q=kp+ ,kZ ， 12 5p 当k =0时，可取q的一个值为 . 12 5p 5p 故答案为： （满足q=kp+ ,kZ 即可）. 12 12 15. 已知函数 f(x)= lgx -kx-2，给出下列四个结论： ①若k =0，则 f(x)有两个零点； ②k <0，使得 f(x)有一个零点； ③k <0，使得 f(x)有三个零点； ④k >0，使得 f(x)有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 第7页 | 共18页【分析】由 f x=0可得出 lgx =kx+2，考查直线y = kx+2与曲线gx= lgx 的左、右支分别相切 的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 1 【详解】对于①，当k =0时，由 f x= lgx -2=0，可得x= 或x=100，①正确； 100 对于②，考查直线y = kx+2与曲线y =-lgx0< x<1 相切于点Pt,-lgt ， ì e ìkt+2=-lgt t = ï 1 ï ï 100 对函数 y =-lgx求导得y¢=- ，由题意可得í 1 ，解得í ， xln10 k =- 100 ï ï î tln10 k =- lge ïî e 100 所以，存在k =- lge<0，使得 f x 只有一个零点，②正确； e 对于③，当直线y = kx+2过点 1,0 时，k+2=0，解得k =-2， 100 所以，当- lge1 有一个交点，所以，í e ，此不等式无解， ï îk+2>0 因此，不存在k <0，使得函数 f x 有三个零点，③错误； 对于④，考查直线y = kx+2与曲线y =lgxx>1 相切于点Pt,lgt ， ìkt+2=lgt ìt =100e 1 ï ï 对函数y =lgx求导得 y¢= ，由题意可得í 1 ，解得í lge ， xln10 k = k = ï ï î tln10 î 100e lge 所以，当0 时，EX> EY ； 11 第13页 | 共18页2 若 p< 时，EX< EY . 11 3-2x 19. 已知函数 f x= ． x2 +a （1）若a=0，求y = f x 在  1, f 1 处切线方程； （2）若函数 f x 在x=-1处取得极值，求 f x 的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1）4x+ y-5=0；（2）函数 f x 的增区间为 -¥,-1 、4,+¥，单调递减区间为 -1,4 1 ，最大值为1，最小值为- . 4 【解析】 【分析】（1）求出 f 1 、 f¢1 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由 f¢-1=0可求得实数a的值，然后利用导数分析函数 f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 3-2x 2x-3 【详解】（1）当a=0时， f x= ，则 f¢x= ，\ f 1=1， f¢1=-4， x2 x3 此时，曲线y = f x 在点  1, f 1 处的切线方程为y-1=-4x-1 ，即4x+ y-5=0； -2  x2 +a  -2x3-2x 2  x2 -3x-a  3-2x （2）因为 f x= ，则 f¢x= = ， x2 +a  x2 +a 2  x2 +a 2 24-a 由题意可得 f¢-1= =0，解得a =4， a+12 2x+1x-4 故 f x= 3-2x ， f¢x= ，列表如下： x2 +4  x2 +4 2 x -¥,-1 -1 -1,4 4 4,+¥ f ¢x + 0 - 0 + f x 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数 f x 的增区间为 -¥,-1 、4,+¥，单调递减区间为 -1,4 . 3 3 当x< 时， f x>0；当x> 时， f x<0. 2 2 1 所以， f x = f -1=1， f x = f 4=- . max min 4 第14页 | 共18页x2 y2 20. 已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 5． a2 b2 （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=- 3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围． x2 y2 【答案】（1） + =1；（2）[-3,-1)È(1,3]． 5 4 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a,b，从而可求椭圆的标准方程. （2）设Bx ,y ,Cx ,y  ，求出直线AB,AC的方程后可得M,N 的横坐标，从而可得 PM + PN ， 1 1 2 2 联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 PM + PN ，从而可求k的范围，注意判别式的 要求. 【详解】（1）因为椭圆过A0,-2 ，故b=2， 1 因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5，故 ´2a´2b=4 5 ，即a= 5 ， 2 x2 y2 故椭圆的标准方程为： + =1. 5 4 （2） 设Bx ,y ,Cx ,y  ， 1 1 2 2 因为直线BC的斜率存在，故x x ¹0， 1 2 第15页 | 共18页y +2 x x 故直线AB: y = 1 x-2，令y =-3，则x =- 1 ，同理x =- 2 . x M y +2 N y +2 1 1 2 ìy =kx-3 直线BC: y =kx-3，由í 可得  4+5k2 x2 -30kx+25=0， î4x2 +5y2 =20 故D=900k2 -100  4+5k2 >0，解得k <-1或k >1. 30k 25 又x +x = ,x x = ，故x x >0，所以x x >0 1 2 4+5k2 1 2 4+5k2 1 2 M N x x 又 PM + PN = x +x = 1 + 2 M N y +2 y +2 1 2 50k 30k - x x 2kx x -x +x  4+5k2 4+5k2 = 1 + 2 = 1 2 1 2 = =5 k kx -1 kx -1 k2x x -kx +x +1 25k2 30k2 1 2 1 2 1 2 - +1 4+5k2 4+5k2 故5 k £15即 k £3， 综上，-3£k <-1或1