文档内容
2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么P(AÈB)= P(A)+P(B)．
•如果事件A、B相互独立，那么P(AB)= P(A) P(B)．
1
•球的体积公式V = R3，其中R表示球的半径．
3
1
•圆锥的体积公式V = Sh，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
3
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合A=-1,0,1，B=1,3,5,C =0,2,4，则(AÇB)ÈC =（ ）
0 {0,1,3,5} {0,1,2,4}
A. B. C. D.
{0,2,3,4}
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】 A=-1,0,1，B=1,3,5,C =0,2,4，
Q
\AÇB=1 ，\(AÇB)ÈC =0,1,2,4 .
故选：C.
2. 已知aÎR，则“a >6”是“a2 >36”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
第1页 | 共19页【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若a >6，则a2 >36，故充分性成立；
若a2 >36，则a >6或a<-6，推不出a >6，故必要性不成立；
所以“a >6”是“a2 >36”的充分不必要条件.
故选：A.
ln|x|
3. 函数y= 的图像大致为（ ）
x2 +2
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
第2页 | 共19页【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当xÎ0,1 时， f x<0，排除D，即可得解.
【详解】设y= f x= ln|x| ，则函数 f x 的定义域为 x x0 ，关于原点对称，
x2 +2
ln|-x|
又 f -x= = f x ，所以函数 f x 为偶函数，排除AC；
-x2 +2
当xÎ0,1 时，ln|x|<0,x2 +1>0 ，所以 f x<0，排除D.
故选：B.
4.
从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分
数据分为8组：
66,70
、
70,74
、L、
94,98
，并整理得到如下的费率分布直方
图，则评分在区间
82,86
内的影视作品数量是（ ）
A. 20 B. 40 C. 64 D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间
82,86
内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间
82,86
内的影视作品数量为
400´0.05´4=80.
故选：D.
a=log 0.3,b=log 0.4,c=0.40.3
5. 设 2 1 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
第3页 | 共19页A. alog
2
2=1，\b>1，
2
0<0.40.3 <0.40 =1，\00,b>0)的右焦点与抛物线y2 =2px(p>0)的焦点重合，
a2 b2
第5页 | 共19页抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若
CD = 2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设公共焦点为 c,0 ，进而可得准线为x=-c，代入双曲线及渐近线方程，结合
1
线段长度比值可得a2 = c2，再由双曲线离心率公式即可得解.
2
x2 y2
【详解】设双曲线 - =1(a>0,b>0)与抛物线y2 =2px(p>0)的公共焦点为 c,0 ，
a2 b2
则抛物线y2 =2px(p>0)的准线为x=-c，
c2 y2 b2 2b2
令x=-c，则 - =1，解得y =± ，所以 AB = ,
a2 b2 a a
b 2bc
又因为双曲线的渐近线方程为y =± x，所以 CD = ，
a a
2bc 2 2b2 1
所以 = ，即c= 2b，所以a2 =c2 -b2 = c2，
a a 2
c
所以双曲线的离心率e= = 2.
a
故选：A.
9.
ìcos(2x-2a). x2时，令 f(a)=a2 -2a(a+1)+a2 +5=-2a+5³0，则2 时， f x 有1个零点.
2
综上，要使 f(x)在区间(0,+¥)内恰有6个零点，则应满足
ì7 9 ì9 11
ï îa<2
ïî 2 ïî 2
æ 9ù æ5 11ù
则可解得a的取值范围是ç2, ú Èç , ú.
è 4û è2 4û
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x0 , b>0，则 + +b的最小值为____________．
a b2
【答案】2 2
【解析】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 a>0 , b>0，
Q
1 a 1 a 2 2
\ + +b³2 × +b= +b³2 ×b =2 2，
a b2 a b2 b b
1 a 2
当且仅当 = 且 =b，即a = b = 2时等号成立，
a b2 b
1 a
所以 + +b的最小值为2 2.
a b2
故答案为：2 2.
14.
甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一
5 1
方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次
6 5
活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概
率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
2 20
【答案】 ①. ②.
3 27
【解析】
【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少
获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
5 4 2
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ´ = ；
6 5 3
第9页 | 共19页2 3
æ2ö 1 æ2ö 20
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C2´
ç ÷
´ +
ç ÷
= .
3 è3ø 3 è3ø 27
2 20
故答案为： ； .
3 27
15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE ^ AB且交AB于点E．
uuur uuur uuur uuur uuur
DF//AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为____________；(DE+DF)×DA的最小值
为____________．
11
【答案】 ①. 1 ②.
20
【解析】
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
【分析】设BE = x，由(2BE+DF)2 =4BE +4BE×DF +DF 可求出；将
( u D uu E r + u D uu F r )× u D uu A r 化为关于x的关系式即可求出最值.
æ 1ö
【详解】设BE = x，xÎ ç 0, ÷， QV ABC为边长为1的等边三角形，DE ^ AB，
è 2ø
\ÐBDE =30o,BD=2x,DE = 3x,DC =1-2x，
Q DF//AB，\ V DFC 为边长为1-2x的等边三角形，DE^DF，
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
\(2BE+DF)2 =4BE +4BE×DF +DF =4x2 +4x(1-2x)´cos0o +(1-2x)2 =1，
uuur uuur
\|2BE+DF |=1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
(DE+DF)×DA=(DE+DF)×(DE+EA)= DE +DF×EA
Q
2
æ 3 ö 11
=( 3x)2 +(1-2x)´(1-x)=5x2 -3x+1=5 x- + ，
ç ÷
è 10ø 20
3 11
uuur uuur uuur
所以当x= 时，(DE+DF)×DA的最小值为 .
10 20
11
故答案为：1； .
20
第10页 | 共19页三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成
演算步骤．
16. 在 V ABC ，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知
sin A:sinB:sinC =2:1: 2，b= 2 ．
（I）求a的值；
（II）求cosC 的值；
æ ö
（III）求sin ç 2C- ÷的值．
è 6 ø
3 21-1
【答案】（I）2 2；（II）（III）
16
【解析】
【分析】（I）由正弦定理可得a:b:c=2:1: 2，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为sin A:sinB:sinC =2:1: 2，由正弦定理可得a:b:c=2:1: 2，
b= 2，\a =2 2,c=2；
Q
a2 +b2 -c2 8+2-4 3
（II）由余弦定理可得cosC = = = ；
2ab 2´2 2´ 2 4
3 7
（III） Q cosC = ，\sinC = 1-cos2C = ，
4 4
7 3 3 7 9 1
\sin2C =2sinCcosC =2´ ´ = ，cos2C =2cos2C-1=2´ -1= ，
4 4 8 16 8
第11页 | 共19页æ ö 3 7 3 1 1 3 21-1
所以sin ç 2C- ÷ =sin2Ccos -cos2Csin = ´ - ´ = .
è 6 ø 6 6 8 2 8 2 16
17.
如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点
1 1 1 1
．
（I）求证：DF //平面AEC ；
1 1 1
（II）求直线AC 与平面AEC 所成角的正弦值．
1 1 1
（III）求二面角A-AC -E的正弦值．
1 1
3 1
【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III）
.
9 3
【解析】
uuuur ur
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出DF 及平面AEC 的一个法向量m，证明
1 1 1
uuuur ur
DF ^m，即可得证；
1
uuuur ur uuuur
（II）求出AC ，由sinq= cos m,AC 运算即可得解；
1 1
uuur ur
uuur ur DB×m
（III）求得平面AAC 的一个法向量 u D uu B r ，由 cos DB,m = uuur ur 结合同角三角函数的
1 1 DB × m
平方关系即可得解.
【详解】（I）以A为原点，AB,AD,AA分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，
1
第12页 | 共19页则A0,0,0 ,A 0,0,2 ,B2,0,0 ,C2,2,0 ,D0,2,0 ,C 2,2,2 ,D 0,2,2 ，
1 1 1
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E2,1,0 ，F1,2,0
，
uuuur uuuur uuur
所以DF =1,0,-2 ,AC =2,2,0 ,AE =2,1,-2 ,
1 1 1 1
ur
设平面AEC 的一个法向量为m=x ,y ,z ，
1 1 1 1 1
ur uuuur
ì ïm×AC =2x +2y =0
ur
则í 1 1 1 1 ，令x =2，则m=2,-2,1，
ur uuur 1
îïm×AE =2x + y -2z =0
1 1 1 1
uuuur ur uuuur ur
因为DF×m=2-2=0，所以DF ^m，
1 1
因为DF Ë平面AEC ，所以DF //平面AEC ；
1 1 1 1 1 1
uuuur
（II）由（1）得，AC =2,2,2，
1
设直线AC 与平面AEC 所成角为q，
1 1 1
ur uuuur
ur uuuur m×AC 2 3
则sinq= cos m,AC = 1 = = ；
1 m ur × u A u C uur 3´2 3 9
1
uuur
（III）由正方体的特征可得，平面AAC 的一个法向量为DB=2,-2,0，
1 1
uuur ur
uuur ur DB×m 8 2 2
cos DB,m = = =
则 uuur ur ，
DB × m 3´2 2 3
uuur ur 1
所以二面角A-AC -E的正弦值为 1-cos2 DB,m = .
1 1 3
18.
第13页 | 共19页x2 y2 2 5
已知椭圆 + =1a >b>0的右焦点为F ，上顶点为B，离心率为 ，且
a2 b2 5
BF = 5．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直
的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．
x2
【答案】（1） + y2 =1；（2）x- y+ 6 =0.
5
【解析】
【分析】（1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程；
x x
（2）设点M x ,y ，分析出直线l的方程为 0 + y y=1，求出点P的坐标，根据
0 0 5 0
MP//BF可得出k =k ，求出x 、y 的值，即可得出直线l的方程.
MP BF 0 0
【详解】（1）易知点Fc,0 、B0,b ，故 BF = c2 +b2 =a = 5，
c 2 5
因为椭圆的离心率为e= = ，故c=2，b= a2 -c2 =1，
a 5
x2
因此，椭圆的方程为 + y2 =1；
5
x2
（2）设点M x ,y 为椭圆 + y2 =1上一点，
0 0
5
x x
先证明直线MN 的方程为 0 + y y=1，
5 0
ìx x
0 + y y =1
ï ï 5 0
联立í ，消去y并整理得x2 -2x x+x2 =0，D=4x2 -4x2 =0，
x2 0 0 0 0
ï + y2 =1
ïî 5
x2 x x
因此，椭圆 + y2 =1在点M x ,y 处的切线方程为 0 + y y=1.
5 0 0 5 0
第14页 | 共19页1 æ 1 ö
在直线MN 的方程中，令x=0，可得y = ，由题意可知y >0，即点Nç0, ÷，
y 0 y
0 è 0 ø
b 1 1
直线BF 的斜率为k =- =- ，所以，直线PN 的方程为y =2x+ ，
BF c 2 y
0
1 æ 1 ö
在直线PN 的方程中，令y=0，可得x=- ，即点Pç- ,0÷，
2y 2y
0 è 0 ø
y 2y2 1
0 = 0 =-
因为MP//BF，则k =k ，即 1 2x y +1 2 ，整理可得x +5y 2 =0
MP BF x + 0 0 0 0
0 2y
0
，
x2 6 5 6
所以，x =-5y ，因为 0 + y2 =6y2 =1，\y >0，故y = ，x =- ，
0 0 5 0 0 0 0 6 0 6
6 6
所以，直线l的方程为- x+ y =1，即x- y+ 6 =0.
6 6
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为y=kx+m与椭圆方程联立，由D=0进行求解；
x2 y2 x x y y
（2）椭圆 + =1在其上一点 x ,y 的切线方程为 0 + 0 =1，再应用此方程时
a2 b2 0 0 a2 b2
x x y y x2 y2
，首先应证明直线 0 + 0 =1与椭圆 + =1相切.
a2 b2 a2 b2
19.
已知
a
是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
b
是公比大于0的等比数列，
n n
b =4,b -b =48．
1 3 2
第15页 | 共19页（I）求
a
和
b
的通项公式；
n n
1
（II）记c =b + ,nÎN*，
n 2n b
n
（i）证明 c2 -c 是等比数列；
n 2n
n a a
（ii）证明å k k+1 <2 2 nÎN*
c2 -c
k=1 k 2k
【答案】（I）a =2n-1,nÎN*，b =4n,nÎN*；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见
n n
解析.
【解析】
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得
a
的通项，由等比数列的通项公式运算
n
可得
b
的通项公式；
n
（II）（i）运算可得c2 -c =2×4n，结合等比数列的定义即可得证；
n 2n
a a 4n2 n a a 1 n k
（ii）放缩得 n n+1 < ，进而可得å k k+1 < å ，结合错位相减法即可得
c2 -c 2×22n c2 -c 2 2k-1
n 2n k=1 k 2k k=1
证.
【详解】（I）因为
a
是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
n
8´7
所以a +a +×××+a =8a + ´2=64，所以a =1，
1 2 8 1 2 1
所以a =a +2n-1=2n-1,nÎN*；
n 1
设等比数列
b 的公比为q,q>0
，
n
所以b -b =bq2 -bq=4 q2 -q =48，解得q=4（负值舍去），
3 2 1 1
所以b =bqn-1 =4n,nÎN*；
n 1
1 1
（II）（i）由题意，c =b + =42n + ，
n 2n b 4n
n
æ 1 ö 2 æ 1 ö
所以c2 -c =ç42n + ÷ -ç44n + ÷=2×4n，
n 2n è 4n ø è 42n ø
c2 -c 2×4n+1
所以c2 -c 0，且 n+1 2n+2 = =4，
n 2n c2 -c 2×4n
n 2n
第16页 | 共19页所以数列 c2 -c 是等比数列；
n 2n
a a 2n-12n+1 4n2 -1 4n2
（ii）由题意知， n n+1 = = < ，
c2 -c 2×4n 2×22n 2×22n
n 2n
a a 4n2 2n 1 n
所以 n n+1 < = = × ，
c2 -c 2×22n 2×2n 2 2n-1
n 2n
n a a 1 n k
所以å k k+1 < å ，
c2 -c 2 2k-1
k=1 k 2k k=1
n k 1 2 3 n
设T =å = + + +×××+ ，
n 2k-1 20 21 22 2n-1
k=1
1 1 2 3 n
则 T = + + +×××+ ，
2 n 21 22 23 2n
æ 1 ö
1×ç1- ÷
1 1 1 1 n è 2n ø n n+2
两式相减得 T =1+ + +×××+ - = - =2- ，
2 n 2 22 2n-1 2n 1 2n 2n
1-
2
n+2
所以T =4- ，
n 2n-1
n a a 1 n k 1 æ n+2ö
所以å k k+1 < å = ç4- ÷<2 2.
c2 -c 2 2k-1 2è 2n-1 ø
k=1 k 2k k=1
【点睛】关键点点睛：
n a a
最后一问考查数列不等式的证明，因为å k k+1 无法直接求解，应先放缩去除根号，再
c2 -c
k=1 k 2k
由错位相减法即可得证.
20. 已知a >0，函数 f(x)=ax-xex．
（I）求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程：
（II）证明 f(x)存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 f(x)£a+b对任意xÎR成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）y =(a-1)x,(a >0)；（II）证明见解析；（III） -e,+¥
【解析】
【分析】（I）求出 f x 在x=0处的导数，即切线斜率，求出 f 0 ，即可求出切线方程
；
第17页 | 共19页（II）令 f¢x=0，可得a=(x+1)ex，则可化为证明y =a与y = gx 仅有一个交点，
利用导数求出gx
的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令h(x)= x2 -x-1 ex,(x>-1)，题目等价于存在xÎ(-1,+¥)，使得h(x)£b，
即b³h(x) ，利用导数即可求出hx 的最小值.
min
【详解】（I） f¢(x)=a-(x+1)ex，则 f¢(0)=a-1，
又 f(0)=0，则切线方程为y =(a-1)x,(a >0)；
（II）令 f¢(x)=a-(x+1)ex =0，则a=(x+1)ex，
令g(x)=(x+1)ex，则g¢(x)=(x+2)ex，
当xÎ(-¥,-2)时，g¢(x)<0，gx 单调递减；当xÎ(-2,+¥)时，g¢(x)>0，gx
单调递增，
当x®-¥时，gx<0，g-1=0，当x®+¥时，gx>0，画出gx
大致图像
如下：
所以当a >0时，y =a与y = gx 仅有一个交点，令gm=a，则m>-1，且
f¢(m)=a-g(m)=0，
当xÎ(-¥,m)时，a> g(x)，则 f¢(x)>0， f x 单调递增，
当xÎm,+¥ 时，a< g(x)，则 f¢(x)<0， f x 单调递减，
第18页 | 共19页x =m为 f x 的极大值点，故 f(x)存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 f(x) = f(m)，此时a=(1+m)em,m>-1，
max
所以{f(x)-a} = f(m)-a = m2 -m-1 em,(m>-1)，
max
令h(x)= x2 -x-1 ex,(x>-1)，
若存在a，使得 f(x)£a+b对任意xÎR成立，等价于存在xÎ(-1,+¥)，使得h(x)£b，
即b³h(x) ，
min
h¢(x)= x2 +x-2 ex =(x-1)(x+2)ex，x>-1，
当xÎ(-1,1)时，h¢(x)<0，hx 单调递减，当xÎ(1,+¥)时，h¢(x)>0，hx
单调递
增，
所以h(x) =h(1)=-e，故b³-e，
min
所以实数b的取值范围
-e,+¥
.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y =a与y = gx 仅有一个交点；第
三问解题的关键是转化为存在xÎ(-1,+¥)，使得h(x)£b，即b³h(x) .
min
第19页 | 共19页
