六上数学阴影部分面积十六大专项9_小学全网线上同款资料_11号_6年级_六年级语文数学知识点汇总↓↓↓↓↓

六上数学阴影部分面积十六大专项 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm）（取3.14） 【对应练习 1】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习 2】 如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径 为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习 3】 求阴影部分的周长。（单位：dm)【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4 分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 【对应练习 1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 【对应练习 2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长 的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 【对应练习 3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为 3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m) 【对应练习 1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 求下面各圆的周长。（单位：cm)【典型例题】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm)【典型例题 1】基础型。 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【典型例题 2】提高型。 如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习 2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m)【典型例题】 已知正方形的边长是8cm，计算图中阴影部分的面积。 【对应练习 1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【对应练习 2】 如图，两个相连的正方形的边长是8厘米和3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留） 【对应练习 3】 如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【对应练习】 求图中涂色部分的面积。 【典型例题 1】 三个扇形的半径均为6cm，π取3.14，求下图中阴影部分的面积。 【典型例题 2】 求如图中阴影部分的面积。（单位：cm)【对应练习 1】 如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 如图，三个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 3】 如图，图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。 【对应练习 4】 计算阴影部分面积。（单位：cm)（取3.14）【典型例题】 求阴影部分面积。（单位：厘米） 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 求图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm)【典型例题】 如图，大圆半径R=8厘米，小圆的半径r=4厘米．求阴影部分的面积。 【对应练习】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【典型例题 1】圆与正方形的等积转化。 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。 【对应练习 1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多 少平方米？【对应练习 2】 已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 【对应练习 3】 如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 【对应练习 4】 如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。 【典型例题 2】圆与长方形的等积转化。 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是（ )cm。 【对应练习 1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？【对应练习 2】 如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少 厘米？ 【对应练习 3】 如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。 【典型例题 3】圆与三角形的等积转化。 如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【对应练习 1】 下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部 分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 图中，三角形AOC的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。【对应练习 3】 如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。 【典型例题】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的 面积是多少？（单位：厘米） 【对应练习 1】 求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 【对应练习 2】 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm)【典型例题】 求下面阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 2】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AB AC8cm，弧AD是以CA为半径的圆的一部分， C45，求图中阴影部分的面积。 【对应练习 3】 下图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径 画两个半圆，求阴影部分的面积。（π取3.14）【典型例题 1】 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用 差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 【典型例题 2】 如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO 的边OA的长。 【典型例题 3】 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值 为3） 【对应练习 1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大11.25cm2。求BC的长。【对应练习 2】 如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积 大37平方厘米，求BC的长。 【对应练习 3】 如图，已知：S 比S 多28平方厘米，求BC长多少厘米？ 1 2 【对应练习 4】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求 BC的长度。 【典型例题】 下图中阴影部分的面积是8dm²，图中圆环的面积是（ )dm²。【对应练习 1】 图中阴影部分的面积是15平方厘米，求环形的面积。 【对应练习 2】 下图中阴影部分的面积是120平方厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 3】 如图，阴影部分的面积是60平方厘米，求环形的面积。 【典型例题 1】“基础型”。 在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米，这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？ 【典型例题 2】“拓展型”其一。 草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见 右图），这只羊能够活动的范围有多大？【典型例题 3】“拓展型”其二。 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只 羊能吃到草的面积最多是多少？ 【对应练习 1】 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子 长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 【对应练习 2】 一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的 绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 【对应练习 3】 一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一只羊，栓羊的 绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？【方法点拨】 不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来， 注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm）（取3.14） 解析： 大半圆弧：3.14×12÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 小半圆弧：3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（cm） 18.84＋12.56＋（12－8） ＝31.4＋4 ＝35.4（cm） 【对应练习 1】 求阴影部分的周长。（单位：cm)解析： 3.14×(3+5)÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2 =12.56+4.71+7.85 =25.12(cm) 【对应练习 2】 如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径 为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 解析： 圆O的直径：3×2＋1×2＝8（厘米）； 圆A的直径：3×2＝6（厘米）； 圆B的直径：1×2＝2（厘米） 阴影部分的周长：3.14×8÷2＋3.14×6÷2＋3.14×2÷2 ＝12.56＋9.42＋3.14 ＝25.12（厘米） 【对应练习 3】 求阴影部分的周长。（单位：dm) 解析： 24×2＋16＋3.14×16÷2 ＝48＋16＋25.12 ＝64＋25.12 ＝89.12（dm）【方法点拨】 不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来， 注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4 分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 解析： （4×3＋3.14×4）×2 ＝（12＋12.56）×2 ＝24.56×2 ＝49.12（分米） 答：至少需要49.12分米的铁丝。 【对应练习 1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 解析： 3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30＝77.1（cm） 答：每周需要绳子77.1厘米。 【对应练习 2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长 的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 解析： 6×4＋3.14×6＋15 ＝24＋18.84＋15 ＝57.84（厘米） 答：这根绳子长57.84厘米。 【对应练习 3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为 3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【答案】（1）57.42，理由见详解 （2）（9.42＋12n） 1 【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个 的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算 4 1 出一个圆的周长，其次在两个 圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为 4 一个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度；第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4 条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度 第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为：一 个圆的周长＋12条直径的长度； 由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径， 第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为： 一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长 为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。 【详解】（1）理由： 第①组：3×3.14＋12×1 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 第②组 3×3.14＋12×2 ＝9.42＋24 ＝33.42（厘米） 第③组 3×3.14＋12×3 ＝9.42＋36 ＝45.42（厘米） 第④组 3×3.14＋12×4 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） （2）3×3.14＋3×4×n ＝（9.42＋12n）厘米【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 【方法点拨】 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式直接求出阴影部分的面积，是最 为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关键。 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m) 【答案】12.56平方米；12.56米 【分析】根据题意可知，圆的直径为4米，根据圆的周长公式：C＝d ，代入数据求出圆的周 长；圆的半径为（4÷2）米，根据圆的面积公式：S＝r2，代入数据求出圆的面积。 【详解】4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×4＝12.56（米） 即圆的面积是12.56平方米，圆的周长是12.56米。 【对应练习 1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】20.096厘米；32.1536平方厘米； 28.26厘米；63.585平方厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2r或C＝d ，圆的面积公式：S＝r2，已知图1圆的半径 为3.2厘米，图2的直径为9厘米，半径为（9÷2）厘米，代入到公式中，分别求出圆的周长和面积。 【详解】2×3.14×3.2 ＝6.28×3.2 ＝20.096（厘米） 3.14×3.22 ＝3.14×10.24 ＝32.1536（平方厘米） 图1中圆的周长是20.096厘米，面积是32.1536平方厘米。 3.14×9＝28.26（厘米） 3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方厘米） 图2中圆的周长是28.26厘米，面积是63.585平方厘米。 【对应练习 2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm) 【答案】左图：周长是31.4厘米；面积是78.5平方厘米 右图：周长是18.84厘米；面积是28.26平方厘米 【分析】（1）已知直径，可根据圆的周长C=πd求出圆的周长；根据圆的面积 S （d2）2求 出圆的面积。 （2）已知半径，可根据圆的周长C 2r求出圆的周长；根据圆的面积S r2求出圆的面积。 【详解】左图： 周长：3.14×10＝31.4（厘米）面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 右图： 周长：2×3.14×3＝18.84（厘米） 面积：3.14×33 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【对应练习 3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 【答案】18.84cm；18.84cm；31.4cm 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr、C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】（1）2×3.14×3＝18.84（cm） 圆的周长是18.84cm。 （2）3.14×6＝18.84（cm） 圆的周长是18.84cm。 （3）2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的周长是31.4cm。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、 正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的 面积。【典型例题】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】63.7cm；218.5cm2 1 【分析】组合图形的周长＝长方形周长＋ 圆的周长，长方形周长＝（长＋宽）×2，圆的周 4 1 长＝2πr；组合图形的面积＝长方形面积＋ 圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝π 4 r2，据此列式计算。 1 【详解】（14＋10）×2＋2×3.14×10× 4 ＝24×2＋15.7 ＝48＋15.7 ＝63.7（cm） 1 14×10＋3.14×102× 4 1 ＝140＋3.14×100× 4 ＝140＋78.5 ＝218.5（cm2） 【对应练习 1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm) 【答案】20.56cm；28.56cm2 【分析】组合图形的周长＝圆的周长＋正方形边长×2，圆的周长＝πd；组合图形的面积＝圆的面积＋正方形面积，圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长，据此列式计算。 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×（4÷2）2＋4×4 ＝3.14×22＋16 ＝3.14×4＋16 ＝12.56＋16 ＝28.56（cm2） 【对应练习 2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】周长：245.6厘米；面积：3656平方厘米 【分析】组合图形的周长是由一个直径为40厘米的圆的周长和两条长为60厘米的长组合而成， 利用圆的周长公式求出这个圆的周长，再加上（60×2）厘米，即可求出组合图形的周长；组 合图形的面积是由一个半径为（40÷2）厘米的圆的面积和一个长为60厘米，宽为40厘米的 长方形的面积组合而成，分别利用圆的面积和长方形的面积公式求出这两个图形的面积，再相 加即可求出组合图形的面积。 【详解】3.14×40＋60×2 ＝125.6＋120 ＝245.6（厘米） 3.14×（40÷2）2＋60×40 ＝3.14×202＋2400 ＝3.14×400＋2400 ＝1256＋2400 ＝3656（平方厘米）即图形的周长是245.6厘米，面积是3656平方厘米。 【对应练习 3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】35.7厘米；89.25平方厘米 【分析】通过观察可知本题的图形可以分成一个半圆形和一个长方形，计算周长时，计算出半 径为5厘米的一个圆周长的一半，再加上长方形的一个长和两个宽，计算面积时，计算出一个 半圆的面积再加上一个长方形的面积即可。 【详解】周长：3.14×2×5÷2＋5×4 ＝15.7＋20 ＝35.7（厘米） 面积：3.14×52÷2＋2×5×5 ＝3.14×25÷2＋2×5×5 ＝39.25＋50 ＝89.25（平方厘米） 图形的周长为35.7厘米；面积为89.25平方厘米。 【方法点拨】 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进 行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总 的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题 1】基础型。 求图中阴影部分的面积。（单位：cm）解析： 3.14×82÷2﹣（8+8）×8÷2 =3.14×64÷2﹣16×8÷2 =100.48﹣64 =36.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是36.48平方厘米。 【典型例题 2】提高型。 如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。 解析： 观察图形可知，直角三角形也是等腰三角形，所以BC＝AC＝半圆的直径d＝2r；根据“三角形 的面积＝底×高÷2”可求出半径的平方，代入圆的面积公式S＝πr2，再除以2，即半圆的面 积；根据阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形ABC面积的一半，代入数据计算即可。 解：设半圆的半径为r厘米。 2r×2r÷2＝12 4r2÷2＝12 2r2＝12 r2＝12÷2 r2＝6 阴影部分的面积： 3.14×6÷2－12÷2 ＝18.84÷2－6 ＝9.42－6 ＝3.42（平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.42平方厘米。【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 8÷2=4（厘米） （8+12）×4÷2﹣3.14×42÷2 =40﹣25.12 =14.88（平方厘米） 答：阴影部分的面积是14.88平方厘米。 【对应练习 2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 解析： 1 ×3.14× [（2＋4）÷2]2－1 ×3.14×（2÷2）2－1 ×3.14×（4÷2）2 2 2 2 ＝1 ×3.14×9－1 ×3.14×1－1 ×3.14×4 2 2 2 ＝1 ×3.14×（9－1－4） 2 ＝1 ×3.14×4 2 ＝6.28（cm2） 【对应练习 3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m)解析： 6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（m2） 【方法点拨】 混合型图形处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再 相加或相减。 【典型例题】 已知正方形的边长是8cm，计算图中阴影部分的面积。 【答案】38.88cm2 【详解】略 【对应练习 1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。【答案】20.56平方厘米 【分析】如图，将阴影部分进行拆分，先计算弓形面积，再计算三角形面积，相加的阴影部分 的面积。 1 【详解】如图所示，弓形面积可以用 圆的面积减去三角形面积，右图三角形面积直接利用底 4 和高来计算； 824（厘米） 1 1 1 3.1442 42 48 4 2 2 12.56816 20.56（平方厘米） 【对应练习 2】 如图，两个相连的正方形的边长是8厘米和3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留） 15 【答案】（ 9）cm2 2【分析】阴影部分包括大正方形里面的和小正方形里面的两部分。其中，大正方形里面的阴影 1 部分等于半径为8厘米的 扇形面积减去空白小扇形（半径为8－3＝5厘米）的面积，小正方 4 1 形里面的阴影部分等于正方形的面积减去半径为3厘米的 扇形面积，最后把两部分阴影加起 4 来即整个阴影部分的面积。根据圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长求出各部分的面 积。 【详解】π×82÷4－π×（8－3）2÷4 25 ＝16π－ π 4 39 ＝ π（平方厘米） 4 3×3－π×32÷4 9 ＝9－ π（平方厘米） 4 39 9 π＋9－ π 4 4 15 ＝（ 9）cm2 2 【对应练习 3】 如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。 【答案】100平方厘米 【分析】由图意可知：阴影部分的面积＝半径为10厘米的圆面积的 ﹣（半径为AC的 圆的 面积﹣三角形ABC的面积），又因AB＝20厘米，OC＝10厘米，从而可以依据三角形ABC 的面 积求出AC的长度，进而求得阴影部分的面积． 【详解】三角形ABC的面积为：所以AC2÷2＝AB×OC÷2＝10×2×10÷2＝100（平方厘米） 由上面计算可得：AC2＝100×2＝200， 所以阴影部分的面积是：3.14×10×10÷2﹣（ ×3.14×200﹣100） ＝157﹣（157﹣100）＝157﹣57 ＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积与扇形的面积公式的灵活应用，关键是根据三角形ABC的面积得出 AC2的值。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求 解的新图形。 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】34.26cm；14.13cm2 【分析】结合图示可知， 1 ①阴影部分周长由6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长的 ，故可列 4 式为：663.1446； ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转180°，恰好与右边的合为半圆，即阴影部分 面积就是半圆的面积，故可列式为：3.14(62)22。 【详解】663.1446 618.8446 628.26 34.26(cm)3.14(62)22 3.1492 14.13(cm2) 【对应练习】 求图中涂色部分的面积。 【答案】0.785 【分析】图是由两个边长为1的正方形拼在一起，此图中的阴影部分可以通过切割旋转的方法 1 将其拼成一个 圆（即把左边正方形的阴影部分旋转到右边正方形的下部分），然后根据圆的 4 面积公式 S r2，求解即可。 1 【详解】3.14×12× ＝0.785 4 【点睛】本题主要是对平面图形的综合考查，一定要拥有转化的思想，并且对旋转、平移、等 积变形等方法要理解以及灵活应用。 【方法点拨】 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。 【典型例题 1】 三个扇形的半径均为6cm，π取3.14，求下图中阴影部分的面积。 解析：3.14×62÷2=56.52（cm2）。 【典型例题 2】 求如图中阴影部分的面积。（单位：cm)解析： 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（平方厘米） 【对应练习 1】 如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析：四边形的内角和为360°，四个扇形正好可以拼成一个圆。 S阴影=S梯形-S圆 （4+7）×4÷2-3.14×（4÷2）2=22-12.56=9.44（平方厘米） 【对应练习 2】 如图，三个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析：3.14×32÷2=14.13（平方厘米） 【对应练习 3】 如图，图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。解析：50.24÷3.14÷2=8（厘米） 3.14×82=200.96（平方厘米） 【对应练习 4】 计算阴影部分面积。（单位：cm)（取3.14） 解析： 1 3.14×42× 4 1 ＝3.14×16× 4 ＝12.56（平方厘米） 【方法点拨】 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为一个面积大小 不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 【典型例题】 求阴影部分面积。（单位：厘米）【答案】25平方厘米 【分析】 如上图，用割补法把左边的小阴影移补到右边后，阴影部分的面积等于等腰直角三角形面积的 一半，根据三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】10×10÷2÷2 ＝100÷2÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。 【答案】48 【分析】连接半圆中右边部分的两条半径，左边阴影部分为A，右边小空白处为B，如图； ，观察图形可知，阴影部分化为一个底是8，高是6的平行四边形， 根据平行四边形面积公式：底×高，代入数据，即可解答。 【详解】根据分析可知，阴影部分面积： 8×6＝48 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。（单位：cm)【答案】50cm2 【分析】 如上图，画出正方形的两条对角线，相交于O点，将1所在部分绕点O 逆时针旋转到3的位置， 将2所在的部分绕点O顺时针旋转到4的位置，可以发现，阴影部分的面积就是正方形面积的 一半。据此解答。 【详解】10102 ＝1002 ＝50(cm2) 阴影部分的面积是50cm2 【对应练习 3】 求图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm) 【答案】阴影部分周长为18.84厘米；阴影部分的面积为2.28平方厘米 【详解】试题分析：（1）阴影部分的周长可看作由下面几部分组成：大圆周长的一半、中间 小圆的周长、下面两个小半圆周长的一半，并且小圆直径和两个小半圆直径都相等，根据圆的 周长公式解答即可； （2）求阴影部分的面积可作几条辅助线，如图：将阴影1、2、3、4分别移到空白1、2、3、4，处，那么用大半圆的面积减去大三角形的面积即阴影部分的面积，据此解答． 解：（1）阴影部分周长：3.14×4÷2+3.14×（4÷2）×2 =6.28+12.56 =18.84（厘米） （2）阴影部分的面积：3.14×（4÷2）2÷2﹣4×（4÷2）÷2 =6.28﹣4 =2.28（平方厘米） 【方法点拨】 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使之变为一个面 积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法求出阴影面积。 【典型例题】 如图，大圆半径R=8厘米，小圆的半径r=4厘米．求阴影部分的面积。 【答案】37.68平方厘米 【详解】试题分析：如图所示，阴影①和空白①的面积相等，阴影②和空白②的面积相等，阴 影③和空白③的面积相等，阴影④和空白④的面积相等，于是将4个阴影部分移到与其面积相 等的空白部分，于是可以得出图中所有的阴影的面积和就等于大圆面积的 减去小圆面积的 ， 大小圆的半径已知，利用圆的面积公式即可求解．解： ×3.14×（82﹣42） =0.785×（64﹣16） =0.785×48 =37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 点评：解答此题的关键是利用“动态”的眼光，将阴影部分移到与之面积相等的空白部分，从 而容易求出阴影部分的总面积。 【对应练习】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】4.28平方厘米 【分析】通过对称和平移，如图 ， 阴影部分的面积＝半圆面积－三角形面积，据 此列式计算。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×2²÷2－2×1÷2×2 ＝6.28－2＝4.28（平方厘米） 【方法点拨】 等积转化法，即通过平面图形之间的等积变换，化难为易，求出阴影部分的面积，要注意分析 长方形、正方形、三角形面积公式与圆的面积的共同特点，以达到合理转化。 【典型例题 1】圆与正方形的等积转化。 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。 解析： 3.14×10＝31.4（平方厘米） 【对应练习 1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多 少平方米？ 解析： 3 3.14225 4 706.50.75 =529.875（m2） 答：草坪的面积是529.875平方米。 【对应练习 2】已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 解析：157 【对应练习 3】 如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 解析：28.26 【对应练习 4】 如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。 解析：50.24 【典型例题 2】圆与长方形的等积转化。 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是（ )cm。 解析： 长方形的长：3×3.14＝9.42（cm） 【对应练习 1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？解析： 2×3.14×6÷2 ＝3.14×6 ＝18.84（厘米） （18.84＋6）×2 ＝24.84×2 ＝49.68（厘米） 答：长方形的周长是49.68平方厘米。 【对应练习 2】 如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少 厘米？ 解析： 阴影的周长=πr+πr-r+r+（18.84÷4）=2πr+4.71=18.84+4.71=23.55（厘米） 答：阴影部分的周长是23.55厘米 【对应练习 3】 如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。 解析： 面积： ×3.14×32＝21.195（平方厘米）周长：3.14×32÷3＝9.42（厘米） 9．42×2＋ ×3.14×3×2＝23.55（厘米） 【典型例题 3】圆与三角形的等积转化。 如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 解析： 解：设圆的半径是r厘米， 所以，1 r2=12，则：r2=24，把它代入圆的面积公式可得： 2 3.14×24=75.36（平方厘米） 答：圆的面积是75.36平方厘米。 【对应练习 1】 下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部 分的面积是多少平方厘米？ 解析： 三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝r²，根据圆的面积＝πr²，求出圆的面积，圆的面 积－三角形面积＝空白部分面积，据此分析。 3.14×（20×2）－20 ＝3.14×40－20 ＝125.6－20 ＝105.6（平方厘米） 答：图中空白部分的面积是105.6平方厘米。 【对应练习 2】图中，三角形AOC的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。 解析： 半径的平方：8216（平方厘米） 圆的面积：163.1450.24（平方厘米） 3 涂色部分的面积：50.24 37.68（平方厘米） 4 答：涂色部分的面积是37.68平方厘米。 【对应练习 3】 如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。 解析： S ＝1 r2 三角形 2 18＝1 r2 2 r2＝36 1 1 S ＝r2－ πr2＝36－ ×3.14×36＝7.74（平方厘米） 阴影 4 4 【方法点拨】 辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的方法解决。 【典型例题】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米） 解析： 先作辅助线，如图所示。即可得出：阴影部分的面积＝（直径为10厘米的半圆的面积＋边长 为10厘米的正方形的面积－等腰三角形AED的面积）÷2。圆的面积＝πr2，正方形的面积＝ 边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2。代入数值计算。 10÷2＝5（厘米） 3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米） 10×10＝100（平方厘米） 10＋5＝15（厘米） 10×15÷2＝75（平方厘米） 39.25＋100－75＝64.25（平方厘米） 64.25÷2＝32.125（平方厘米） 答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。 【对应练习 1】 求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14）解析： 加两条辅助线，如图： 阴影部分的周长为： 3.14×（4÷2）×2＋3.14×4÷2 ＝3.14×2×2＋3.14×4÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（厘米） 阴影部分的面积为： [3.14×（4÷2）2÷4－（4÷2）×（4÷2）÷2]×2 ＝[3.14×4÷4－2×2÷2]×2 ＝[3.14－2]×2 ＝1.14×2 ＝2.28（平方厘米） 【对应练习 2】 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 【答案】22.26平方厘米1 【分析】连接正方形的对角线，则阴影部分的面积等于半径为6厘米的圆的面积的 减去底和 4 高都为6厘米的三角形的面积，再加上底为4厘米，高为6厘米的三角形的面积即可，根据圆 的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。 【详解】如图： 1 3.14×62× －6×6÷2＋4×6÷2 4 1 ＝3.14×62× －36÷2＋24÷2 4 1 ＝3.14×36× －36÷2＋24÷2 4 ＝28.26－18＋12 ＝10.26＋12 ＝22.26（平方厘米） 【方法点拨】 容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重 叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那 面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题】 求下面阴影部分的面积。（单位：cm)【答案】57cm2 【分析】阴影部分的面积＝半圆面积－三角形面积，半圆直径＝直角三角形斜边，通过两直角 边求出三角形面积，再通过三角形面积求出斜边长，即可确定半圆的半径，据此列式计算。 【详解】 10÷2＝5 3.14×52÷2－8×6÷2 ＝3.14×25÷2－24 ＝39.25－24 ＝15.25 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm) 【答案】15.4平方厘米 【分析】由题意可知：空白三角形为直角三角形，已知两条直角边和斜边的长，于是可以求出 斜边上的高，也就是梯形的高。再根据“阴影部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积” 即可求解。 【详解】 6×8÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） （10＋15）×4.8÷2－6×8÷2 ＝25×4.8÷2－48÷2 ＝120÷2－24 ＝60－24 ＝36（平方厘米） 【对应练习 2】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AB AC8cm，弧AD是以CA为半径的圆的一部分， C45，求图中阴影部分的面积。 【答案】18.24平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积有一部分是重合的，阴影部分的面积＝直径 8厘米的半圆 面积＋弧AD半径CA的扇形面积－三角形面积。 45 【详解】3.14×（8÷2）²÷2＋3.14×8²× －8×8÷2 360 1 ＝3.14×16÷2＋3.14×64× －32 8 ＝25.12＋25.12－32 ＝18.24（平方厘米） 【对应练习 3】 下图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径 画两个半圆，求阴影部分的面积。（π取3.14）【答案】17.325平方厘米 【分析】由题意可知：阴影部分的面积＝大圆的面积＋小半圆的面积×2（小圆的面积）－三 角形的面积，大圆的直径＝6厘米，两个小圆的直径之和也是6厘米，三角形的底和高都是6 厘米，据此代入数据即可求解。 【详解】根据分析可得： 3.14×（6÷2）2＋3.14×（6÷2÷2）2－6×6×1 2 ＝3.14×32＋3.14×1.52－18 ＝3.14×9＋3.14×2.25－18 ＝28.26＋7.065－18 ＝17.325（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是17.325平方厘米。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反 之亦可。 【典型例题 1】 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用 差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？1 解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于 圆-三角形。 4 1 3.14×42× -4×4÷2=4.56（平方厘米） 4 【典型例题 2】 如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO 的边OA的长。 解析： 根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的 面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平 方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，然后除以2，即半圆的面积，再加上1.25，求出 直角三角形ABO的面积；已知直角三角形ABO的面积和高，根据三角形的底＝面积×2÷高， 即可求出直角三角形ABO的边OA的长。 半圆的面积： 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 直角三角形的面积： 39.25＋1.25＝40.5（平方厘米） OA的长： 40.5×2÷10 ＝81÷10 ＝8.1（厘米） 答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。【典型例题 3】 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值 为3） 解析： 已知甲乙两个阴影部分面积相等，S ＝S ，根据等式的性质有S ＋S ＝S ＋S ，即 甲 乙 甲 空白部分 乙 空白部分 S ＝S ；又知直径BC＝8厘米，可先结合圆的面积公式求得半圆的面积，因为BC是三 直角三角形 半圆 角形的底，AB是三角形的高，再逆用三角形的面积公式，求得AB的长。 S ＝3×（8÷2）2÷2 半圆 ＝3×16÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） S ＝24（平方厘米） 直角三角形 24×2÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 答：AB的长是6厘米。 【对应练习 1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大11.25cm2。求BC的长。 解析： 根据分析，列式如下：[3.14×（10÷2）2÷2－11.25]×2÷10 ＝[39.25－11.25]×2÷10 ＝28×2÷10 ＝5.6（厘米） 答：BC的长是5.6厘米。 【对应练习 2】 如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积 大37平方厘米，求BC的长。 解析： 20÷2＝10（厘米） 3.14×102÷2－37 ＝157－37 ＝120（平方厘米） 120×2÷20 ＝240÷20 ＝12（厘米） 答：求BC的长是12厘米。 【对应练习 3】 如图，已知：S 比S 多28平方厘米，求BC长多少厘米？ 1 2 解析：解：设BC长x厘米。 （40÷2）²×3.14÷2－40x÷2＝28 628－20x＝28 20x＝600 x＝30； 答：BC长30厘米。 【对应练习 4】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求 BC的长度。 解：设BC长x厘米。 20x÷2－3.14×（20÷2）²÷2＝23 10x－3.14×100÷2＝23 10x－157＋157＝23＋157 10x÷10＝180÷10 x＝18 【方法点拨】 圆环的面积：S=πR2-πr2。 【典型例题】 下图中阴影部分的面积是8dm²，图中圆环的面积是（ )dm²。解析： 3.14×8＝25.12（dm²） 【对应练习 1】 图中阴影部分的面积是15平方厘米，求环形的面积。 解析： 3.14×15＝47.1（平方厘米） 答：圆环的面积是47.1平方厘米。 【对应练习 2】 下图中阴影部分的面积是120平方厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 解析： 假设大圆半径为R，小圆半径为r。 R2－r2＝120 圆环的面积：3.14×120＝376.8（平方厘米） 答：圆环的面积是376.8平方厘米。 【对应练习 3】 如图，阴影部分的面积是60平方厘米，求环形的面积。解析： 设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则图中大正方形的边长为R，小正方形的边长为r，因为 阴影部分的面积＝R2－r2＝60平方厘米，所以圆环的面积＝大圆的面积－圆的面积： 3.14×60＝188.4（平方厘米） 所以，环形面积是188.4平方厘米。 【方法点拨】 羊吃草问题难度极大，该题型关键在于画出羊吃草的范围图，部分较复杂的问题是由多个不同 部分的图形组成，需要分开计算面积。 【典型例题 1】“基础型”。 在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米，这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？ 解析： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 答：这只羊最多可以吃到的草地的面积是12.56平方米。 【典型例题 2】“拓展型”其一。 草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见 右图），这只羊能够活动的范围有多大？解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四分之三个半径 为30米的圆的面积、四分之一个半径为20米的圆、四分之一个半径为10米的圆的面积组成。 【典型例题 3】“拓展型”其二。 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只 羊能吃到草的面积最多是多少？ 解析： 先画出羊吃草的范围（如图），可见羊吃草的面积是由三部分组成的：一部分是半径为4m的 1 1 圆的 ；另两部分都是半径为2m的圆的 ，这两部分合起来正好是半径为2m的半圆。 4 4 3.14×42÷4＋3.14×22÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（m2） 答：这只羊能吃到草的面积最多是18.84平方米。 【对应练习 1】 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子 长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？解析： 600厘米=6米 20×2=40（米） 20-6=14（米） 14×2=28（米） 20-6-6=8（米） 8×2=16（米） 20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米） ×3.14×(40＋28＋16＋4)＝ ×3.14×88＝69.08（米） 【对应练习 2】 一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的 绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 解析： 1 根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 －正方形面积的一半）×2， 4 其中圆的半径是3米，据此解答。 1 （3.14×32× －3×3÷2）×2 4 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 答：这两只羊都能吃到的草的面积有5.13平方米。 【对应练习 3】 一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 解析： 3.14×4×4÷2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 答：两只羊都能吃到草的草地的面积是9.12平方米。