文档内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案(A 卷)
选择题答案
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C
5．D 6．B 7．C 8．C
9．A 10．A 11．D 12．B
非选择题答案
二、填空题
13．1 14． 15．2 16．
三、解答题
17．解：（1）设 的公比为 ，由题设得 即 .
所以 解得 （舍去）， .
故 的公比为 .
（2）设 为 的前n项和.由（1）及题设可得， .所以
，
.
可得
所以 .18．解：（1）设 ，由题设可得 ，
.
因此 ，从而 .
又 ，故 .
所以 平面 .
（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的
空间直角坐标系 .
由题设可得 .
所以 .
设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 .
由（1）知 是平面 的一个法向量，记 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为 .
19．解：（1）甲连胜四场的概率为 ．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；
乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 ．
所以需要进行第五场比赛的概率为 ．
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ．
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果
有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， ．
因此丙最终获胜的概率为 ．
20．解：（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则 ， =（a，–1）.由 =8得a2–1=8，即a=3.所以E的方程为 +y2=1．
（2）设C（x，y），D（x，y），P（6，t）.
1 1 2 2
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30．所以f（x）在
（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2） 等价于 .设函数 ，则
.
（i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单
调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若 0<2a+1<2，即 ，则当 x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当
x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递
增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ .
所以当 时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即 ，则g(x)≤ .
由于 ，故由（ii）可得 ≤1.
故当 时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是 .
22．解：（1）当k=1时， 消去参数t得 ，故曲线 是圆心为坐标
原点，半径为1的圆．（2）当k=4时， 消去参数t得 的直角坐标方程为 ．
的直角坐标方程为 ．
由 解得 ．
故 与 的公共点的直角坐标为 ．
23．解：（1）由题设知
的图像如图所示．
（2）函数 的图像向左平移1个单位长度后得到函数 的图像．
的图像与 的图像的交点坐标为 ．由图像可知当且仅当 时， 的图像在 的图像上方，
故不等式 的解集为 ．
