2025白云区中考二模数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_2025中考二模

2025 年初中毕业班综合练习 数学问卷 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．问卷时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、 姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B 铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案 必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以 上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，问卷结束后，将本问卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. “杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教 育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 第1页/共31页 学科网（北京）股份有限公司180 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转 后能与 本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 180 【详解】解：A、因为图形绕某点旋转 后不能与本身重合，所以A不符合题意； 180 B、因为图形绕某点旋转 后不能与本身重合，所以B不符合题意； 180 C、因为图形绕某点旋转 后能与本身重合，所以C符合题意； 180 D、因为图形绕某点旋转 后不能与本身重合，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐 射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为 0.0002C ．0.0002用科学记数法记为（ ） 0.2104 2103 2104 2105 A B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成 a10n 的形式，其中 1|a|10 ，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小 数点前面的0）． 0.00022104 【详解】解： ． 故选：C． 3. 如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离 开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（ ） 1 3 2 1 3 5 5 A. B. 2 C. D. 【答案】D 第2页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据共有5个出口，北面有两个 出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有5个出口，其中北面有B，C两个出口， 2 5 ∴恰好从北面出口离开的概率为 ， 故选：D． 4. 下列各式，计算正确的是（ ）  a42 a6 A. a4 a2 a6 B. a2a4 a8 C. a5a2 a3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键在于正确掌握相关运算法 则． 根据相关运算法则逐项计算判断，即可解题． a4,a2 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； a2a4 a6 B、 ，原选项计算错误，不符合题意； C、a5a2 a3，原选项计算正确，符合题意；  a42 a8 D、 ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C．   5a b 5. 若 5 的整数部分为a，小数部分为b，则 （） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，解题关键是利用平方数大 小关系确定 5 的范围，从而得到其整数部分与小数部分． 1．利用22 4，32 9， 4< 5< 9 ，确定 5 的范围为 2 5 3 ，得出整数部分 a2 ，小数部分 b 52 ．将 a 、 b 的值代入 ( 5a)b ，利用平方差公式计算出结果1． 第3页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【详解】 Q22 4 ，32 9， 4< 5< 9 ， 2 5 3 ，  5 a2 b 52 的整数部分 ，小数部分 ， ( 52)( 52) 原式 54 1， 故选：B． 6. 如图， VABC 内接于 A O，A，B  AC CD 是 A O 的一条弦， CD BC ，连接BD，若 D30 ， 则ABD的度数为（ ） A 30° B. 40° C. 45° D. 50° . 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握同弧所对的圆 周角相等． 利用同弧所对的圆周角相等和等边对等角即可解答此题． AD30 AB  AC 【详解】解： ，且 ， 1 ABC  180A75 2 ， CD BC ， DBC D30 ， ABDABCDBC 753045 ， 故选：C． AB AC a  BC 7. 如图，梯子 ，梯子与地面的夹角为 ，则两梯脚之间的距离 为（ ） 第4页/共31页 学科网（北京）股份有限公司asin acos 2asin 2acos A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作 ADBC 于点D，先由等腰三角形得到 DB DC ，再解RtAADC即可表示 CD ，即可求解． 【详解】解：过点A作 ADBC 于点D， AB AC a ∵ ， DB DC ∴ ， CD CD cos  ∵ AC a ， BC 2CD2acos ∴ ， 故选：D． 8. 如图，四边形ABDF为菱形，BD垂直平分 AC ，若 AD2 5 ， AF 5 ，则 AC 的长为（ ） 第5页/共31页 学科网（北京）股份有限公司A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关 AB  BD AF 5 BE  x DE  BDBE 5x 键．根据菱形的性质得到 ，设 ，则 ，得到 205x2 25x2 x3 AE  AB2 BE2 4 AC 2AE 8 ，求出 ，得到 ，求出 ，即可得到答 案． 【详解】解：四边形ABDF为菱形，  AB  BD AF 5 ， BE  x DE  BDBE 5x 设 ，则 ，  BD垂直平分 AC ， 1 AE CE  AC AEB AED90 2 ， AE2  AD2 DE2   2 5 2 5x2 RtAADE 在 中， Rt△ABE AE2  AB2 BE2 25x2 中， ， 205x2 25x2  ，  x3 ， AE  AB2 BE2 4 ∴ AC 2AE 8 ∴ ， 故选：A． 1 x2 2x 9. 已知a是方程 x 的实数根，则a的取值范围为（ ） A. a2 B. a2 C. a2 D. 不能确定 第6页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【答案】A 【解析】 1 y y  x2 2x 【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数 和 x的大致图象，结合函数交点 位置判断即可． 1 y y  x2 2x 【详解】解：函数 和 x的大致位置如图： 1 y 根据图形可得函数 y  x2 2x 和 x交点的横坐标 x2 ， 1 x2 2x ∴ x 的解 x2 ， 1 x2 2x ∵a是方程 x 的实数根， a2 ∴ ， 故选：A ． 10. 观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和 n的值分别是（ ） 第1 第2 第3 第4 … 列 列 列 列 第1 1 2 9 10 … 行 第2 4 3 8 11 … 行 第7页/共31页 学科网（北京）股份有限公司第3 5 6 7 12 … 行 第4 16 15 14 13 … 行 第5 17 … … … 行 … A. 1，45 B. 45，1 C. 44，2 D. 2，44 【答案】B 【解析】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键． 由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止， 452 2025 第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为 ， m45 n1 根据此规律即可得到 ， ，即可得到答案． 【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一 行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后 向右每一列递减1至与行数相同的列止， 452 2025 ， 数字2025出现在第1行第 45 列的位置， m45,n1 ， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a=_____． 【答案】-3 【解析】 第8页/共31页 学科网（北京）股份有限公司x3 【分析】根据一元二次方程解的定义把 代入x2﹣2x+a＝0即可求得答案. x3 【详解】将 代入x2﹣2x+a＝0得： 32﹣2xa0 ， a3 解得： ， 3 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，本题逆用一元二次方程解的定义是解题的关键. 12. 如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝_________； 【答案】6 【解析】 【分析】首先将a2b－ab2提取公因式，在代入计算即可. a2b－ab2=ab(ab) 【详解】解： 代入a－b＝2，ab＝3 326 则原式= 故答案为6. 【点睛】本题主要考查因式分解的计算，关键在于提取公因式，这是基本知识点，应当熟练掌握. 13. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图， 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出 372 171614776160 生后的天数 （天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是______ 天． 【答案】123 【解析】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计 算，即可． 第9页/共31页 学科网（北京）股份有限公司272 371498214123 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数 ， 故答案为：123． 14. 在半圆 A O 中，C是直径AB上一点， AC 3 ，BC 1，点C关于弦AD的对称点 C 也在 A O 上， CD 那么 的值为______． 2 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，勾股定理，连接 CC 交AD于E，由轴对称的性质可得 ∠C∠A，D，⊥BAD CE CE CC AD ， AC AC 3 ，则 AE CE AC 3    CD  BD ACAE∽ABAD AD BD BC 4 AE 3DE ，再证明 得到 ，则可求出 ，设 CE CE 3m，CD  BD 4m DE  CD2 CE2  7m AE 3 7m ，则 ， ，由勾股定理得 32   3 7m 2 3m2 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接 CC 交AD于E， ∠C∠A，D，⊥BAD CE CE CC AD AC AC 3 由轴对称的性质可得 ， ， A A CD  BD ∴ ， CD  BD ∴ ， ∵AB是 A O 的直径， ADBAEC 90 ∴ ， CAE BAD 又∵ ， ACAE∽ABAD ∴ ， 第10页/共31页 学科网（北京）股份有限公司AE CE AC 3 3     AD BD BC 13 4 ∴ ， 3 AE  AD ∴ 4 ， AE 3DE ∴ ， CE CE 3m，CD BD4m 设 ， DE  CD2 CE2  7m ∴ ， AE 3 7m ∴ ， Rt△AEC AC2  AE2 CE2 在 中，由勾股定理得 ， 32   3 7m 2 3m2 ∴ ， 2 2 m m 解得 4 或 4 （舍去）， CD 4m  2 ∴ ， 2 故答案为： ． P(kPa) 15. 在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强 与体积 V(mL) 40kPa 100kPa 成反比例函数关系，其函数图像如图2所示．若压强由 加压到 ，则气体体积压缩 mL 了______ ． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数关系式，熟练掌握相关知识是解题的关键； 第11页/共31页 学科网（北京）股份有限公司先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，比较得出答案． k y  【详解】解：设反比例函数关系式为 x ， (80,75) ∵反比例函数图像经过点 ， k 75 80 ∴ ， k 7580600 解得 ， 6000 y 所以反比例函数关系为 x ． y 40kPa x150mL 当 时， ； y 100kPa 当 时，x 60mL， 1506090mL ∴ ． 所以气体体积压缩了90 mL． 故答案为：90． 16. 如图，将正方形纸片 ABCD 沿 PQ 折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F， EF 交AD于点G，连接CG交 PQ 于点H，连接 CE ．下列四个结论中：① △P∽B△E QFG ；② S △C△EG =S CBE S 四边形CDQH；③EC平分 BEG ；④ EG2﹣C＝H2 GQGD ，正确的是________（填序号 即可）． 【答案】①③④． 【解析】 【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； 第12页/共31页 学科网（北京）股份有限公司②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC进而说明△CMG≌△CDG，可得S =S +S △CEG △BEC △ >S ＋S ； CDG △BEC 四边形CDQH ③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立； ④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则 1 ∠ECG=∠ECM+∠GCM=2∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°， 利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以 E，M，H，C四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④ 成立． 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知: ∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90 ∴∠BEP+∠AEG=90°， ∵∠A=90° ∴∠AEG+∠AGE=90°， ∴∠BEP=∠AGE， ∵∠FGQ=∠AGE， ∴∠BEP=∠FGQ， ∵∠B=∠F=90， ∴△PBE~△QFG， 故①说法正确，符合题意； ②过点C作CM⊥EG于M， 由折叠可得:∠GEC=∠DCE， 第13页/共31页 学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC， 在△BEC和△MEC中， ∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE ∴△BEC≌△MEC(AAS) ∴CB=CM，S =S ， △BEC △MBC ∵CG=CG， ∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)， ∴S =S ， △CMG △CDG ∴S =S +S >S +S △CEG △BEC △CDG △BEC 四边形CDQH ∴②说法不正确，不符合题意； ③由折叠可得:∠GEC=∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE， ∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG ∴③说法正确，符合题意； ④连接DH，MH，HE，如图： ∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG， ∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG， 1 ∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=2∠BCD=45°， ∵EC⊥HP， ∴∠CHP=45°， ∴GHQ=∠CHP=45°， 由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°， ∴EH⊥CG ∴EG2 -EH2=GH2 由折叠可知:EH=CH ∴EG2 -CH2= GH2， ∵CM⊥EG，EH⊥CG， ∴∠EMC=∠EHC=90°， 第14页/共31页 学科网（北京）股份有限公司∴E，M，H，C四点共圆， ∴∠HMC=∠HEC=45°， 在△CMH和△CDH中， ∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH ∴△CMH≌△CDH(SAS) ∴∠CDH=∠CMH=45 °， ∵∠CDA=90°， ∴∠GDH=45° ∵∠GHQ=∠CHP=45°， ∴∠GHQ=∠GDH=45°， ∵∠HGQ=∠DGH， ∴△GHQ∽△GDH ， GQ GH  GH GD ∴ ， ∴GH2=GQ·GD ∴GE2-CH2=GQ·GD 故④说法正确，符合题意； 综上可得，正确的结论有:①③④ 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似 的判定与性质．翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） x2 4x50 17. 解方程： ． x 1 x 5 【答案】 1 ， 2 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． x2 4x50 x1x50 【详解】解：由 得 ， x10 x50 ∴ 或 ， x 1 x 5 ∴ 1 ， 2 ． 第15页/共31页 学科网（北京）股份有限公司18. 如图，点E，F在直线 AC 上， AF  EC ，BCDF ， BC∥DF ．求证：AB∥DE． 【答案】见解析 【解析】 的 【分析】本题考查了全等三角形 判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关 键． △B≌C△A DFESAS 先证明 ，得到AE，即可得到AB∥DE． 【详解】证明：∵ BC∥DF ， DFE BCA ∴ ， AF  EC ∵ ， AC  EF ∴ ， ∵BCDF ， △B≌C△A DFESAS ∴ ， ∴ AE， ∴AB∥DE． 19. 如图，AB为 A O 的直径， CD 垂直平分线段 OA ，交 A O 于点D，交AB于点C，连接AD、BD、 OD ． △ADO （1）求证： 是等边三角形； （2）点E在线段 CA 的延长线上，且AE  AD，试判断ED与 A O 的位置关系，并说明理由． 第16页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）相切，理由见解析 【解析】 ADOD OAOD △ADO 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到 ，然后结合 即可得到 是等边三角 形； 1 E ADE  DAO30 （2）首先得出 DAODOA60 ，然后由AE  AD求出 2 ，然后求 出 EDO180EDOA90 ，即可证明出ED与 A O 相切． 【小问1详解】 CD OA 解：∵ 垂直平分线段 ， ADOD ∴ OAOD 又∵ OAOD AD ∴ △ADO ∴ 是等边三角形； 【小问2详解】 △ADO 解：∵ 是等边三角形 DAODOA60 ∴ ∵AE  AD， 1 E ADE  DAO30 ∴ 2 ， EDO180EDOA90 ∴ ， OD A O ∵ 是 的半径， ∴ ED与 A O 相切． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角，三角形外角的性质， 切线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位 同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根 第17页/共31页 学科网（北京）股份有限公司据图表提供的信息，解答下列问题： 类 频数（人数） 频率 别 力 a 0.45 学 热 10 b 学 光 30 0.3 学 电 0.15 15 学 a b a b （1）直接写出频数分布表中 、 的值： ______， ______； （2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数n ______°； （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关 A，B， C ，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B， C 都可使小灯泡发光．若随机闭合 其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 0.1 【答案】（1）45， 1 （2）108 （3）2 【解析】 【分析】此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识， 熟练掌握这些知识是解题的关键． 0.45 （1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以 即可求出a的值，然后用参与“热学” 第18页/共31页 学科网（北京）股份有限公司实验的人数除以总人数即可求出频率，进而完成频数分布表即可； 360 （2）用 乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出答案； （3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 Q300.3100 解： （人）， a1000.4545 ， b101000.1 ∴参与“热学”实验的频率为 ， 0.1 故答案为：45； ； 【小问2详解】 3600.3108 解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是： ； 故答案为：108； 【小问3详解】 解：画树状图，如图 共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则 6 1 P   小灯泡发光 12 2． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲影！与之相 关的周边也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已哪吒磁性书签的单价比 金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同． （1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价； （2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不 超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？ 【答案】（1）金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元； （2）最多可以购进哪吒磁性书签80个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不 第19页/共31页 学科网（北京）股份有限公司等式是解题的关键． x20 （1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为 元，根据题意列出分式方程求解即可； 200m （2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签 个，根据题意列出一元一次不等式 求解即可． 【小问1详解】 x20 设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为 元 800 2400  根据题意得， x x20 x10 解得 x10 经检验， 是原方程的解 x20102030 ∴ ∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元； 【小问2详解】 200m 设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签 个 30m10200m3600 根据题意得， m80 解得 ∴最多可以购进哪吒磁性书签80个． 22. 某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①） 的设计原理和优化设计．图②是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上， A A A B A C 5cm 图中 ， 和 分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为 ，点O为支点， OAOBOC 10cm，且 AOBBOC AOC 120 ，拉杆 OD80cm ． 第20页/共31页 学科网（北京）股份有限公司BC （1）求 的长； OD （2）在使用爬梯车时，拉杆 倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到 地面的距离DE的长． 条件①： OD 与DE的夹角 ODE 45 ； 条件②：点O到DE的距离为 56.8cm ． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．（参考数据：sin45cos450.71， tan451 3173.76 56.3 ， ．） BC 10 3cm 【答案】（1） DE 66.8cm DE 66.3cm （2）选择条件① ．条件②： 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过O作 ON  EF 于 N ，连接 BC 交ON于M ，根据题意可得 BC 平行地面EF ，则 MN 5 ， 1 BOM  BOC 60 ON  BC ，再由 OBOC 10cm ， BOC 120 ，可得 BC 2BM ， 2 ， OBC 30 30 BM 5 3 BC 2BM 10 3 ，根据 直角三角形和勾股定理可以求出 ，则 ； （2）过O作 OG  DE 于 G ，则四边形 OGEN 是矩形，得到 GE ON OM MN 5510 ，再分 GD DE  DGEG 别选择两个条件，求出 的长，最后根据 计算即可． 【小问1详解】 解：过O作 ON  EF 于 N ，连接 BC 交ON于M ， 第21页/共31页 学科网（北京）股份有限公司A B A C 5cm ∵ 和 轮子的半径均为 ， ∴点B和点 C 到地面EF 距离都是 5cm ， ∴ BC 平行地面EF ， MN 5 ON  BC ∴ ， ， OBOC 10cm BOC 120 ∵ ， ， 1 BOM  BOC 60 ∴ BC 2BM ， 2 ， OBC 30 ， 1 OM  BC 5 2 ∴ ， BM  OB2 OM2 5 3 ∴ ， BC 2BM 10 3 ∴ ； 【小问2详解】 解：过O作 OG  DE 于 G ，则四边形 OGEN 是矩形， GE ON OM MN 5510 ∴ ， 第22页/共31页 学科网（北京）股份有限公司选择条件①： OD 与DE的夹角 ODE 45 ， GD cosODE  cos450.71 ∴ OD ， OD80cm ∵拉杆 ， GD0.71OD56.8cm ∴ ， DE  DGEG 56.81066.8cm ∴把手D到地面的距离 ． 选择条件②：点O到DE的距离为 56.8cm ，即 OG 56.8cm OD80cm ∵ ， GD OD2 OG2  802 56.82  3173.76 56.3cm ∴ ， DE  DGEG 56.31066.3cm ∴把手D到地面的距离 ． VABC BAC 90 23. 如图，已知 ， ， BC DAC B （1）尺规作图：在 边求作点D，使得 （不写作法，保留作图痕迹）； 2 tanB  （2）连接AD，若 3 ，求 △ADC 与 VABC 的面积比． 4 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，尺规作一个角等于已知角，熟练掌握各知 识点并灵活运用是解题的关键． （1）按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； 2 AC  （2）先根据正切求得3 AB ，设 AC 2x,AB 3x ，由勾股定理得 BC2 13x2 ，证明 △C△AD∽ CBA ，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 第23页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 解：如图，点D即为所求： 【小问2详解】 BAC 90 解：∵ ， 2 AC tanB  ∴ 3 AB ， AC 2x,AB 3x 设 ， BC2  AC2  AB2 2x2 3x2 13x2 ∴ ， ∵ DAC B ，C C ， ∴△C△AD∽ CBA S  AC  2 4x2 4 AADC      S  BC  13x2 13 ∴ AABC ． 24. 在 Rt△ABC 中， ACB90 ，BA边绕点B逆时针旋转 90 得到线段BD，连接AD，过点D作 DEAC 垂足 为 E，连接BE ． （1）如图1若 BAC 30 ，BC 1时，求DE及AE的长； BAC 45 DE  2BE AE （2）如图2，当 时，求证： ； 第24页/共31页 学科网（北京）股份有限公司（3）如图3，当 BAC 45 时，按要求重新作图并回答：DE、BE 、AE是否依然存在（2）中的等 量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由． DE  31 AE  31 【答案】（1） ， 2BE  DE AE （2）证明见解析 （3）不存在（2）中的等量关系，存在 的关系 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，△ABD 是等腰直角三角形，易得 ABDAED90 ，因此A、D、 B、E四点共圆，推出 BEDBAD45 ，得 BEC 45 ， CE  BC 1 ，在 Rt△ACB 中， BAC 30 ，可得AB2， AC  3 ，即可求出 AD 2AB2 2 ，根据 AE  ACCE 及 DE  AD2 AE2 ，即可求AE及DE的长； （2）由旋转的性质得，△ABD 是等腰直角三角形，易得 ABDAED90 ，因此A、D、B、 E四点共圆，得 BEDBAD45 ，易得BE  BF ， △BEF 是等腰直角三角形，过点B作 △≌AB△E DBFSAS BF  BE交DE于点F ，易证 ，得AE DF ，通过 DE  EF DF  2BE AE 即可证明结论； （3）根据题意进行作图，将BA边绕点B逆时针旋转 90 得到线段BD，连接AD，过点D作 DEAC 垂足为E，连接BE ，过点B作BF  BE交ED的延长线于点F ，由四边形ABDE内角和为 360 ，易得 BAEBDE 180 ，得BAE BDF ，易证 △≌AB△E DBFASA ，得 AE DF ，BE  BF ，在 Rt△BEF 中， EF  2BE ，可证 2BE  EF  DEDF  DE AE ． 【小问1详解】 解：BA边绕点B逆时针旋转 90 得到线段BD， ABD90 ，ABBD， BADBDA45 ， DE  AC ， DEA90 ， ABDAED90 ， 如图所示，A、D、B、E四点共圆， 第25页/共31页 学科网（北京）股份有限公司BEDBAD45 ， BEC 180AEDBED45 ， ACB90 ，BC 1， CBE 180BCEBEC 45 ， CE BC 1， ACB90 BAC 30 ， ， 1 ∴BC  AB 2 ， AB2， AC= AB2- AC2 = 22- 12 = 3 ， AE  ACCE  31 ， ABD90 ，ABBD， AD AB2 BD2  AB2  AB2  2AB2 2 ，  2  2  2 DE  AD2 AE2  2 2  31  42 3  31  31 在 RtVDEA 中， ， AE  31 DE  31 ， ； 【小问2详解】 证明： BA边绕点B逆时针旋转 90 得到线段BD， ABD90 ，ABBD， BADBDA45 ， DE  AC ， DEA90 ， ABDAED90 ， 第26页/共31页 学科网（北京）股份有限公司如图所示，A、D、B、E四点共圆，过点B作BF  BE交DE于点F ， BEDBAD45 ， BF  BE， EBF 90 ， BFE 180FBEBEF 45BEF ， BE  BF， EF  BE2 BF2  BE2 BE2  2BE ， ABDEBF 90 ， ABDABF EBF ABF ， FBDEBA， BA BD  EBAFBD  BE  BF 在AABE和ADBF中，  ， △≌AB△E DBFSAS ， AE  DF， DE  EF DF  2BE AE ； 【小问3详解】 2BE  DE AE 不存在（2）中的等量关系，存在 的关系，理由如下： 根据题意进行作图，将BA边绕点B逆时针旋转 90 得到线段BD，连接AD，过点D作 DEAC 垂足 为E，连接BE ，如图所示，过点B作BF  BE交ED的延长线于点F ， 第27页/共31页 学科网（北京）股份有限公司BA边绕点B逆时针旋转 90 得到线段BD， ABD90 ，BABD， DE  AC ， DEA90 ， 四边形ABDE内角和为 360 ， BAEBDE 360ABDAED180 ， BDF BDE 180 ， BAE BDF ， BF  BE， EBF 90 ， ABDEBF 90 ， ABDDBEEBF DBE， ABE DBF ， BAE BDF  BA BD  ABE DBF 在AABE和ADBF中，  ， △≌AB△E DBFASA ， AE  DF，BE  BF ， 在 Rt△BEF 中， EF  BE2 BF2  BE2 BE2  2BE ，  2BE  EF  DEDF  DE AE ． 【点睛】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质、四点共圆、对角互补模型、直角三角形中 第28页/共31页 学科网（北京）股份有限公司30o 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关 键． y x5 y x2 bxc 25. 已知一次函数 与二次函数 （b、c是常数）相交于A、B两点，点A是x轴 上的点，点B是y轴上的点，点C为抛物线的顶点．点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求该二次函数解析式及顶点C的坐标； （2）若抛物线在P、B之间的部分（包含P、B两点）最高点与最低点的纵坐标差为4时，求m的取值范 围； （3）点M是直线AB上的点，且 MP∥y 轴，把点M往右平移两个单位，再往下平移6个单位得到点 S S N．是否存在不与点C重合的点P，使得 △△MNP CMN？若存在，请求出面积相等时m的值；若不存在， 请说明理由． y x2 4x5 2,9 【答案】（1）二次函数解析式为 ；顶点C的坐标为 （2）m的取值范围是 m22 2 或 0m4 或 m22 2 ； m 1 m 10 （3） 1 ， 2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用、待定系数法求函数解析式，解题的关键是：由点A、B在直线 上，找出A、B的坐标；将抛物线解析式变为顶点式，找出顶点Ｃ的坐标． y x5 y x2 bxc （1）根据直线 求出A、B两点坐标，代入 ，求出函数解析式，配方后可得顶 点C的坐标； m0 0m4 m4 （2）分 、 和 三种情况结合图象的最高点和最低点讨论得解即可； S S S m2 5m （3）如图，假设存在不与点C重合的点P，使得 △△MNP CMN，求出 △MNP ， S 4m10 △CMN ，列方程求出m的值即可． 【小问1详解】 y x5 y x2 bxc 解：∵一次函数 与二次函数 （b、c是常数）相交于A、B两点，点A是x轴 上的点，点B是y轴上的点， y x5 x0 y 5 y0 x5 ∴对于 ，当 时， ；当 时， ， A(5,0) B(0,5) ∴ ， ， 第29页/共31页 学科网（北京）股份有限公司A(5,0) B(0,5) y x2 bxc 把 ， 代入 ，得： 052 5bc  c5 ， b4  c5 解得 ， y x2 4x5 ∴二次函数解析式为 ， y x2 4x5  x2 4x4  9x22 9 ∴ ， y x2 4x5 2,9 ∴抛物线 的顶点C的坐标为 ； 【小问2详解】 C2,9 x2 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，基点坐标为 ，如图， B0,5 4,5 根据对称性质得，点 关于对称轴 x2 对称的点B 的坐标为 ， P  m,m2 4x5  设 ， B0,5 P  m,m2 4x5  m0 当 时，点 是最高点， 是最低点， 5  m2 4m5  4 ∴ ， m22 2 m22 2 解得， （不合题意，舍去）或 ； C2,9 B0,5 0m4 当 时，最高点是抛物线的顶点 ，最低点是 , 954 ∴ ，满足条件； B0,5 P  m,m2 4x5  m4 当 时，点 是最高点， 是最低点， 5  m2 4m5  4 ∴ ， 第30页/共31页 学科网（北京）股份有限公司m22 2 m22 2 解得， 或 （不合题意，舍去）； 综上，m的取值范围是 m22 2 或 0m4 或 m22 2 ； 【小问3详解】 P  m,m2 4x5  解：设 ， ∵点M是直线AB上的点，且 MP∥y 轴， M m,m5 ∴ ， PM m5  m2 4m5  m2 5m ∴ ， ME 6,EN 2,NF m, CF 6m59m10 如图，由平移得， ， 1 1 S  PM EN    m2 5m  2m2 5m ∴ AMNP 2 2 ， S S S S ACMN 梯形MEFC AMEN ACNF 1 1 1  MECFEF  MEEN  NFCF 2 2 2 1 1 1  6m102m 62 mm10 2 2 2 4m10 ， S S 假设存在不与点C重合的点P，使得 △△MNP CMN， m2 5m4m10 ∴ ， m 1 m 10 ∴ 1 ， 2 ． 第31页/共31页 学科网（北京）股份有限公司