文档文本内容
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第六章至第八章.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量
，
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】因为
，所以
，解得
，
则
，由模长公式得
，故B 正确.
2.
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】
.
3. 已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，
，则
C. 若
，
，则
D. 若
，
，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可.
【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若
，
，则
，故A
正确；
选项B，若
，
，则
或
，故B 错误；
选项C，根据面面垂直的判定定理知，若
，
，则
，故C 正确；
选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若
，
，则
，故D 正确.
4. 下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中
为圆台下底
面圆心，
分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为
，
，
，圆台下底面圆半径为
，则该组合体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据公式计算圆柱的底面积侧面及圆台的侧面积，再求和计算可得.
【详解】圆柱的上底面面积为
；圆柱的侧面面积为
；圆台的下底面面积为
；
圆台的母线长为
，所以圆台的侧面面积为
，
则该组合体的表面积为
．
故选:B．
5. 已知向量
，
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】由
得
，
两式相减得，
，所以
，则
.
故选：A.
6. 在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，满足条件的
有两解，则
边长a 的可能取值为（ ）
A. 3
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】若有两解，则
，即：
，所以
.
7. 已知正方体
的棱长为2，E 为棱
的中点，则经过
，D，E 三点的正方体的截面
周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定四边形
为经过
，D ，E 三点的正方体的截面，结合四边形的周长公式求解即可.
【详解】正方体
中，
平面
，则平面
与平面
的交线与
平行，
取
中点F，连接
，
，因为
，有
，
所以四边形
为经过
，D ，E 三点的正方体的截面，
在梯形
中，
，
，
，
，
所以四边形
周长为
.
8. 在三棱锥
中，
，
均是边长为
的等边三角形，当平面
平面
时，
三棱锥
内切球的半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等体积法进行求解.
【详解】
如图所示，作
，因为
，所以
是
中点，因为平面
平面
，所以
平面
，所以
，
设
，则
，
在直角三角形
中，
，即：
，解得：
，即：
，
，
因为
，
，所以
和
是直角三角形，且
，
则
，
设三棱锥
内切球的半径为
，则
，
， 代入得：
，解得：
，即：三
棱锥
内切球的半径为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点
B. 棱台的侧面都是梯形
C. 因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥
D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据棱台的性质直接判断AB 选项，结合反例判断C 选项，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，
底面为正五边形时判断D.
【详解】对于A，由三棱台的性质得三棱台的各侧棱延长后必交于一点，故正确；
对于B，由棱台的性质可知，棱台的侧面都是梯形，故正确；
对于C，三棱台也是五面体，不满足，故错误；
对于D，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，底面为正五边形时，这个棱锥为五棱锥，故正确.
10. 在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）
A. 若
，则
为钝角三角形
B. 若
，则
为锐角三角形
C. 若
，则
一定是等腰三角形
D. 若
，则
【答案】AB
【解析】
【详解】选项A，根据余弦定理
已知
，则
，因此
.
又因为
，所以
为钝角，故
为钝角三角形，A 正确；
选项B，
，说明三个余弦值全为正，或一正两负.
三角形中若有两个钝角，则内角和会超过
，矛盾.
因此只能是三个余弦值全为正，即
均为锐角，
为锐角三角形，B 正确；
选项C，
，根据正弦函数性质
或
，
即
或
.
当
时，
为直角三角形，不一定是等腰三角形，C 错误；
选项D，余弦函数
在
上单调递减.
若
，且
，则
，而非
，D 错误.
11. 如图，在棱长为2 的正方体
中，M，N，P 分别是
，
，
的中点，Q 是
线段
上的动点，则下列说法正确的是（）
A. 存在点Q，使得
平面
B. 不存在点Q，使得B，N，P，Q 四点共面
C. 三棱锥
的体积为
D. 三棱锥
外接球的表面积为
【答案】AD
【解析】
【详解】对于A，连接
.当
是
的中点时，因为
，且在正方体中易得
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，故A 正确.
对于B，连接
.因为
分别是
的中点，所以
.
又易得
，所以
，所以
四点共面，
即当
与点
重合时，
四点共面，故B 错误.
对于C，连接
.因为
，
所以
，故C 错误.
对于D，分别取
的中点
，构造长方体
，则经过
四点的球即为
长方体
的外接球.
设所求外接球的直径为
，则长方体
的体对角线即为所求的球的直径，
即
，所以经过
四点的球的表面积为
，故
D 正确.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 设是虚数单位，
，则
________
【答案】13
【解析】
【详解】因为
，所以
.
13. 已知向量
满足
，
，向量
在向量
上的投影向量的坐标为
，则
________
【答案】
或
【解析】
【分析】设
，进而根据投影向量的概念求得
，再结合模的坐标表示求得
即可得答案.
【详解】设
，因为
，所以
，
，
因为向量
在向量
上的投影向量的坐标为
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
，即
，
因为
，所以
，将
代入解得
，
所以
或
.
14. 若向量
满足
，
，则
的最小值为________
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得
，得到
，化简得到
，结合向量不等式，即可求解.
【详解】由
，所以
，所以
，
又由
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
与
同向时，等号成立.
所以
的最小值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
分别是棱
，
，
，
的中点，且
，
．
（1）证明：
．
（2）证明：平面
平面
．
【答案】（1）证明：
连接
．
在
中，因为E，F 分别是
，
的中点，
所以
是
的中位线，则
，
同理可得
，
所以
．
（2）证明：
设
，连接
．
因为四边形
为平行四边形，
所以
互相平分，
在
中，
，O 是
的中点，所以
，
在
中，
，O 是
的中点，所以
，
又
，且
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
．
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线即可证明；
（2）根据平行四边形及等腰三角形的性质，结合线面垂直和面面垂直的判定即可证明．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
16.
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若
，求
面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式化简计算即可；
（2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可.
【小问1 详解】
因为
，
所以
，
易知
，则
，即
，
则
或
，所以
或
（舍去），
故
；
【小问2 详解】
由余弦定理知
，
即
，当且仅当
时取得等号，
所以
，
即
面积的最大值为
.
17. 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
，
，且
平面
平面
，
分别是
，
的中点.
（1）证明：
.
（2）求三棱锥
的体积.
【答案】（1）如图，连接
，
，作出符合题意的图形，
底面
是菱形，
，
是等边三角形，
又
是
的中点，
，
又
，
面
，
平面
而
面
，
.
（2）
【解析】
【分析】（1）结合菱形的性质得到线面垂直，再证明线线垂直即可.
（2）结合题意并利用转换法求解体积即可.
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
为
的中点，
，
又
是
的中点，
，
，
由（1）可知
，
平面
平面
，
且
面
，
平面
，
.
18. 重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2 km 的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为
直角，
，
分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧
上选取一个景观节点P，使得
，
其中
.为提升广场实用性，规划方案如下：
1．过点P 向
，
分别作垂直步道
，
，围出一个矩形
，用于打造亲子游乐区，记该
矩形区域的面积为
；
2．连接
，
，
，在
区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为
.请你尝试
帮助规划部门解决以下问题：
（1）分别用
表示亲子游乐区面积
与花境景观带面积
；
（2）若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数
，求
的最大值
及对应此时景观点P 的位置.
【答案】（1）
，
（2）
，此时景观点
为弧
的中点
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义求出
与
，进而得到
，再根据三角形面积公式求出
.
（2）方法一：先对函数
进行三角恒等变换，再通过换元法转化为二次函数，结合
范围确定
范围，进而求
最值；方法二：令
并确定范围，将
用表示，
把
转化为关于的二次函数求最值.
【小问1 详解】
由题设
，
，得
，
，
【小问2 详解】
（方法一）
，
，
则
，
，对应
，此时景观点P 为弧
的中点
（方法二）
．
令
，则
，则
，
当
时，
，对应
，此时景观点
为弧
的中点
19. 由代数基本定理，给定
，方程
有
个复数根
，且
，将
称为n 次单位根.
（1）求三次单位根，并计算
与
的值.
（2）欧拉公式
给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可
简化运算过程．例如
，
.
（i）证明：
.
（ii）证明：
.
【答案】（1）
（2）证明：（ⅰ）当
时，
，
即
，所以
，
所以
，
因为
是方程
的根，所以
.
（ⅱ）当
为偶数时，
为整数，则
，则原式为
，
当
为奇数时，由题可知
，
，
，
，
是方程
的根，
所以
，
令
，可得
，所以
，
两边同时取模，可得
，
因为
，所以
，
则
，
又因为
，
即与首末等距离的两项余弦值互为相反数，乘积为负，
所以
，
所以
，
所以
.
【解析】
【分析】（1）由题意知
，结合复数的运算法则，即可求解；
（2）证明：（ⅰ）当
时，
，即
，
所以
，所以
，
因为
是方程
的根，
所以
.
（ⅱ）当
为奇数时，得到
，令
，得到
，求得
，结合诱导公式，得到
，再由
为偶数时，求得原式为
，即可得证；
【小问1 详解】
解：由题意知
可得
，
，
，
则
【小问2 详解】
略
