文档文本内容
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第六章至第八章.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量
，
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 2
2.
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，
，则
C. 若
，
，则
D. 若
，
，则
4. 下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中
为圆台下底
面圆心，
分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为
，
，
，圆台下底面圆半径为
，则该组合体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知向量
，
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，满足条件的
有两解，则
边长a 的可能取值为（ ）
A. 3
B.
C.
D. 4
7. 已知正方体
的棱长为2，E 为棱
的中点，则经过
，D，E 三点的正方体的截面
周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 在三棱锥
中，
，
均是边长为
的等边三角形，当平面
平面
时，
三棱锥
内切球的半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点
B. 棱台的侧面都是梯形
C. 因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥
D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
10. 在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）
A. 若
，则
为钝角三角形
B. 若
，则
为锐角三角形
C. 若
，则
一定是等腰三角形
D. 若
，则
11. 如图，在棱长为2 的正方体
中，M，N，P 分别是
，
，
的中点，Q 是
线段
上的动点，则下列说法正确的是（）
A. 存在点Q，使得
平面
B. 不存在点Q，使得B，N，P，Q 四点共面
C. 三棱锥
的体积为
D. 三棱锥
外接球的表面积为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 设是虚数单位，
，则
________
13. 已知向量
满足
，
，向量
在向量
上的投影向量的坐标为
，则
________
14. 若向量
满足
，
，则
的最小值为________
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
分别是棱
，
，
，
的中点，且
，
．
（1）证明：
．
（2）证明：平面
平面
．
16.
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若
，求
面积的最大值．
17. 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
，
，且
平面
平面
，
分别是
，
的中点.
（1）证明：
.
（2）求三棱锥
的体积.
18. 重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2 km 的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为
直角，
，
分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧
上选取一个景观节点P，使得
，
其中
.为提升广场实用性，规划方案如下：
1．过点P 向
，
分别作垂直步道
，
，围出一个矩形
，用于打造亲子游乐区，记该
矩形区域的面积为
；
2．连接
，
，
，在
区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为
.请你尝试
帮助规划部门解决以下问题：
（1）分别用
表示亲子游乐区面积
与花境景观带面积
；
（2）若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数
，求
的最大值
及对应此时景观点P 的位置.
19. 由代数基本定理，给定
，方程
有
个复数根
，且
，将
称为n 次单位根.
（1）求三次单位根，并计算
与
的值.
（2）欧拉公式
给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可
简化运算过程．例如
，
.
（i）证明：
.
（ii）证明：
.
