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高一数学
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.
在复平面内，
2
1
i
i
对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.
已知向量
2,
a
n
，
1,1
b
n
，则“
2
n
”是“
/ /
a
b
”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.
已知
2 2
3 sin
cos
3
，那么
2
cos
3
（
）
A.
7
3
B.
7
3
C.
2
3
D.
2
3
4.
在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的点，且
:
2:1
BE EC
，AE 交BD 于F ，则AF
（
）
A. 3
2
5
5
AB
AD
B. 2
3
5
5
AB
AD
C. 2
2
5
5
AB
AD
D. 4
1
5
5
AB
AD
5.
为了得到函数
3cos 4
4
π
y
x
的图像，可以将函数
3cos
y
x
的图像上（
）
A. 每个点的横坐标缩短到原来的1
4 倍，纵坐标不变，再向左平移π
16 个单位
B. 每个点的横坐标缩短到原来的1
4 倍，纵坐标不变，再向右平移π
16 个单位
C. 每个点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，再向右平移π
16 个单位
D. 每个点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，再向左平移π
16 个单位
6.
在
ABC
△
中，向量AB
与AC
满足
0
AB
AC
BC
AB
AC
，且
3
2
BA
BC
BA
BC
，则
ABC
△
为
（
）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C.等腰直角三角形
D. 等腰非等边三角形
7.
如图，在
ABC
△
中，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 是线段BC 上两个动点，且
AD
AE
xAM
yAN
，则
1
9
x
y
的最小值为（
）
A. 3
B. 9
4
C. 4
D. 9
2
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8.
已知函数
3sin
cos
0
f x
x
x
在
π
0, 4
上存在最值，且7π 5π
,
12
6
是
f x 单调递
增区间的子集，则满足条件的正整数的取值为（）
A. 3
B. 4
C. 3 或4
D. 4 或5
二、多选题：本题共3 小题，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.
已知向量
2, 3
a
，
1,2
b
，
, 2
c
，
R
，则（
）
A. 若
1
2
c
a
b
，则
3
2
B. 若
3
a
b
c
，则
6
C. a
b
的最小值为1
5
D. 若向量a
b
与向量2b
c
的夹角为锐角，则的取值范围是
, 8
10. 函数
sin
f x
A
x
（
0
A
，
0
，
π
）部分图象如图所示，则下列说法正确的
是（
）
A.
2π
2
3
，
B. 函数
f x 的零点为
Z
π
6
π
k
k
C. 若实数
1
2
,
x x 满足
1
2
8
f x
f x
，则
1
2 min
π
2
x
x
D. 若
f x 在区间2π ,
3
a
上的值域为
,2 3
A
，则实数a 的取值范围为
π
1
2
π
3
3
,
12
11. 已知
ABC
△
三个内角
A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c
，若
sin
sin
sin
sin
c
a
C
A
b
C
B
，则下列选项正确的是（
）
A. A 的大小是π
3
B. sin
sin
B
C 的取值范围是
3
0, 4
C. 若D 是BC 边上的一点，且
2
BD
DC
，
1
AD ，则
ABC
△
的面积的最大值为3 3
4
D. 若三角形ABC 是锐角三角形，AE 平分
BAC
交BC 于点E ，则BE
CE 的取值范围是1 ,2
2
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三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12. 已知向量,a b
满足：
1,3
a
，
2
a
a
b
，则b
在a上的投影向量的坐标为
．
13. 已知函数
)
π
sin
(
0,
f x
x
的部分图象如
图所示，若存在
1
2
π
0
x
x
，满足
1
2
5
6
f x
f x
，
则
1
2
cos x
x
．
14. 在
ABC
△
中，
2
AB
，
4
BC
，
2
3 π
ABC
，D 、E 在边AC 所在直线上，且满足
1
4
AD
AC
，
BD
BE
，则BE _______．
四、解答题：本题共5 小题，共60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题13 分）
如图，M 、N 分别是
ABC
△
的边BC 、AB 上的点，且
1
4
BM
BC
，
1
2
AN
AB
，AM 交CN
于P ．
（1）若AP
xAB
yAC
，求x
y
的值；
（2）若
2
AB
，
3
AC
，
60
BAC
，求
MPN
的大小．
16. （本小题15 分）
如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m ，圆心距地面的高度为60m ，摩天轮开启后按逆
时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min 转一圈，摩天轮上的点
P 的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻(t 单位：min) 时点P 距离地面的高度
sin
(
f t
A
t
h
其中
0
A
，
0
，
π
），求函数
f t 解析式及当点P 旋转到距离地面的高度为85m 时需要的最短时间；
（2）当点P 距离地面
60
25 3 m
及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游
玩30min ，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
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17. （本小题15 分）
在
ABC
△
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos
3 sin
a
C
a
C
b
c
．
（1）求A 的值；
（2）若
1
a
b
，
2
c
，当
ABC
△
的周长最小时，求c 的值．
18. （本小题17 分）
已知向量
2cos , 3cos
π
a
x
x
，
cos ,2sin
π
b
x
x
，函数
f x
a b
．
（1）求
f x 的最小正周期；
（2）设函数
g x 满足
π
2
g x
f
x
．当
5π
0, 6
x
时，函数
y
g x
与y
a
的图象有
两个交点，求a 的取值范围；
（3）当
π
0, 3
x
时，求函数
π
cos 4
3
p x
x
mf x
的最大值．
19. （本小题17 分）
如图，设
0,π
，且
π
2
，当
xOy
时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的
斜坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：设1e
，
2e
分别为
,
Ox Oy 正方向同向的单位向量，
若向量
1
2
OP
xe
ye
，记向量
,
.
OP
x y
在
π
3
的斜坐标系中．
（1）若向量
3,2
OP
，求OP
；
（2）已知向量
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，证明：
1 2
1
2
1
2
2 1
1
2
a b
x x
y y
x y
x y
；
（3）若向量a，b
的斜坐标分别为
sin ,1
x
和
cos ,1
x
，
R
x
，设函数
2
2
f x
a b
a
b
，
R
x
，求不等式
5
2
f x
的解集．
