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高一数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
C
A
B
D
C
A
ABD
ACD
ABD
1. 解：
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
，复数
1
2
2
i
对应点为
1 1
,
2 2
，位于第二象限．故选：
B
2. 本题考查向量平行( 共线) 关系的坐标表示，考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．利用平面
向量平行的坐标表示求解即可．
解：当
2
n
时，
2,2
a
，
1,1
b
，故
/ /
a
b
，故充分性成立，当
/ /
a
b
时，满足
1
2
0
n n
，解得
2
1
n
或
，此时必要性不成立，故“
2
n
”是“
/ /
a
b
”的充分不必要条件．故选A．
3. 解：已知
2 2
3sin
cos
3
，
2
sin
6
3
，
2
2
cos
cos
sin
3
2
6
6
3
故选：C．
4.
2
:
2:1
3
BE
BE
BE EC
BC
AD
，
3
2
AF
AD
AD
BC
FE
BE
又
3
3
3
2
3
2
5
5
5
3
5
5
AF
AE
AB
BE
AB
AD
AB
AD
故选A．
5. 可以将函数
3cos
y
x
每个点的横坐标缩短到原来的1
4 倍，可得
3cos4
y
x
，再向右平移16
个单位可得
3 cos 4
4
x
，故选B．
6.【分析】本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，
属于中档题．利用单位向量的定义及向量的数量积为0 时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量
积求出三角形边的夹角，得到等腰三角形．
解：因为
0
AB
AC
BC
AB
AC
，所以
BAC
的平分线与BC 垂直，所以三角形ABC 是等腰三角形，且
AB
AC
．又因为
3
cos
2
BA
BC
ABC
BA
BC
，所以
6
ABC
，所以三角形ABC 是等腰非等边三角形．
故选：D．
7. 【分析】本题考查了向量的线性运算，基本不等式求最值．根据向量的运算AD
mAB
nAC
，
AE
AB
AC
，由B ，D ，E ，C 共线，结合题干条件，可得x 与y 的关系，利用乘1法和基本不等
式即可求解最小值．
解：由B ，D ，C 三点共线，E ，B ，C 三点共线可得，存在实数m ，n ，，，使得
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AD
mAB
nAC
，AE
AB
AC
，
1
2 AB
AM
，1
2 AC
AN
，由B ，D ，E ，C 共线，
1
m
n
，
1
，
2
2
2
2
AD
AE
xAM
yAN
mAM
nAN
AM
AN
，可得2
2
m
x
，2
2
n
y
，所以
4
x
y
，
即
1
4
4
x
y
，点D ，E 是线段BC 上两个动点，
0
x
，
0
y
，
那么
1
1
9
1
9
9
9
5
2
4
4
4
4
4
4
16
2
x
y
x
y
x
y
y
x
，当且仅当
3
1
y
x
时取等号，
则
1
9
x
y
的最小值为4 ．故选：C．
8. 解：因为
3sin
x cos
2sin
6
f x
x
x
，当
0, 4
x
时，因为
0
，则
,
6
6 4
6
x
，因为函数
f x 在
0, 4
上存在最值，则4
6
2
，解得
8
3
，当
7
5
,
12
6
x
时，
7
5
,
6
12
6
6
6
x
，因为
7
5
,
12
6
是
f x 单调递增区间的子集，则
7
5
,
2
,
2
12
6
6
6
2
2
k
k
k
Z
，所以
7
2
12
6
2
5
2
6
6
2
k
k
其中k
Z
，解得
24
4
4
12
7
7
5
5
k
k k
Z
，所以24
4
4
12
7
7
5
5
k
k
，解得
4
3
k
，又因为
0
，则
0,1
k
．
当
0
k
时，
4
0
5
；当
1
k 时，20
16
7
5
．又因为
8
3
，因此满足条件的正整数的取值为3.故
选A．
9.【分析】本题考查了向量坐标的运算、模的计算，向量的夹角，向量垂直的充要条件，考查了计算能力．
解：
2, 3
a
，
1,2
b
，
, 2
c
，对于A ，
1
3 , 2
2
2
c
a
b
3
2
，故A 正确；
对于B，
3
1,3
a
b
，由
3
a
b
c
，得
3
6
0
a
b c
，所以
6
，故B 正确；
对于C，
2
, 3
2
a
b
，所以
2
2
2
2
8
1
2
3
2
5
16
13
5
5
5
a
b
，
由二次函数的性质可知，当
8
5
时，a
b
取得最小值
5
5
，故C 错误；
对于D，
1, 1
a
b
，
2
2
,6
b
c
，由
· 2
2
6
0
a
b
b
c
，解得
8
，
当
4
时，a
b
与2b
c
同向，夹角为0 ，所以若向量a
b
与向量2b
c
的夹角为锐角，则
8
，故
D 正确．故选ABD．
10.本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于
较难题．
解：对于A：根据函数的图象得：
4
A
，由于7
3
3
12
6
4
4
T
，解得T
，所以
2
，
第3页，共7页
则
4
2
f x
sin
x
，由于
7
7
4
4
12
6
f
sin
，并且
，解得
2
3
，
故
2
4
2
3
f x
sin
x
，故A 正确；
对于B：令
2
2
3
x
k
k
Z
，解得
2
3
k
x
k
Z
，故B 错误；
对于C：若
1
2
8
f x
f x
，则一个取最大值，一个取最小值，所以
1
2 min
2
x
x
，故C 正确；
对于D：若
f x 在区间2
,
3
a
，得到
2
2
2
2
,2
3
3
3
x
a
，由于
f x 在区间2
,
3
a
上的值域为
4,2 3
，则3
2
7
2
2
3
3
a
，解得13
3
12
2
a
，故实数a 的取值范围为13
3
,
12
2
．故选：ACD．
11. 因为
sin
sin
sin
sin
c
a
C
A
b
C
B
，所以
2
2
2
c
b
a
bc
，
所以
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，
0,
A
，所以
3
A
，所以A 正确；
2
3
1
1
1
sin
sin
sin
sin
sinBcosB
sin
sin 2
3
2
2
2
6
4
B
C
B
B
B
B
，
因为
2
0, 3
B
，所以
7
2
,
6
6
6
B
，所以1
1
3
sin 2
0,
2
6
4
4
B
，故B 正确；因为
2
BD
DC
，
所以
1
2
3
3
AD
AB
AC
，所以
2
2
2
2
1
2
1
4
4
3
3
9
9
9
AD
AB
AC
AB
AB AC
AC
，又
1
AD
，所以
2
2
2
2
1
2
4
1
4
2
2
1
2
9
9
9
9
9
9
3
c
bc
b
c
b
bc
bc
，即
3
2
bc
，当且仅当
2
2
1
4
2
9
9
c
b
c
b
即
时，等号成立，
所以
1
3
3 3
sin
2
4
8
ABC
S
bc
A
bc
，即
ABC
△
的面积的最大值为3 3
8
，故C 错误；AE 平分
BAC
交BC
于点E ，由角平分线定理得，
1
3
sin
sin
cos
sin
1
3
1
3
2
2
sin
sin
sin
2
2
tan
B
B
B
BE
AB
C
CE
AC
B
B
B
B
，因为三
角形ABC 是锐角三角形，
,
6 2
B
所以
3
tan
,
3
B
1
3
1
1 ,2
2
2
tan
2
B
，BE
CE 的取值范围是
1 ,2
2
，故D 正确；故选：ABD
12. 解：因为
1,3
a
，
2
a
a
b
，所以
2
·
2
2
0
a a
b
a
a
b
，所以
5
a b
，
设b
在a上的投影向量为
5
1
3
1,3
,
10
2
2
a b
a
a
a
．故答案为
1
3
,
2
2
．
13. 【分析】本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及
三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度．根据图象求出函数解析式，结合对称性
求出
2
1
2
3
x
x
，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．
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解：由图象知函数的周期
13
7
6
2
2
12
12
12
T
，即2
，得
2
，
7
13
10
10
12
12
sin 2
1
2
12
12
f
f
，即5
3
2
3
2
k
，即
2
6
k
，k
Z
，
，当
0
k
时，
6
，即
sin 2
6
f x
x
，
存在
1
2
0
x
x
π
，满足
1
2
5
6
f x
f x
，
当
x
0,π
，
π
π 11π
2x
,
6
6
6
，
1
2
π
π
2x
2x
π
6
6
2
2
，得
2
1
2π
x
x
3
，且
1
5
sin 2
6
6
x
，
则
1
2
1
1
1
2
5
cos
cos 2
cos
2
sin 2
3
6
2
6
6
x
x
x
x
x
．
14. 本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，二倍角公式和同角三角函数的应用，属于中档题．
在
ABC
中，利用正弦，余弦定理求出AD ，sinA，cosA ，进而求出
3
2
tanA
，在
ABD
中，由余弦定
理求出BD ，得到BD
AD
，利用二倍角公式求出tan BDE
，最后解直角三角形即可．
解：如图，
由余弦定理可得
2
2
2
2
1
2
cos
4
16
2
2
4
28
3
2
AC
BC
AB
AB BC
，
2 7
AC
，
1
AD
AC
4
，
7
2
AD
，在ABC
中，由正弦定理得
BC
AC
2π
sinA
sin 3
，
3
4
21
2
sin
7
2 7
A
，
2 7
cos
7
A
，
3
tan
2
A
，
在
ABD
中，由余弦定理得
2
2
2
7
7
2 7
7
2
cos
4
2
2
4
2
7
4
BD
AB
AD
AB AD
A
，
7
2
BD
AD
，
A
ABD
，
BDE
2
A
，
2
2
tan
2
4 3
1
tan
tanA
BDE
tan A
A
，
在Rt EBD
中，
7
BD
2
，tan
BDE
4 3
，
7
tan
4 3
2 21
2
BE
BD
BDE
.故答案为2 21 .
15. 解：
1 在ABC
中，因为
1
4
BM
BC
，所以
1
1
4
4
BM
BC
AC
AB
，……………………1
所以
3
1
4
4
AM
AB
BM
AB
AC
，……………………2
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设
3
1
3
1
4
4
2
4
AP
AM
AB
AC
AN
AC
，……………………4
3
1
1
2
4
，解得
4
7
3
1
,
7
7
x
y
，所以
2
7
x
y
……………………6
2 由
1 知，
3
1
7
7
AP
AB
AC
，
因为
2
AB
，
3
AC
，
60
BAC
，所以
3
AB AC
，……………………8
1
3
1
,
2
4
4
CN
AB
AC AM
AB
AC
1
3
1
21
2
4
4
8
CN AM
AB
AC
AB
AC
2
2
1
7
4
CN
AB
AB AC
AC
，
2
2
9
3
1
3 7
16
8
16
4
AM
AB
AB AC
AC
………………11
1
2
cos
2
3
CN AM
MPN
MPN
CN
AM
…………………………13
法二：以A 为坐标原点建系，利用平面向量坐标运算求解
16. 解：
1
由题意可知
50,h
60,
15
A
T
，所以
2
15
，又
0
，得到
2
15
，即
2
50sin
60
15
f t
t
，……………………4
又摩天轮上的点p 的起始位置在最低点处，即
0
10
f
，所以50sin
60
10
，即sin
1
，又
，
所以
2
，故
2
2
50sin
60
50cos
60
15
2
15
f t
t
t
，……………………6
当
2
2
1
50cos
60
85
cos
15
15
2
f t
t
t
即
时，min
5min
t
，所以当点P 距离地面的高度为85m 时需要
最短时间为5min ．…………………………8
2 因为从最低处开始到达高度为
60
25 3 m
刚好能看着全貌，经过最高点再下降至
60
25 3 m
时又
能看着全貌，每个游客可游玩两个周期，由
1 知
2
50cos
60
60
25 3
15
f t
t
，得到
2
3
cos 15
2
t
，……………………10
解得25
35
15
15 ,
4
4
k
t
k k
Z
，所以在每个周期内25
35
15
15 ,
4
4
k
t
k k
Z
，…………13
又35
25
5
15
15
4
4
2
k
k
，所以游客在游玩过程中共有5min 可以看到公园的全貌．…………15
17.解：
1 由cos
3 sin
a
C
a
C
b
c
及正弦定理，得sin cos
3sin sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
，…………2
因为
sin
sin
sin cos
cos sin
B
A
C
A
C
A
C
，且sin
0
C
，
所以
3sin
cos
1
A
A
，即
1
sin
6
2
A
，…………5
因为0
A
，所以
;
3
A
…………7
第6页，共7页
2 由余弦定理，得
2
2
2
a
b
c
bc
，将
1
a
b
代入，整理，得
2
1
2
c
c
a
c
，…………9
因为
2
c
，所以ABC
的周长为
2
2
2
2
6
1
3(
2)
9
6 2
9
2
2
c
c
l
a
b
c
c
c
c
c
，
当且仅当
6
3
2
2
c
c
，即
2
2
c
时取等号，……………………13
所以当
ABC
的周长最小时，
2
2
c
.……………………15
18. 解：(1)
2cos , 3cos
a
x
x
，
cos ,2sin
b
x
x
，
2
2cos
3cos
2sin
f x
a b
x
x
x
cos2
1
3
cos
2
sin
x
x
x
3sin 2
cos2
1
2sin 2
1
6
x
x
x
………………3
f x
的最小正周期
2π
π
2
T
．………………4
2
2sin 2
1
2sin 2
1
2
2
6
6
g x
f
x
x
x
；…………5
当
5π
0, 6
x
时，
π
π 3π
2
,
6
6
2
x
，则当
π
π π
2
,
6
6 2
x
，即
π
0, 3
x
时，
g x 单调递增；
当
π
π 3π
2
,
6
2
2
x
，即
π 5π
,
3
6
x
时，
g x 单调递减；………………7
0
0
g
，
3
3
g
，
5
1
6
g
，
可得
y
g x
在
5π
0, 6
的大致图象如下图所示，
y
g x
与y
a
有两个交点，由上图可知：
0,3
a
．………………10
（3）由
1 得：
2
π
π
π
π
cos 4
2 sin 2
2sin
2
2 sin 2
1
3
6
6
6
p x
x
m
x
m
x
m
x
m
，
当
0, 3
x
时，
5
2
,
6
6
6
x
，则
1
sin 2
,1
6
2
x
，令t
sin 2
6
x
，则
1 ,1
2
t
，……12
令
2
2
2
1
q t
t
mt
m
，则
q t 为开口方向向下，对称轴为
2
m
t
的抛物线，
当
1
2
2
m
，即
1
m 时，
q t 在1 ,1
2
上单调递减，
max
1
1
2
2
2
q t
q
m
；
第7页，共7页
当
1
2
m ，即
2
m
时，
q t 在1 ,1
2
上单调递增，
max
( )
1
2
2
1
3
1
q t
q
m
m
m
；
当1
1
2
2
m
，即1
2
m
时，
q t 在1 ,
2 2
m
上单调递增，在
,1
2
m
上单调递减，
2
2
2
max
2
2
1
2
2
2
m
m
m
m
q t
q
m
m
；………………16
2
max
1
2
,
1
2
2
2 ,1
2
2
3
1,
2
m
m
m
m
p x
m
m
m
．……………………17
19.解：（1）因为向量
3,2
OP
，所以
1
2
3
2
OP
e
e
，…………1
又因为
2
2
1
2
1
2
1 ,
1
2
e
e
e
e
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
3
2
9
12
4
13
6
19
OP
e
e
e
e
e
e
，
所以
19
OP
；………………………………4
（2）证明：因为向量
1
1
2
2
,
,
,
a
x y
b
x
y
，
所以
1 1
1 2
2 1
2
2
,
a
x e
y e b
x e
y e
，
所以
2
2
1 1
1 2
2 1
2
2
1 2 1
1
2
2 1
1
2
1
2
2
a b
x e
y e
x e
y e
x x e
x y
x y
e
e
y y e
化简得
1 2
1
2
1
2
2 1
1
2
a b
x x
y y
x y
x y
；………………………………9
（3）由
2 得
1
sin cos
1
sin
cos
2
a b
x
x
x
x
，……………………10
因为
sin ,1
a
x
，
cos ,1
b
x
所以
1
2
sin
a
e
x
e
，
1
2
cos
b
e
x
e
，
所以
2
2
2
1
2
1
a
e sinx
e
sin x
sinx
，
2
2
2
1
2
cos
1
cos
cos
b
e
x
e
x
x
，
所以
3
sin cos
4
sin
cos
2
f x
x
x
x
x
，………………12
令
π
sin
cos
2sin
4
t
x
x
x
，
2,
2
t
，则
2
1
sin cos
1
2
x
x
t
，
所以
2
1
3
5
1
4
2
2
2
t
t
，即2
3
2 0
t
t
，解得
2(
t
舍去) 或
1
t ，所以
π
2sin
1
4
x
，……15
即
π
2
sin
4
2
x
，所以
π
π
5π
2 π
2 π
4
4
4
k
x
k
，k
Z
，所以
π
2 π
π
2 π
2
k
x
k
，k
Z
，
即不等式
5
2
f x
的解集为
2
,
2
2
k
k
，k
Z
．………………17
