绝密★启用前
2026 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 II 卷）
数学
一、一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. (1−3i)2 = （ ）
A. −8+6i B. −8−6i C. 8+6i D. 8−6i
2. 已知向量𝒂,𝒃满足|𝒂+𝒃|=1,|𝒂−𝒃|=√3，则𝒂⋅𝒃= （ ）
1 1 1 1
A. B. C. − D. −
2 4 2 4
3. 已知集合𝐴={0,1,3,6,9},𝐵 ={𝑥∣√𝑥=𝑥}，则𝐴 𝐵 = （ ）
A. {0,1} B. {3,6} C. {0,1,9} D. {0,3,9}
𝑥2 𝑦2 √5
4. 双曲线𝐶 ∶ − =1(𝑎>0,𝑏>0)过点(1,0)和 ,3 ，则其渐近线方程为 （ ）
𝑎2 𝑏2 ( 2 )
√3 √2
A. 𝑦=±3√2𝑥 B. 𝑦=±4√3𝑥 C. 𝑦=± 𝑥 D. 𝑦=± 𝑥
2 6
5. 棱台上下底面均为有一个内角是60∘的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为√3，
则该棱台体积为 （ ）
19 19 19 19
A. B. C. D.
12 6 4 2
6. 甲、乙、丙、丁等8人分成A,B两技术小组，要求每组4人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能
在同一组，共有多少分配合方案 （ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
1+sin𝛼
7. 已知𝛼 为第二象限角，且3sin2𝛼cos𝛼 =8sin𝛼cos2𝛼，则 = （ ）
2−cos𝛼
3 3 1 15
A. B. C. D.
4 2 2 8
3
8. 已知𝑓(𝑥)为定义在R上的偶函数，且𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−2)=0，当𝑥∈ ,3 时，𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，
[ ]
2
则 （ ）
A. 𝑎=−2,𝑏=−3 B. 𝑎=−2,𝑏=3 C. 𝑎=−4,𝑏=−3 D. 𝑎=−4,𝑏=3
二、二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分。）
9. 已知⊙𝑂 ∶𝑥2+𝑦2 =1,⊙𝐴∶𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+𝑘=0，则 （ ）
A. 点𝐴的坐标为(−3,−4)
B. 𝑘=9时，⊙𝐴与𝑥轴相切
C. 当𝑘=−11时，⊙𝐴与⊙𝑂相切
D. 当⊙𝑂与⊙𝐴相交时，两交点所在直线的方程是6𝑥+8𝑦−𝑘−2=0
数学试题第1页（共3页）10. 等比数列{𝑎 }的公比𝑞 ≠1,𝑎 >0,2𝑎 =𝑎 +𝑎 ，记前𝑛项和为𝑆 ，则 （ ）
𝑛 1 3 2 1 𝑛
𝑛
1 2𝑎 2𝑛𝑎
A. 𝑞 =− B. 𝑆 > 1 C. 2𝑆 =𝑆 +𝑆 D. 𝑆 > 1
2 𝑛 3 𝑛+2 𝑛+1 𝑛 ∑ 𝑘 3
𝑘=1
11. 已知抛物线𝐸 ∶𝑦2 =8𝑥，斜率𝑘(𝑘>0)的直线𝑙过点(1,0)，△𝐴𝐵𝐶 为等边三角形，𝐴在𝑦轴
上，𝐵,𝐶 在𝑙上，则 （ ）
A. 抛物线准线方程为𝑥=−2
B. 𝑙与𝑦轴交点为(0,−𝑘)
C. 若𝑙与𝐸 相交于唯一点𝐵，则抛物线焦点在直线𝐴𝐵 上
√3
D. 𝑘=2时，△𝐴𝐵𝐶 面积最小值为
2
三、三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 𝑆 为等差数列{𝑎 }前𝑛项和。若𝑎 =−1,𝑎 =5，则𝑆 = ．
𝑛 𝑛 1 4 6
13. 若函数𝑓(𝑥)=2𝑥+2−𝑥−𝑚有两个零点，则𝑚的取值范围是 ．
14. 球𝑂的体积为4√3𝜋，𝐴,𝐵,𝐶,𝐷四点均在球𝑂的球面上，△𝐴𝐵𝐶 为等边三角形，𝐷𝐴=𝐷𝐵 =
𝐷𝐶 =√2，则△𝐴𝐵𝐶 的面积为 ．
四、四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13分）
某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直
方图：
𝑦
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
𝑥
345 355 365 375 385 395 405 415 425
(1) 求第一四分位数和中位数；
(2) 𝑝̂为首次故障时间小于365天的概率估计值。
(i)求𝑝；̂
(ii)工厂向某用户销售 100 件电子元件，𝑋 为这 100 件产品首次出故障小于 365 天的件
数，则𝑋 ∼𝐵(100,𝑝)̂，求𝐸(𝑋),𝐷(𝑋)。
数学试题第2页（共3页）16.（15分）
三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐸 在𝐵𝐷上，𝐴𝐸 ⟂𝐶𝐸,𝐴𝐸 ⟂𝐷𝐸,𝐶𝐷 ⟂𝐴𝐷。
𝐴
(1) 证明：𝐶𝐷 ⟂𝐴𝐵；
(2) 若𝐷𝐸 =2,𝐵𝐸 =1,𝐴𝐸 = 𝐷
√2,𝐶𝐷 =2√3，求𝐴𝐷与平
𝐸
面𝐴𝐵𝐶 所成角的正弦值。
𝐵
𝐶
17.（15分）
3
在△𝐴𝐵𝐶 中，已知cos𝐵 = ,cos2(𝐴+𝐶)+sin𝐴sin𝐶 =1。
4
(1) 证明：△𝐴𝐵𝐶 为钝角三角形；
√7
(2) 若△𝐴𝐵𝐶 面积为 ，求△𝐴𝐵𝐶 周长。
4
18.（17分）
𝑥2
椭圆𝐸 ∶ +𝑦2 =1(𝑎>1)，过右焦点垂直于𝑥轴的直线被𝐸 所截线段长为√2。
𝑎2
(1) 求𝐸 的离心率；
(2) 𝑂为坐标原点，给定点𝐺(𝑡 ,0)(𝑡 ≠0)；𝐴(𝑥 ,𝑦 )(𝑦 ≠0)在𝐸 上，过点𝐴作𝑦轴的垂线，
0 0 0 0 0
交于点𝐵，𝐴𝑂与𝐺𝐵 交于点𝑃。当𝐴在𝐸 上运动时，𝑃 的轨迹为𝑀。
(i)求𝑀 的方程；
(ii)𝑀 是否有中心点？当𝑡 为何值时，𝑀 有中心点？当𝑀 有中心点时，平移𝑀 到𝑀′，
0
使𝑂为𝑀′ 的中心点，说明𝑀′ 为何形状？
19.（17分）
已知函数𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥+𝑎𝑥+𝑏，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,𝑓(0))处的切线方程为𝑦=−2𝑥+1。
(1) 求𝑎,𝑏；
(2) 当𝑥>0时，𝑓(𝑥+𝑚)−𝑓(𝑥)>𝑚，求𝑚的取值范围；
(3) 当𝑥>0时，𝑓(𝑥+𝑘)+𝑓(𝑘−𝑥)>2𝑓(𝑘)，求𝑘的最小值。
数学试题第3页（共3页）
