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2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷)
数学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 样本数据6，8，4，5，12的中位数为 （ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
2. 已知平面向量𝑎，𝑏不共线，且2𝑎+𝑦𝑏=𝑥𝑎−3𝑏，则 （ ）
A. 𝑥=2,𝑦=−3 B. 𝑥=−2,𝑦=3 C. 𝑥=2,𝑦=3 D. 𝑥=−2,𝑦=−3
7π 5π 5π √3 1
3. 已知集合𝐴= sin ,cos ,tan ，𝐵 = − ,− ,1 ，则𝐴 𝐵 = （ ）
{ }
6 3 4 { 2 2 }
√3 1 √3 1 √3 1
A. − ,− B. − ,1 C. − ,1 D. − ,− ,1
{ }
{ 2 2} { 2 } 2 { 2 2 }
4. 曲线𝑦=5𝑥+8ln𝑥在点(1,5)处的切线方程为 （ ）
A. 𝑦=3𝑥+2 B. 𝑦=5𝑥 C. 𝑦=8𝑥−3 D. 𝑦=13𝑥−8
5. 已知抛物线𝐶 ∶ 𝑦2 = 2𝑝 𝑥(𝑝 > 0)和𝐶 ∶ 𝑥2 = 2𝑝 𝑦(𝑝 > 0)均经过点(4,8)，则𝐶 的焦点与
1 1 1 2 2 2 1
𝐶 的焦点之间的距离为 （ ）
2
√65
A. 12 B. 4√5 C. 6 D.
2
𝑥+2
6. 已知函数𝑓(𝑥)= 的最大值为1，则𝑎= （ ）
e𝑥+𝑎
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
数学试题第1页（共4页）7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深厚的历史文化闻名遐迩。
该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第𝑖行中塔的座数记为𝑎 (𝑖=1,2,⋯,12)，
𝑖
其中𝑎 = 1，𝑎 = 𝑎 = 3，𝑎 = 𝑎 = 5，且𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 是一个首项为7，公差为2的等差数
1 2 3 4 5 6 7 12
列。将𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公
1 2 12
差为𝑑(𝑑 >0)的等差数列，则𝑑 = （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 设𝑈 = {(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) ∣ 𝑥 ∈ {−2,−1,1,2},𝑖 = 1,2,3}为空间中64个点构成的集合，点𝑃(1,1,1)。
1 2 3 𝑖
记样本空间 𝛺 = ∁ {𝑃}。从 𝛺 中随机取一个点，定义随机变量 𝑋 如下：对 𝛺 中的每个点
𝑈
𝐴(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )，令𝑋(𝐴)=𝑥 +𝑥 +𝑥 ，则𝑋 的数学期望为 （ ）
1 2 3 1 2 3
1 1 1
A. − B. − C. 0 D.
21 63 7
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设𝑧=3+2i，则 （ ）
𝑧+3
A. 𝑧=3−2i B. |𝑧|=5 C. 𝑧2 =5+12i D. ∈R
𝑧−i
10. 在空间中，𝐴，𝐵 为两个定点，动点𝐶 到直线𝐴𝐵 的距离为2，动点𝐷到直线𝐴𝐵 的距离为1。
若二面角𝐶 −𝐴𝐵−𝐷为60∘，则 （ ）
A. ∠𝐶𝐴𝐷 ⩾60∘ B. 𝐶𝐷 ⩾√3
C. 当𝐴𝐵 ⟂𝐶𝐷时，𝐶𝐷 ⟂平面𝐴𝐵𝐷 D. 当𝐴𝐵 ⟂平面𝐴𝐶𝐷时，𝐴𝐶 ⟂𝐴𝐷
11. 已知圆 𝐶 ∶ (𝑥+1)2 +𝑦2 = 1，圆 𝐶 ∶ (𝑥−1)2 +𝑦2 = 1，圆 𝐶 ∶ 𝑥2 +(𝑦−√3)2 = 1，直线
1 2 3
𝑙 ∶𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝐶 ,𝐶 ,𝐶 均有两个交点。记𝑙被𝐶 ,𝐶 ,𝐶 截得的弦长分别为𝑠 ,𝑠 ,𝑠 ，则
1 2 3 1 2 3 1 2 3
（ ）
A. 𝑘可以取任意实数
B. 满足𝑠 =𝑠 =𝑠 的直线𝑙共有3条
1 2 3
C. 满足𝑠 +𝑠 +𝑠 =3的直线𝑙多于3条
1 2 3
2√21
D. 当𝑏=0时，𝑠 +𝑠 +𝑠 的最大值为
1 2 3 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 双曲线5𝑥2−6𝑦2 =1的离心率为 ．
π
13. 已知 𝑓(𝑥) = 2sin(𝑎𝑥 + 𝜃)(𝑎 ∈ Z,0 ⩽ 𝜃 < 2π) 是偶函数，𝑓(𝑥) 在区间 0, 单调递增，则
( )
2
2π
𝜃 = ，𝑓 = ．
( )
3
14. 设实数𝑞满足：存在数列{𝑎 }，使得对于任意𝑛∈N∗，均有𝑎 +𝑎 +⋯+𝑎 =𝑛2+𝑛，且{𝑎 }
𝑛 1 2 3𝑛 𝑛
中有某些连续9项𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 是公比为𝑞 的等比数列，则𝑞 的最大值为 ．
𝑘 𝑘+1 𝑘+8
数学试题第2页（共4页）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 =90∘，𝐴𝐶 =𝐵𝐶，𝐷，𝐸 分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶 的中
1 1 1 1
点．
(1) 证明：𝐷𝐸 平面𝐵𝐶𝐶 𝐵 ；
1 1
(2) 设𝐶𝐶 =2，直线𝐷𝐸 与平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 所成的角为45∘，求直线𝐷𝐸 到平面𝐵𝐶𝐶 𝐵 的距
1 1 1 1 1
离．
𝐶
1
𝐴 𝐵
1 1
𝐸
𝐶
𝐴 𝐷 𝐵
16.（15分）
√3
已知在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵 =3，𝐵𝐶 =2√3，cos𝐵 = ．
3
(1) 求cos𝐴；
(2) 设𝐷，𝐸 两点满足：𝐷在𝐵𝐴的延长线上，𝐷𝐸 𝐵𝐶，𝐴𝐸 ⟂𝐴𝐶．若𝐷𝐸 =√6，求𝐶𝐸．
17.（15分）
设整数𝑁 ⩾ 2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮𝑁 次，当且仅当投中1次时或𝑁 次
均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为𝑝(0 < 𝑝 < 1)，各次投中与否相互独立。记𝑋
为停止练习时该同学的投篮次数。
1
(1) 当𝑁 =4，𝑝= 时，求𝑋 的分布列；
3
(2) 设𝑘，𝑚均为自然数。
(i)当𝑘⩽𝑁 −1时，求𝑃(𝑋 >𝑘)；
(ii)当𝑘+𝑚⩽𝑁 −1时，证明：𝑃(𝑋 >𝑘+𝑚∣𝑋 >𝑘)=𝑃(𝑋 >𝑚)．
18.（17分）
𝑥2 𝑦2 1
已知椭圆𝐶 ∶ + =1(𝑎>𝑏>0)的左焦点为𝐹(−1,0)，离心率为 ．
𝑎2 𝑏2 2
(1) 求𝐶 的方程；
(2) 设𝑂为坐标原点，过𝐹 且斜率大于0的动直线𝑙与𝐶 交于𝑃，𝑄两点，其中𝑄在第三象
限，直线𝑃𝑂与𝐶 的另一个交点为𝑅．
(i)若△𝑃𝑄𝑅的面积是△𝑃𝐹𝑂的面积的3倍，求𝑙的方程；
(ii)求tan∠𝑃𝑄𝑅的最小值．
数学试题第3页（共4页）19.（17分）
已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，且当𝑥 < 0时，𝑓(𝑥) = 2𝑥．对任意𝑥 ∈ R，定义集合𝐷(𝑥 ) =
0 0
{𝑑 ∈R∣𝑓(𝑥 +𝑑)>𝑓(𝑥 )}．
0 0
(1) 若当𝑥⩾0时，𝑓(𝑥)=1−𝑥，求𝐷(−1)；
(2) 若𝑓(𝑥)是奇函数，𝑓(𝑥 )⩽𝑓(𝑥 )且𝑥 𝑥 ≠0，证明：𝐷(𝑥 ) 𝐷(𝑥 )；
1 2 1 2 1 2
(3) 设𝑓(𝑥)满足：①若𝑓(𝑥 )⩽𝑓(𝑥 )，则𝐷(𝑥 ) 𝐷(𝑥 )；②当0<𝑥<1时，𝑓(𝑥)<𝑓(0)．
1 2 1 2
(i)证明：𝑓(0)⩾1；
(ii)证明：𝑓(𝑥)在区间(0,+∞)单调递增．
数学试题第4页（共4页）
